Ce sont les normes usuelles associées à la base canonique sur ${ℳ}_{n,p}(𝕂)$: caractériser celles-ci est similaire à caractériser les normes usuelles sur l’espace ${𝕂}^{np}$.

${\mathrm{L}}^1(I,𝕂)\subset 𝒞(I,𝕂)$ et $𝒞(I,𝕂)$ est un $𝕂$-espace vectoriel.
$\tilde{0}\in {\mathrm{L}}^1(I,𝕂)$.
Soit $\lambda ,\mu \in 𝕂$ et $f,g\in {\mathrm{L}}^1(I,𝕂)$.
Pour tout $t\in I$,

$$\left|(\lambda f+\mu g)(t)\right|\le |\lambda |\left|f(t)\right|+|\mu |\left|g(t)\right|$$

donc par comparaison de fonctions positives $\lambda f+\mu g\in {\mathrm{L}}^1(I,𝕂)$.

Finalement, ${\mathrm{L}}^1(I,𝕂)$ est un sous-espace vectoriel de $𝒞(I,𝕂)$ et c’est donc un $𝕂$-espace vectoriel.
L’application ${\parallel \cdot \parallel }_1:{\mathrm{L}}^1(I,𝕂)\to {ℝ}_{+}$ est bien définie.
Soit $f\in {\mathrm{L}}^1(I,𝕂)$. Si ${\parallel f\parallel }_1=0$ alors ${\int }_I\left|f(t)\right|dt=0$ or $|f|$ est continue et positive sur $I$ d’intérieur non vide donc $f=\tilde{0}$.
Soit $\lambda \in 𝕂$ et $f\in {\mathrm{L}}^1(I,𝕂)$.

$${\parallel \lambda f\parallel }_1={\int }_I|\lambda |\left|f(t)\right|dt=|\lambda |{\parallel f\parallel }_1\text{.}$$

Soient $f,g\in {\mathrm{L}}^1(I,𝕂)$

$${\parallel f+g\parallel }_1\le {\int }_I\left|f(t)\right|+\left|g(t)\right|\mathrm{d}t={\parallel f\parallel }_1+{\parallel g\parallel }_1$$

${\parallel \cdot \parallel }_1$ définit bien une norme sur ${\mathrm{L}}^1(I,𝕂)$

${\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{N},𝕂)\subset {𝕂}^{\mathbb{N}}$ et ${𝕂}^{\mathbb{N}}$ est un $𝕂$-espace vectoriel.

${(0)}_{n\in \mathbb{N}}\in {\mathrm{\ell }}^1(𝕂)$.

Pour $\lambda ,\mu \in 𝕂$ et $u,v\in {\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{N},𝕂)$,

$$\left|{(\lambda u+\mu v)}_n\right|\le |\lambda ||u_n|+|\mu ||v_n|\text{.}$$

Par comparaison de séries à termes positifs

$$\lambda u+\mu v\in {\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{N},𝕂)$$

${\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{N},𝕂)$ est un sous-espace vectoriel de ${𝕂}^{\mathbb{N}}$, c’est donc un $𝕂$-espace vectoriel.
L’application ${\parallel \cdot \parallel }_1:{\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{N},𝕂)\to {ℝ}_{+}$ est bien définie.
Soit $u\in {\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{N},𝕂)$. Si ${\parallel u\parallel }_1=0$ alors ${\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}|u_n|=0$ donc pour tout $n\in \mathbb{N}$, $|u_n|=0$ et par suite $u=0$.
Soit $\lambda \in 𝕂$ et $u\in {\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{N},𝕂)$

$${\parallel \lambda u\parallel }_1=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}|\lambda u_n|=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}|\lambda ||u_n|=|\lambda |\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}|u_n|=|\lambda |{\parallel u\parallel }_1\text{.}$$

Soit $u,v\in {\mathrm{\ell }}^1(\mathbb{N},𝕂)$

$${\parallel u+v\parallel }_1=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}|u_n+v_n|\le \sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}\left(|u_n|+|v_n|\right)=\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}|u_n|+\sum _{n=0}^{+\mathrm{\infty }}|v_n|={\parallel u\parallel }_1+{\parallel v\parallel }_1\text{.}$$

${\mathrm{L}}^2(I,𝕂)\subset 𝒞(I,𝕂)$ et $𝒞(I,𝕂)$ est un $𝕂$-espace vectoriel.

$0\in {\mathrm{L}}^2(I,𝕂)$.

Soit $\lambda \in 𝕂$ et $f\in {\mathrm{L}}^2(I,𝕂)$. Pour tout $t\in I$.

$${\left|(\lambda f)(t)\right|}^2={|\lambda |}^2{\left|f(t)\right|}^2$$

donc par comparaison $\lambda f\in {\mathrm{L}}^2(I,𝕂)$.

Soient $f,g\in {\mathrm{L}}^2(I,𝕂)$. Pour tout $t\in I$

$${\left|(f+g)(t)\right|}^2\le {\left(\left|f(t)\right|+\left|g(t)\right|\right)}^2={\left|f(t)\right|}^2+2\left|f(t)\right|\left|g(t)\right|+{\left|g(t)\right|}^2\le 2\left({\left|f(t)\right|}^2+{\left|g(t)\right|}^2\right)$$

car $2ab\le a^2+b^2$
Par comparaison de fonctions positives $f+g\in {\mathrm{L}}^2(I,𝕂)$.

Finalement, ${\mathrm{L}}^2(I,𝕂)$ est un sous-espace vectoriel de $𝒞(I,𝕂)$ et c’est donc un $𝕂$-espace vectoriel.
L’application ${\parallel \cdot \parallel }_2:{\mathrm{L}}^2(I,𝕂)\to {ℝ}_{+}$ est bien définie.
Soit $f\in {\mathrm{L}}^2(I,𝕂)$. Si ${\parallel f\parallel }_2=0$ alors ${\int }_I{\left|f(t)\right|}^{2}dt=0$ or ${|f|}^2$ est continue et positive sur $I$ d’intérieur non vide donc

$$\forall t\in I,{\left|f(t)\right|}^2=0$$

puis $f=\tilde{0}$.
Soient $\lambda \in 𝕂$ et $f\in {\mathrm{L}}^2(I,𝕂)$.

$${\parallel \lambda f\parallel }_2={\left({\int }_I{|\lambda |}^2{\left|f(t)\right|}^{2}dt\right)}^2=|\lambda |{\parallel f\parallel }_2\text{.}$$

Soient $f,g\in {\mathrm{L}}^2(I,𝕂)$.

$${\parallel f+g\parallel }_2^2\le {\int }_I{\left(\left|f(t)\right|+\left|g(t)\right|\right)}^{2}dt={\parallel f\parallel }_2^2+2{\int }_I\left|f(t)\right|\left|g(t)\right|dt+{\parallel g\parallel }_2^2\text{.}$$

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, pour $f,g:[a;b]\to ℝ$ continue par morceaux,

$$\left|{\int }_a^{b}f(t)g(t)dt\right|\le {\left({\int }_a^{b}f{(t)}^{2}dt\right)}^{1/2}{\left({\int }_a^{b}g{(t)}^{2}dt\right)}^{1/2}\text{.}$$

Ici

$${\int }_a^b\left|f(t)\right|\left|g(t)\right|dt\le {\left({\int }_a^b{\left|f(t)\right|}^{2}dt\right)}^{1/2}{\left({\int }_a^b{\left|g(t)\right|}^{2}dt\right)}^{1/2}\le {\parallel f\parallel }_2{\parallel g\parallel }_2\text{.}$$

Or pour $f:I\to {ℝ}_{+}$ continue par morceaux intégrable

$$\forall [a;b]\subset I,{\int }_a^{b}f(t)dt\le {\int }_{I}f$$

donc ici

$${\int }_I\left|f(t)\right|\left|g(t)\right|dt\le {\parallel f\parallel }_2{\parallel g\parallel }_2$$

et enfin

$${\parallel f+g\parallel }_2^2\le {\left({\parallel f\parallel }_2+{\parallel g\parallel }_2\right)}^2$$

ce qui permet de conclure.