Exercice 1 458 Correction

Soit $N$ une norme sur $ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer qu’il existe $c > 0$ tel que

N (A B) \leq c N (A) N (B) .

Solution

On sait $N_{\infty} (A B) \leq n N_{\infty} (A) N_{\infty} (B)$ et $α N \leq N_{\infty} \leq β N$ avec $α, β > 0$ donc

N (A B) \leq \frac{1}{α} N_{\infty} (A B) \leq \frac{n}{α} N_{\infty} (A) N_{\infty} (B) \leq \frac{n β^{2}}{α} N (A) N (B) .

Exercice 2 3146

Soient $n \in ℕ$ et $E_{n}$ l’espace des polynômes réels de degré au plus $n$ .

Montrer qu’il existe $λ > 0$ vérifiant

\int_{0}^{1} | P (t) | d t \geq λ sup_{t \in [0; 1]} | P (t) | pour tout P \in E_{n} .

Exercice 3 474 Correction

Pour $d \in ℕ$ , on pose $E = ℝ_{d} [X]$ l’espace des polynômes réels en l’indéterminée $X$ de degrés au plus $d$ .

(a)

Pour $ξ = (ξ_{0}, \dots, ξ_{d})$ famille de $d + 1$ nombres réels distincts et $P \in E$ , on pose

$N_{ξ} (P) = \sum_{k = 0}^{d} | P (ξ_{k}) | .$

Montrer que $N_{ξ}$ définit une norme sur $E$ .

Soit $(P_{n})$ une suite de polynômes éléments de $E$ .

(b)
Établir que les assertions suivantes sont équivalentes:
- (i)
  
  la suite $(P_{n})$ converge dans l’espace normé $(E, N_{ξ})$ ;
- (ii)
  
  la suite de fonctions $(P_{n})$ converge uniformément sur tout segment de $ℝ$ ;
- (iii)
  
  la suite de fonctions $(P_{n})$ converge simplement sur $ℝ$ .

Solution

(a)

On vérifie que l’application $N_{ξ}$ est correctement définie et satisfait les propriétés requises.
(b)

(i) $⟹$ (ii) Supposons que la suite $(P_{n})$ converge vers un polynôme $P$ pour la norme $N_{ξ}$ .

Soit $[a; b]$ un segment de $ℝ$ avec $a < b$ . L’application $N = {∥ \cdot ∥}_{\infty, [a; b]}$ définit une norme sur $E$ qui est équivalent à $N_{ξ}$ car l’espace $E$ est de dimension finie. Puisque $(P_{n})$ converge vers $P$ pour la norme $N_{ξ}$ , on peut affirmer que la convergence a aussi lieu pour la norme $N$ et donc $(P_{n})$ converge uniformément vers $P$ sur le segment $[a; b]$ .

(ii) $⟹$ (iii) Si la suite $(P_{n})$ converge uniformément sur tout segment vers une fonction $f$ , elle converge aussi simplement vers $f$ .

(iii) $⟹$ (i) Supposons que la suite de fonctions $(P_{n})$ converge simplement vers une fonction $f$ . La famille $ξ = (ξ_{0}, \dots, ξ_{d})$ est constituée de $d + 1$ réels distincts. Par interpolation de Lagrange, il existe $P \in E$ tel que $P (ξ_{k}) = f (ξ_{k})$ pour tout $k = 0, \dots, d$ . On peut affirmer que la $(P_{n})$ suite converge vers $P$ pour la norme $N_{ξ}$ car

$N_{ξ} (P_{n} - P) = \sum_{k = 0}^{d} | P_{n} (ξ_{k}) - f (ξ_{k}) | \to_{n \to + \infty}^{} 0 .$

Exercice 4 1582 ENTPE (MP)Correction

Soient $N \in ℕ$ et ${(P_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite de fonctions polynomiales toutes de degré au plus $N$ . Montrer que si ${(P_{n})}_{n \in ℕ}$ converge simplement vers une fonction $f$ sur $ℝ$ alors $f$ est une fonction polynomiale et la convergence est uniforme sur tout segment de $ℝ$ .

Solution

Soient $a_{0}, \dots, a_{N}$ des réels deux à deux distincts. Considérons la fonction polynôme $P$ de degré inférieur à $N$ vérifiant

\forall k \in {0, \dots, N}, P (a_{k}) = f (a_{k}) .

Sur l’espace $ℝ_{N} [X]$ , on peut introduire la norme donnée par

N (Q) = \max_{0 \leq k \leq N} | Q (a_{k}) | .

Pour cette norme, on peut affirmer que la suite $(P_{n})$ converge vers $P$ . Or l’espace $ℝ_{N} [X]$ est de dimension finie, toutes les normes y sont donc équivalentes. La convergence de $(P_{n})$ vers $P$ a donc aussi lieu pour les normes données par

{∥ Q ∥}_{\infty, [a; b]} = sup_{t \in [a; b]} | Q (t) | .

La suite $(P_{n})$ converge vers $P$ sur tout segment de $ℝ$ et donc converge simplement vers $P$ . Par unicité de la limite simple, la fonction $f$ est égale à $P$ .

Exercice 5 2768 MINES (MP)

Soit $E$ un sous-espace vectoriel de dimension finie $d \geq 1$ de l’espace $𝒞 ([0; 1], ℝ)$ des fonctions réelles définies et continues sur $[0; 1]$ .

(a)

Établir l’existence d’un multiplet $(a_{1}, \dots, a_{d}) \in {[0; 1]}^{d}$ tel que l’application

$N : f \in E \mapsto \sum_{i = 1}^{d} | f (a_{i}) |$

soit une norme sur $E$ .
(b)

Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions de $E$ convergeant simplement vers une fonction $f : [0; 1] \to ℝ$ . Montrer que $f$ est élément de $E$ puis que la convergence est uniforme.

[<] Comparaison de normes [>] Suites de vecteurs

Édité le 05-04-2024

Équivalence de normes en dimension finie