[<] Comparaison de normes [>] Partie d'un espace normé

 
Exercice 1  458  Correction  

Soit N une norme sur n(). Montrer qu’il existe c>0 tel que

N(AB)cN(A)N(B).

Solution

On sait N(AB)nN(A)N(B) et αNNβN avec α,β>0 donc

N(AB)1αN(AB)nαN(A)N(B)nβ2αN(A)N(B).
 
Exercice 2  3146  

Soient n et En l’espace des polynômes réels de degrés inférieurs à n. Montrer qu’il existe λ>0 vérifiant, pour tout PEn,

01|P(t)|dtλsupt[0;1]|P(t)|.
 
Exercice 3  474   Correction  

Pour d, on pose E=d[X] l’espace des polynômes réels en l’indéterminée X de degrés inférieurs ou égaux à d.

  • (a)

    Pour ξ=(ξ0,,ξd) famille de d+1 nombres réels distincts et PE, on pose

    Nξ(P)=k=0d|P(ξk)|.

    Montrer que Nξ définit une norme sur E.

  • (b)

    Soit (Pn) une suite de polynômes éléments de E. Pour tout n, on écrit

    Pn=k=0dak,nXk.

    Établir que les assertions suivantes sont équivalentes:

    • (i)

      la suite de fonctions (Pn) converge simplement sur ;

    • (ii)

      la suite de fonctions (Pn) converge uniformément sur tout segment de ;

    • (iii)

      pour tout k{0,,d}, la suite (ak,n) converge.

Solution

  • (a)

    facile.

  • (b)

    (i)(ii) Supposons que la suite (Pn) converge simplement sur vers une certaine fonction f. On ne sait pas a priori si cette fonction est, ou non, polynomiale.
    Soit ξ=(ξ0,,ξd) une famille de d+1 réels distincts et PE déterminé par P(ξk)=f(ξk). On peut affirmer que la (Pn) suite converge vers P pour la norme Nξ. Soit [a;b] un segment de avec a<b. N=,[a;b] définit une norme sur E qui est équivalent à Nξ car E est de dimension finie. Puisque (Pn) converge vers P pour la norme Nξ, on peut affirmer que la convergence a aussi lieu pour la norme N et donc (Pn) converge uniformément vers P sur le segment [a;b]. Au passage, on en déduit que f=P.

    (ii)(iii) Si la suite (Pn) converge uniformément sur tout segment vers une fonction f, elle converge aussi simplement vers f et l’étude ci-dessus montre que f est un polynôme. En introduisant la norme infinie relative aux coefficients polynomiaux:

    a0++adXd=max0kd|ak|

    l’équivalence de norme permet d’établir que les coefficients de Pn convergent vers les coefficients respectifs de f.

    (iii)(i) Immédiat.

 
Exercice 4  1582     ENTPECorrection  

Montrer que si (Pn)n est une suite de fonctions polynomiales toutes de degrés inférieurs à N convergeant simplement vers une fonction f sur alors f est une fonction polynomiale et la convergence est uniforme sur tout segment de .

Solution

Soient a0,,aN des réels deux à deux distincts. Considérons la fonction polynôme P de degré inférieur à N vérifiant

k{0,,N},P(ak)=f(ak).

Sur l’espace N[X], on peut introduire la norme donnée par

N(Q)=max0kN|Q(ak)|.

Pour cette norme, on peut affirmer que la suite (Pn) converge vers P. Or l’espace N[X] est de dimension finie, toutes les normes y sont donc équivalentes. La convergence de (Pn) vers P a donc aussi lieu pour les normes données par

Q,[a;b]=supt[a;b]|Q(t)|.

La suite (Pn) converge vers P sur tout segment de et donc converge simplement vers P. Par unicité de la limite simple, la fonction f est égale à P.

 
Exercice 5  2768      MINES (MP)

Soit E un sous-espace vectoriel de dimension finie d1 de l’espace 𝒞([0;1],) des fonctions réelles définies et continues sur [0;1].

  • (a)

    Établir l’existence d’un tuple (a1,,ad)[0;1]d tel que l’application

    N:fEi=1d|f(ai)|

    soit une norme sur E.

  • (b)

    Soit (fn) une suite de fonctions de E convergeant simplement vers une fonction f:[0;1]. Montrer que f est élément de E puis que la convergence est uniforme.

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Édité le 08-11-2019

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