[<] Comparaison de normes [>] Suites de vecteurs
Soit une norme sur . Montrer qu’il existe tel que
Solution
On sait et avec donc
Soient et l’espace des polynômes réels de degré au plus .
Montrer qu’il existe vérifiant
Pour , on pose l’espace des polynômes réels en l’indéterminée de degrés inférieurs ou égaux à .
Pour famille de nombres réels distincts et , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Soit une suite de polynômes éléments de . Pour tout , on écrit
Établir que les assertions suivantes sont équivalentes:
la suite de fonctions converge simplement sur ;
la suite de fonctions converge uniformément sur tout segment de ;
pour tout , la suite converge.
Solution
facile.
(i)(ii) Supposons que la suite converge simplement sur vers une certaine fonction . On ne sait pas a priori si cette fonction est, ou non, polynomiale.
Soit une famille de réels distincts et déterminé par . On peut affirmer que la suite converge vers pour la norme . Soit un segment de avec . définit une norme sur qui est équivalent à car est de dimension finie. Puisque converge vers pour la norme , on peut affirmer que la convergence a aussi lieu pour la norme et donc converge uniformément vers sur le segment . Au passage, on en déduit que .
(ii)(iii) Si la suite converge uniformément sur tout segment vers une fonction , elle converge aussi simplement vers et l’étude ci-dessus montre que est un polynôme. En introduisant la norme infinie relative aux coefficients polynomiaux:
l’équivalence de norme permet d’établir que les coefficients de convergent vers les coefficients respectifs de .
(iii)(i) Immédiat.
Soient et une suite de fonctions polynomiales toutes de degré au plus . Montrer que si converge simplement vers une fonction sur alors est une fonction polynomiale et la convergence est uniforme sur tout segment de .
Solution
Soient des réels deux à deux distincts. Considérons la fonction polynôme de degré inférieur à vérifiant
Sur l’espace , on peut introduire la norme donnée par
Pour cette norme, on peut affirmer que la suite converge vers . Or l’espace est de dimension finie, toutes les normes y sont donc équivalentes. La convergence de vers a donc aussi lieu pour les normes données par
La suite converge vers sur tout segment de et donc converge simplement vers . Par unicité de la limite simple, la fonction est égale à .
Soit un sous-espace vectoriel de dimension finie de l’espace des fonctions réelles définies et continues sur .
Établir l’existence d’un multiplet tel que l’application
soit une norme sur .
Soit une suite de fonctions de convergeant simplement vers une fonction . Montrer que est élément de puis que la convergence est uniforme.
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Édité le 29-08-2023
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