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Exercice 1  454   

Soient N1 et N2 deux normes sur un même espace vectoriel E.

  • (a)

    On suppose que les boules unités fermées des normes N1 et N2 sont identiques. Montrer que ces deux normes sont égales.

  • (b)

    Même question avec les boules unités ouvertes.

 
Exercice 2  2766     MINES (MP)Correction  

Soit (E,) un espace vectoriel normé sur 𝕂 (𝕂= ou ).

  • (a)

    Montrer que pour tous x,yE

    x+y2max{x+y,x-y}.
  • (b)

    Montrer que l’on peut avoir l’égalité avec x0 et y0.
    Désormais la norme est euclidienne.

  • (c)

    Montrer que pour tous x,yE

    x+y2max{x+y,x-y}.
  • (d)

    Peut-on améliorer la constante2?

Solution

  • (a)

    x=12(x+y)+12(x-y) donc

    xmax{x+y,x-y}.

    Aussi ymax{x+y,x-y} donc

    x+y2max{x+y,x-y}.
  • (b)

    Sur 2 avec =, il y a égalité pour x=(1,0) et y=(0,1).

  • (c)

    On a déjà

    (x+y)22x2+2y2.

    Or x=12(x+y)+12(x-y) donne

    x2=14(x+y2+x-y2+2x2-2y2)

    aussi

    y2=14(x+y2+x-y2-2x2+2y2)

    donc

    x2+y212(x+y2+x-y2)

    puis

    (x+y)22max{x+y,x-y}2

    qui permet de conclure.

  • (d)

    Non, sur 2, il y a égalité pour x=(1,0) et y=(0,1).

 
Exercice 3  4263    

Soient E un espace vectoriel réel de dimension finie et une norme sur E.

Montrer que la norme est euclidienne11 1 Cela signifie que la norme définie dans le sens du est la norme euclidienne associée à un produit scalaire sur E. si, et seulement si,

x+y2+x-y2=2(x2+y2)pour tout (x,y)E2.

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Édité le 08-11-2019

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