Soit $(E,\parallel \cdot \parallel )$ un espace vectoriel normé sur $𝕂$ ($𝕂=ℝ$ ou $ℂ$).

• (a)

  Montrer que pour tous $x,y\in E$

  $$\parallel x\parallel +\parallel y\parallel \le 2\max \{\parallel x+y\parallel ,\parallel x-y\parallel \}\text{.}$$

• (b)

  Montrer que l’on peut avoir l’égalité avec $x\ne 0$ et $y\ne 0$.
  Désormais la norme est euclidienne.

• (c)

  Montrer que pour tous $x,y\in E$

  $$\parallel x\parallel +\parallel y\parallel \le \sqrt{2}\max \{\parallel x+y\parallel ,\parallel x-y\parallel \}\text{.}$$

• (d)

  Peut-on améliorer la constante $\sqrt{2}$?

Soient $E$ un espace vectoriel réel et $\parallel \cdot \parallel$ une norme sur $E$.

Montrer que la norme $\parallel \cdot \parallel$ est euclidienne¹¹ 1 Cela signifie que la norme $\parallel \cdot \parallel$ est la norme euclidienne associée à un produit scalaire sur $E$. si, et seulement si,