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Exercice 1  457  Correction  

Pour A=(ai,j)n,p(𝕂). On pose

A1=i=1nj=1p|ai,j|,A2=i=1nj=1p|ai,j|2etA=max1in,1jp|ai,j|.

Montrer que 1, 2 et définissent des normes sur n,p(𝕂).

Solution

Ce sont les normes usuelles associées à la base canonique sur n,p(𝕂): caractériser celles-ci est similaire à caractériser les normes usuelles sur l’espace 𝕂np.

 
Exercice 2  3903  Correction  

Soit I un intervalle d’intérieur non vide de . On note L1(I,𝕂) l’ensemble des fonctions f:I𝕂 continues et intégrables c’est-à-dire

L1(I,𝕂)={f𝒞(I,𝕂)|I|f|<+}.

Montrer que L1(I,𝕂) est un 𝕂-espace vectoriel et que

f1=I|f(t)|dt

y définit une norme.

Solution

L1(I,𝕂)𝒞(I,𝕂) et 𝒞(I,𝕂) est un 𝕂-espace vectoriel.
0~L1(I,𝕂).
Soit λ,μ𝕂 et f,gL1(I,𝕂).
Pour tout tI,

|(λf+μg)(t)||λ||f(t)|+|μ||g(t)|

donc par comparaison de fonctions positives λf+μgL1(I,𝕂).

Finalement, L1(I,𝕂) est un sous-espace vectoriel de 𝒞(I,𝕂) et c’est donc un 𝕂-espace vectoriel.
L’application 1:L1(I,𝕂)+ est bien définie.
Soit fL1(I,𝕂). Si f1=0 alors I|f(t)|dt=0 or |f| est continue et positive sur I d’intérieur non vide donc f=0~.
Soit λ𝕂 et fL1(I,𝕂).

λf1=I|λ||f(t)|dt=|λ|f1.

Soient f,gL1(I,𝕂)

f+g1I|f(t)|+|g(t)|dt=f1+g1

1 définit bien une norme sur L1(I,𝕂)

 
Exercice 3  3905  Correction  

On note 1(,𝕂) l’ensemble des suites u=(un)n𝕂 sommable c’est-à-dire

1(,𝕂)={u𝕂||un|<+}.

Montrer que 1(,𝕂) est un 𝕂-espace vectoriel et que l’on y définit une norme par l’application

u1=n=0+|un|.

Solution

1(,𝕂)𝕂 et 𝕂 est un 𝕂-espace vectoriel.
(0)n1(𝕂).
Pour λ,μ𝕂 et u,v1(,𝕂),

|(λu+μv)n||λ||un|+|μ||vn|.

Par comparaison de séries à termes positifs

λu+μv1(,𝕂)

1(,𝕂) est un sous-espace vectoriel de 𝕂, c’est donc un 𝕂-espace vectoriel.
L’application 1:1(,𝕂)+ est bien définie.
Soit u1(,𝕂). Si u1=0 alors n=0+|un|=0 donc pour tout n, |un|=0 et par suite u=0.
Soit λ𝕂 et u1(,𝕂)

λu1=n=0+|λun|=n=0+|λ||un|=|λ|n=0+|un|=|λ|u1.

Soit u,v1(,𝕂)

u+v1=n=0+|un+vn|n=0+(|un|+|vn|)=n=0+|un|+n=0+|vn|=u1+v1.
 
Exercice 4  3904   Correction  

Soit I un intervalle d’intérieur non vide de . On note L2(I,𝕂) l’ensemble des fonctions f:I𝕂 continue et de carré intégrable c’est-à-dire

L2(I,𝕂)={f𝒞(I,𝕂)|I|f|2<+}.

Montrer que L2(I,𝕂) est un 𝕂-espace vectoriel et que

f2=(I|f(t)|2dt)1/2

y définit une norme.

Solution

L2(I,𝕂)𝒞(I,𝕂) et 𝒞(I,𝕂) est un 𝕂-espace vectoriel.

0L2(I,𝕂).

Soit λ𝕂 et fL2(I,𝕂). Pour tout tI.

|(λf)(t)|2=|λ|2|f(t)|2

donc par comparaison λfL2(I,𝕂).

Soient f,gL2(I,𝕂). Pour tout tI

|(f+g)(t)|2(|f(t)|+|g(t)|)2=|f(t)|2+2|f(t)||g(t)|+|g(t)|22(|f(t)|2+|g(t)|2)

car 2aba2+b2
Par comparaison de fonctions positives f+gL2(I,𝕂).

Finalement, L2(I,𝕂) est un sous-espace vectoriel de 𝒞(I,𝕂) et c’est donc un 𝕂-espace vectoriel.
L’application 2:L2(I,𝕂)+ est bien définie.
Soit fL2(I,𝕂). Si f2=0 alors I|f(t)|2dt=0 or |f|2 est continue et positive sur I d’intérieur non vide donc

tI,|f(t)|2=0

puis f=0~.
Soient λ𝕂 et fL2(I,𝕂).

λf2=(I|λ|2|f(t)|2dt)2=|λ|f2.

Soient f,gL2(I,𝕂).

f+g22I(|f(t)|+|g(t)|)2dt=f22+2I|f(t)||g(t)|dt+g22.

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, pour f,g:[a;b] continue par morceaux,

|abf(t)g(t)dt|(abf(t)2dt)1/2(abg(t)2dt)1/2.

Ici

ab|f(t)||g(t)|dt(ab|f(t)|2dt)1/2(ab|g(t)|2dt)1/2f2g2.

Or pour f:I+ continue par morceaux intégrable

[a;b]I,abf(t)dtIf

donc ici

I|f(t)||g(t)|dtf2g2

et enfin

f+g22(f2+g2)2

ce qui permet de conclure.

 
Exercice 5  3906   

On note 2(,𝕂) l’ensemble des suites u=(un)𝕂 de carré sommable:

n=0+|un|2<+.

Montrer que 2(,𝕂) est un 𝕂-espace vectoriel normé par l’application

u2=(n=0+|un|2)1/2.
 
Exercice 6  5248   

(Norme triple)

On définit la norme triple d’un endomorphisme u d’un espace normé E de dimension finie non nulle par

|||u|||=supxE{0E}u(x)x.
  • (a)

    Soit u(E). Vérifier que la borne supérieure définissant |||u||| existe et que

    u(x)|||u|||xpour tout xE.
  • (b)

    Montrer que |||||| définit une norme sur (E) et que

    |||uv||||||u||||||v|||pour tous u,v(E).

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Édité le 08-11-2019

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