[<] Calcul de distance à une partie [>] Équivalence de normes en dimension finie
On considère les normes usuelles , et sur .
Montrer
et déterminer, pour chaque inégalité, un vecteur non nul réalisant l’égalité.
Comparer de même et d’une part, et d’autre part.
On note l’espace des suites réelles bornées telles que .
Montrer que
définissent des normes sur l’espace .
Montrer que
Déterminer une suite non nulle telle qu’il y ait égalité.
Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.
Solution
est bien connue pour être une norme sur l’ensemble des fonctions bornées, il en est de même sur l’ensemble des suites bornées dont le premier terme est nul.
L’application est bien définie. On vérifie aisément et . Si alors pour tout , et puisque , on obtient . Ainsi est une norme sur .
Pour , on a, pour tout ,
On en déduit
La suite définie par et pour est une suite non nulle pour laquelle il y a égalité.
Considérons la suite définie par
On a
On en déduit que les normes et ne sont pas équivalentes car
On note l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang.
On définit des normes , et sur en posant
Comparer et .
Comparer et .
Solution
Aisément, .
Soit définie par si et sinon.
On a et : il n’existe donc pas de tel que .
Les normes et ne sont pas équivalentes.
En introduisant tel que on a
Ainsi, .
Soit définie par si et sinon.
On a et : il n’existe donc pas de tel que .
Les normes et ne sont pas équivalentes.
On note l’espace des suites réelles sommables. Cet espace est normé par
Soit . Montrer que est bornée.
Cela permet d’introduire la norme définie par
Comparer et .
Soit . Montrer que est de carré sommable
Cela permet d’introduire la norme définie par
Comparer et .
Solution
La suite étant sommable, elle converge vers 0 et est par conséquent bornée.
Pour tout ,
donc
Soit définie par si et sinon. .
On a et donc il n’existe pas de tel que .
et ne sont pas équivalentes.
On a donc quand :
Ainsi .
Soit définie par si et sinon. .
On a et donc il n’existe pas de tel que .
et ne sont pas équivalentes.
On note l’espace des suites réelles bornées normé par .
Soit une suite réelle. Former une condition nécessaire et suffisante sur la suite pour que l’application
définit une norme sur .
Comparer et .
Solution
Supposons que est une norme sur .
Pour , la suite élémentaire est non nulle donc
De plus, pour la suite constante , la quantité existe et donc la série converge.
Inversement, si est une série convergente à termes strictement positifs alors on montre que l’application est bien définie et que celle-ci est une norme sur l’espace .
On a aisément avec .
Inversement, supposons . Pour la suite élémentaire , on obtient et donc pour tout . Cette propriété est incompatible avec la convergence de la série .
Ainsi, est dominée par mais ces deux normes ne sont pas équivalentes.
On note l’espace des suites réelles bornées.
Pour et , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Soient distincts. Comparer les normes et .
Solution
L’application est correctement définie de vers . En effet, pour , la suite est sommable car
Soient et .
Si alors, par sommation de termes tous positifs,
Puisque pour tout , la suite est la suite nulle.
Par simples calculs, on vérifie et .
Quitte à échanger, on peut supposer .
D’une part, pour tout et donc
La norme est dominée par .
Inversement, pour considérons . On remarque
La norme n’est pas dominée par .
Pour , on pose
avec la suite des coefficients définissant .
Justifier que définit une norme sur .
On établit de façon analogue que définit aussi une norme sur .
Comparer les normes et .
Solution
L’application est correctement définie de vers . En effet, pour , la suite des coefficients de est nulle à partir d’un certain rang. La série définissant est donc convergente et sa somme est évidemment positive.
Soient et .
Si alors tous les coefficients de sont nuls par nullité de la somme d’une série à termes positifs. On en déduit que est le polynôme nul.
Avec des notations entendues,
et
L’application est une norme sur
On a immédiatement car une somme de termes positifs est assurément supérieure à chacun de ses termes, notamment le plus grand. Ainsi, la norme est dominée par la norme . La réciproque n’est pas vraie puisque, pour
on vérifie
de sorte que
Pour , on pose
Montrer que et sont deux normes sur .
Étudier la convergence pour l’une et l’autre norme de la suite de terme général
Les normes et sont-elles équivalentes?
Solution
.
or
et donc .
Finalement, est une norme.
et par infinité de racines .
La suite converge vers 0 pour mais n’est pas bornée et donc diverge pour .
Les normes ne peuvent être équivalentes car sinon les suites convergeant pour l’une des normes convergerait pour l’autre.
Soit . Pour tout , on pose
Établir que définit une norme sur .
Justifier que, pour tous , les normes et sont équivalentes.
On considère la suite avec . Pour quelle(s) norme(s) peut-on affirmer que la suite converge?
Montrer que pour et , les normes et ne sont pas équivalentes.
Solution
L’application est correctement définie.
Soit .
Si alors, par nullité d’une somme de termes positifs,
Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et positive,
Le polynôme admet une infinité de racines, c’est donc le polynôme nul. On en déduit que est constant. Or donc est le polynôme nul.
Sans difficultés, on vérifie aussi et (avec des notations entendues).
Soient . Quitte à échanger, on peut supposer .
Pour tout ,
et donc
puis
Ainsi, la norme est dominée par .
De manière semblable11 1 On sera attentif à l’ordre des bornes d’intégration., on obtient que est dominée par .
Les normes et sont équivalentes.
Pour ,
Cas: .
et donc
Cas: .
et donc diverge pour (car la suite n’est pas bornée).
Cas: .
et donc
Cas: .
et
donc
La suite diverge pour car les suites extraites et convergent vers des limites distinctes.
Considérons pour .
De manière semblable à ce qui précède, on observe
Les normes et ne sont pas équivalentes.
Soit . On définit les normes , et par:
Montrer que est plus fine que et mais qu’elle n’équivaut ni à l’une, ni à l’autre.
Comparer et .
Solution
et
Posons , alors que et . Les normes ne sont donc pas équivalentes.
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz:
donc
Pour , et , les normes ne sont donc pas équivalentes.
On considère l’espace des fonctions de classe de vers .
Pour , on pose . Montrer que définit une norme sur .
Pour , on pose . On vérifie aisément que est aussi une norme sur . Montrer que la norme est équivalente à .
Les normes et sont-elles équivalentes à ?
Soit . On définit et par
Montrer que et sont des normes sur .
Comparer et d’une part, et d’autre part.
Solution
Sans difficultés.
On a car
et sans difficultés on a aussi .
Posons
On a , et .
On en déduit que les normes et d’une part, et d’autre part, ne sont pas équivalentes.
Soient et définie par
Montrer que définit une norme sur .
Comparer et .
Solution
Posons .
est une forme bilinéaire symétrique, et si alors et pour tout , donc .
est donc un produit scalaire et apparaît comme étant la norme associée.
Pour tout ,
donc .
Pour ,
Les deux normes ne sont donc pas équivalentes.
Soient l’espace et les applications définies sur par
Vérifier que et définissent des normes sur .
Montrer que est dominée par .
En exploitant l’identité
montrer que est dominée par .
Solution
Les applications sont bien définies car toute fonction continue sur un segment y est bornée.
Les propriétés et sont faciles.
Si alors et sachant , on obtient .
Si alors la résolution de l’équation différentielle avec la condition initiale donne .
Ainsi, les applications et sont bien des normes sur .
Pour , on a
ce qui permet d’établir .
Puisque
la norme est dominée par la norme .
Sachant , on a
donc
Puisque
on obtient
et finalement
Sur l’espace , on considère l’application définie par
Montrer que définit une norme sur .
Déterminer un réel tel que pour toute fonction de .
Les normes et sont-elles équivalentes?
On note le -espace vectoriel des fonctions de classe vérifiant . Pour , on pose
Montrer que et sont deux normes sur et qu’elles sont équivalentes.
Solution
Pour tout et tout , il est clair que et que .
Supposons , on a alors donc .
Supposons maintenant que , on a alors donc . Après résolution de l’équation différentielle sous-jacente, avec et finalement .
Finalement, et sont bien deux normes sur .
Il est clair que
Posons maintenant . Pour tout , on a
donc
d’où
puis pour tout . Ainsi,
De plus,
donc
et finalement
On peut conclure que les deux normes sont effectivement équivalentes.
Soient et l’ensemble des fonctions de qui sont positives et ne s’annulent qu’un nombre fini de fois. Pour toute fonction et pour toute fonction on pose
Montrer que est une norme sur
Montrer que si et sont deux applications strictement positives de alors les normes associées sont équivalentes.
Les normes et sont elles équivalentes?
Solution
est bien définie.
Si alors la fonction est nulle. En dehors des valeurs où est nulle, la fonction s’annule. Or ne s’annule qu’un nombre fini de fois, donc par un argument de continuité, s’annule aussi en ces points et finalement .
Les propriétés et sont immédiates.
Considérons la fonction . Cette fonction est définie et continue sur le segment , elle y est donc bornée et il existe vérifiant . On en déduit . Ainsi, est dominée par et par un argument symétrique est dominée par .
On a facilement .
Pour , on a après étude des variations des fonction et
et
donc il n’existe pas de constante telle que . Les deux normes et ne sont pas équivalentes.
Soient et le sous-ensemble de constitué des fonctions positives qui ne s’annulent qu’au plus un nombre fini de fois. Pour toute fonction et pour toute fonction , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Montrer que si et sont deux applications strictement positives de , les normes associées sont équivalentes.
On considère les fonctions et de déterminées par
Les normes et sont-elles équivalentes?
Soit
Montrer que
est une norme sur .
Pour , on pose
On vérifie aisément que est une norme sur . Montrer que la norme est équivalente à .
Solution
L’application est bien définie et l’on vérifie aisément et .
Supposons maintenant , la fonction est alors solution de l’équation différentielle vérifiant les conditions initiales ce qui entraîne .
Finalement, est une norme sur .
On a évidemment .
Inversement, soit et . La fonction est solution de l’équation différentielle
vérifiant les conditions initiales . Après résolution via la méthode de variation des constantes, on obtient
On en déduit
et donc . De plus,
donc
Quelles sont les valeurs de pour lesquelles l’application
définit une norme sur .
Si et sont des normes, calculer
Solution
et doivent exister et être strictement positifs. Cela fournit les conditions nécessaires et d’où . Montrons que cette condition est suffisante.
Supposons et considérons définie par .
L’application est une forme bilinéaire symétrique sur et pour , en vertu de . Ainsi est un produit scalaire sur et est la norme euclidienne associée.
Le cas est immédiat. Quitte à échanger, on peut désormais supposer .
Par homogénéité, on peut limiter l’étude de au couple avec .
Posons
On a
Les variations de sont faciles et les extremums de sont en et . Ils valent et .
On en déduit
et
(dans le cas ).
[<] Calcul de distance à une partie [>] Équivalence de normes en dimension finie
Édité le 15-11-2024
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