Exercice 1 5237

On considère les normes usuelles ${∥ \cdot ∥}_{1}$ , ${∥ \cdot ∥}_{2}$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ sur $ℝ^{n}$ .

(a)

Montrer

${∥ x ∥}_{1} \leq \sqrt{n} {∥ x ∥}_{2} et {∥ x ∥}_{2} \leq {∥ x ∥}_{1} pour tout x \in ℝ^{n}$

et déterminer, pour chaque inégalité, un vecteur $x$ non nul réalisant l’égalité.
(b)

Comparer de même ${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ d’une part, ${∥ \cdot ∥}_{2}$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ d’autre part.

Exercice 2 39 CCINP (MP)Correction

On note $E$ l’espace des suites réelles bornées $u = {(u_{n})}_{n \in ℕ}$ telles que $u_{0} = 0$ .

(a)

Montrer que

$N_{\infty} (u) = sup_{n \in ℕ} | u_{n} | et N (u) = sup_{n \in ℕ} | u_{n + 1} - u_{n} |$

définissent des normes sur l’espace $E$ .
(b)

Montrer que

$N (u) \leq 2 N_{\infty} (u) pour tout u \in E .$

Déterminer une suite non nulle telle qu’il y ait égalité.
(c)

Montrer que ces deux normes ne sont pas équivalentes.

Solution

(a)

$N_{\infty}$ est bien connue pour être une norme sur l’ensemble des fonctions bornées, il en est de même sur l’ensemble des suites bornées dont le premier terme est nul.
L’application $N : E \to ℝ_{+}$ est bien définie. On vérifie aisément $N (u + v) \leq N (u) + N (v)$ et $N (λ u) = | λ | N (u)$ . Si $N (u) = 0$ alors pour tout $n \in ℕ$ , $u_{n + 1} = u_{n}$ et puisque $u_{0} = 0$ , on obtient $u = 0$ . Ainsi $N$ est une norme sur $E$ .
(b)

Pour $u \in E$ , on a, pour tout $n \in ℕ$ ,

$| u_{n + 1} - u_{n} | \leq | u_{n + 1} | + | u_{n} | \leq 2 N_{\infty} (u) .$

On en déduit

$N (u) \leq 2 N_{\infty} (u) .$

La suite $u$ définie par $u_{0} = 0$ et $u_{n} = {(- 1)}^{n}$ pour $n \geq 1$ est une suite non nulle pour laquelle il y a égalité.
(c)

Considérons la suite $u^{(p)}$ définie par

$u^{(p)} (n) = {\begin{matrix} n & si n \leq p \\ p & sinon. \end{matrix}$

On a

$u^{(p)} \in E, N_{\infty} (u^{(p)}) = p et N (u^{(p)}) = 1 .$

On en déduit que les normes $N$ et $N_{\infty}$ ne sont pas équivalentes car

$\frac{N_{\infty} (u^{(p)})}{N (u^{(p)})} \to_{p \to + \infty}^{} + \infty .$

Exercice 3 468 Correction

On note $ℝ^{(ℕ)}$ l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang.

On définit des normes ${∥ \cdot ∥}_{1}$ , ${∥ \cdot ∥}_{2}$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ sur $ℝ^{(ℕ)}$ en posant

{∥ u ∥}_{1} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} |, {∥ u ∥}_{2} = {(\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}^{2})}^{1 / 2} et {∥ u ∥}_{\infty} = sup_{n \in ℕ} | u_{n} | .

(a)

Comparer ${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .
(b)

Comparer ${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{2}$ .

Solution

(a)

Aisément, ${∥ \cdot ∥}_{\infty} \leq {∥ \cdot ∥}_{1}$ .

Soit $u^{N}$ définie par $u_{n}^{N} = 1$ si $n < N$ et $u_{n}^{N} = 0$ sinon.
On a ${∥ u^{N} ∥}_{1} = N$ et ${∥ u^{N} ∥}_{\infty} = 1$ : il n’existe donc pas de $α > 0$ tel que ${∥ \cdot ∥}_{1} \leq α {∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .

Les normes ${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ ne sont pas équivalentes.
(b)

En introduisant $N$ tel que $n > N ⟹ u_{n} = 0$ on a

${∥ u ∥}_{2}^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {| u_{n} |}^{2} = \sum_{n = 0}^{N} {| u_{n} |}^{2} \leq {(\sum_{n = 0}^{N} | u_{n} |)}^{2} = {(\sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} |)}^{2} = {∥ u ∥}_{1}^{2} .$

Ainsi, ${∥ \cdot ∥}_{2} \leq {∥ \cdot ∥}_{1}$ .

Soit $u^{N}$ définie par $u_{n}^{N} = 1$ si $n < N$ et $u_{n}^{N} = 0$ sinon.

On a ${∥ u^{N} ∥}_{1} = N$ et ${∥ u^{N} ∥}_{2} = \sqrt{N}$ : il n’existe donc pas de $α > 0$ tel que ${∥ \cdot ∥}_{1} \leq α {∥ \cdot ∥}_{2}$ .

Les normes ${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{2}$ ne sont pas équivalentes.

Exercice 4 469 Correction

On note $ℓ^{1} (ℕ, ℝ)$ l’espace des suites réelles sommables. Cet espace est normé par

{∥ u ∥}_{1} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} | .

(a)

Soit $u \in ℓ^{1} (ℕ, ℝ)$ . Montrer que $u$ est bornée.
Cela permet d’introduire la norme ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ définie par

${∥ u ∥}_{\infty} = sup_{n \in ℕ} | u_{n} | .$

Comparer ${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .
(b)

Soit $u \in ℓ^{1} (ℕ, ℝ)$ . Montrer que $u$ est de carré sommable
Cela permet d’introduire la norme ${∥ \cdot ∥}_{2}$ définie par

${∥ u ∥}_{2} = {(\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}^{2})}^{1 / 2} .$

Comparer ${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{2}$ .

Solution

(a)

La suite $u$ étant sommable, elle converge vers 0 et est par conséquent bornée.
Pour tout $n \in ℕ$ ,

$| u_{n} | \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} | u_{k} |$

donc

${∥ u ∥}_{\infty} \leq {∥ u ∥}_{1} .$

Soit $u^{N}$ définie par $u_{n}^{N} = 1$ si $n < N$ et $u_{n}^{N} = 0$ sinon. $u^{N} \in ℓ^{1} (ℝ)$ .
On a ${∥ u^{N} ∥}_{1} = N$ et ${∥ u^{N} ∥}_{\infty} = 1$ donc il n’existe pas de $α > 0$ tel que ${∥ \cdot ∥}_{1} \leq α {∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .
${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ ne sont pas équivalentes.
(b)

On a $\sum_{n = 0}^{N} {| u_{n} |}^{2} \leq {(\sum_{n = 0}^{N} | u_{n} |)}^{2}$ donc quand $N \to + \infty$ :

${∥ u ∥}_{2}^{2} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} {| u_{n} |}^{2} \leq {(\sum_{n = 0}^{+ \infty} | u_{n} |)}^{2} = {∥ u ∥}_{1}^{2} .$

Ainsi ${∥ \cdot ∥}_{2} \leq {∥ \cdot ∥}_{1}$ .
Soit $u^{N}$ définie par $u_{n}^{N} = 1$ si $n < N$ et $u_{n}^{N} = 0$ sinon. $u^{N} \in ℓ^{1} (ℝ)$ .
On a ${∥ u^{N} ∥}_{1} = N$ et ${∥ u^{N} ∥}_{2} = \sqrt{N}$ donc il n’existe pas de $α > 0$ tel que ${∥ \cdot ∥}_{1} \leq α {∥ \cdot ∥}_{2}$ .
${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{2}$ ne sont pas équivalentes.

Exercice 5 3265 Correction

On note $ℬ (ℕ, ℝ)$ l’espace des suites réelles bornées normé par ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .

(a)

Soit $a = (a_{n})$ une suite réelle. Former une condition nécessaire et suffisante sur la suite $a$ pour que l’application

$N_{a} : x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} | x_{n} |$

définit une norme sur $ℬ (ℕ, ℝ)$ .
(b)

Comparer $N_{a}$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .

Solution

(a)

Supposons que $N_{a}$ est une norme sur $ℬ (ℕ, ℝ)$ .
Pour $m \in ℕ$ , la suite élémentaire $e_{m} = {(δ_{m, n})}_{n \in ℕ}$ est non nulle donc

$N_{a} (e_{m}) = a_{m} > 0 .$

De plus, pour la suite constante $u = {(1)}_{n \in ℕ}$ , la quantité $N_{a} (u)$ existe et donc la série $\sum a_{n}$ converge.
Inversement, si $\sum a_{n}$ est une série convergente à termes strictement positifs alors on montre que l’application $N_{a} : ℬ (ℕ, ℝ) \to ℝ_{+}$ est bien définie et que celle-ci est une norme sur l’espace $ℬ (ℕ, ℝ)$ .
(b)

On a aisément $N_{a} \leq k {∥ \cdot ∥}_{\infty}$ avec $k = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n}$ .
Inversement, supposons ${∥ \cdot ∥}_{\infty} \leq k^{'} N_{a}$ . Pour la suite élémentaire $e_{m}$ , on obtient ${∥ e_{m} ∥}_{\infty} \leq k^{'} N_{a} (e_{m})$ et donc $a_{m} \geq 1 / k$ pour tout $m \in ℕ$ . Cette propriété est incompatible avec la convergence de la série $\sum a_{n}$ .
Ainsi, $N_{a}$ est dominée par ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ mais ces deux normes ne sont pas équivalentes.

Exercice 6 5723 Correction

On note $E = ℬ (ℕ, ℝ)$ l’espace des suites réelles bornées.

Pour $a \in] 0; 1 [$ et $x = {(x_{n})}_{n \in ℕ} \in E$ , on pose

N_{a} (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a^{n} | x_{n} | .

(a)

Montrer que $N_{a}$ définit une norme sur $E$ .
(b)

Soient $a, b \in] 0; 1 [$ distincts. Comparer les normes $N_{a}$ et $N_{b}$ .

Solution

(a)

L’application $N_{a}$ est correctement définie de $E$ vers $ℝ_{+}$ . En effet, pour $x \in E$ , la suite ${(a^{n} x_{n})}_{n \in ℕ}$ est sommable car

$a^{n} x_{n} \underset{n \to + \infty}{=} O (a^{n}) avec | a | < 1 .$

Soient $λ \in ℝ$ et $x, y \in E$ .

Si $N_{a} (x) = 0$ alors, par sommation de termes tous positifs,

$\forall n \in ℕ, a^{n} | x_{n} | = 0 .$

Puisque $a^{n} \neq 0$ pour tout $n \in ℕ$ , la suite $x = {(x_{n})}_{n \in ℕ}$ est la suite nulle.

Par simples calculs, on vérifie $N_{a} (λ . x) = | λ | N_{a} (x)$ et $N_{a} (x + y) \leq N_{a} (x) + N_{a} (y)$ .
(b)

Quitte à échanger, on peut supposer $a < b$ .

D’une part, $a^{n} \leq b^{n}$ pour tout $n \in ℕ$ et donc

$\forall x \in E, N_{a} (x) \leq N_{b} (x) .$

La norme $N_{a}$ est dominée par $N_{b}$ .

Inversement, pour $p \in ℕ$ considérons $e^{(p)} = {(δ_{n, p})}_{n \in ℕ} \in E$ . On remarque

$\frac{N_{b} (e^{(p)})}{N_{a} (e^{(p)})} = \frac{b^{p}}{a^{p}} = {(\frac{b}{a})}^{p} \to_{p \to + \infty}^{} + \infty .$

La norme $N_{b}$ n’est pas dominée par $N_{a}$ .

Exercice 7 5686 Correction

Pour $P \in ℝ [X]$ , on pose

N_{1} (P) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | a_{k} | et N_{\infty} (P) = \max_{k \in ℕ} | a_{k} |

avec $(a_{k})$ la suite des coefficients définissant $P$ .

(a)

Justifier que $N_{1}$ définit une norme sur $ℝ [X]$ .

On établit de façon analogue que $N_{\infty}$ définit aussi une norme sur $ℝ [X]$ .

(b)

Comparer les normes $N_{1}$ et $N_{\infty}$ .

Solution

(a)

L’application $N_{1}$ est correctement définie de $ℝ [X]$ vers $ℝ_{+}$ . En effet, pour $P \in ℝ [X]$ , la suite des coefficients de $P$ est nulle à partir d’un certain rang. La série définissant $N_{1} (P)$ est donc convergente et sa somme est évidemment positive.

Soient $λ \in ℝ$ et $P, Q \in ℝ [X]$ .

Si $N_{1} (P) = 0$ alors tous les coefficients de $P$ sont nuls par nullité de la somme d’une série à termes positifs. On en déduit que $P$ est le polynôme nul.

Avec des notations entendues,

$N_{1} (P) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | λ a_{k} | = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | λ | | a_{k} | = | λ | \sum_{k = 0}^{+ \infty} | a_{k} | = | λ | N_{1} (P)$

et

$N_{1} (P + Q) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | a_{k} + b_{k} | \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} (| a_{k} | + | b_{k} |) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | a_{k} | + \sum_{k = 0}^{+ \infty} | b_{k} | = N_{1} (P) + N_{1} (Q) .$

L’application $N_{1}$ est une norme sur $ℝ [X]$
(b)

On a immédiatement $N_{\infty} \leq N_{1}$ car une somme de termes positifs est assurément supérieure à chacun de ses termes, notamment le plus grand. Ainsi, la norme $N_{\infty}$ est dominée par la norme $N_{1}$ . La réciproque n’est pas vraie puisque, pour

$P_{n} = 1 + X + \dots + X_{n} avec n \in ℕ,$

on vérifie

$N_{1} (P_{n}) = n + 1 et N_{\infty} (P_{n}) = 1$

de sorte que

$\frac{N_{1} (P_{n})}{N_{\infty} (P_{n})} = n + 1 \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .$

Exercice 8 473 Correction

Pour $P \in ℝ [X]$ , on pose

N_{1} (P) = \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{(k)} (0) | et N_{2} (P) = sup_{t \in [- 1,1]} | P (t) | .

(a)

Montrer que $N_{1}$ et $N_{2}$ sont deux normes sur $ℝ [X]$ .
(b)

Étudier la convergence pour l’une et l’autre norme de la suite de terme général

$P_{n} = \frac{1}{n} X^{n} .$
(c)

Les normes $N_{1}$ et $N_{2}$ sont-elles équivalentes?

Solution

(a)

$N_{1}, N_{2} : ℝ [X] \to ℝ$ .

$N_{1} (P + Q)$ $= \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{(k)} (0) + Q^{(k)} (0) | \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{(k)} (0) | + | Q^{(k)} (0) |$

$= \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{(k)} (0) | + \sum_{k = 0}^{+ \infty} | Q^{(k)} (0) | = N_{1} (P) + N_{1} (Q) .$

$N_{1} (λ P)$ $= \sum_{k = 0}^{+ \infty} | λ P^{(k)} (0) | = | λ | \sum_{k = 0}^{+ \infty} | P^{(k)} (0) | = | λ | N_{1} (P) .$

$N_{1} (P) = 0 ⟹ \forall k \in ℤ, P^{(k)} (0) = 0$

or

$P = \sum_{k = 0}^{+ \infty} \frac{P^{(k)} (0)}{k!} X^{k}$

et donc $P = 0$ .
Finalement, $N_{1}$ est une norme.

$N_{2} (P + Q)$ $= sup_{t \in [- 1; 1]} | P (t) + Q (t) | \leq sup_{t \in [- 1; 1]} | P (t) | + | Q (t) |$

$\leq sup_{t \in [- 1; 1]} | P (t) | + sup_{t \in [- 1; 1]} | Q (t) | = N_{2} (P) + N_{2} (Q) .$

$N_{2} (λ P)$ $= sup_{t \in [- 1; 1]} | λ P (t) | = sup_{t \in [- 1; 1]} | λ | | P (t) | = | λ | sup_{t \in [- 1; 1]} | P (t) | = | λ | N_{2} (P) .$

$N_{2} (P) = 0 ⟹ \forall t \in [- 1; 1], P (t) = 0$

et par infinité de racines $P = 0$ .
(b)

La suite ${(\frac{1}{n} X^{n})}_{n \in ℕ}$ converge vers 0 pour $N_{2}$ mais n’est pas bornée et donc diverge pour $N_{1}$ .
(c)

Les normes ne peuvent être équivalentes car sinon les suites convergeant pour l’une des normes convergerait pour l’autre.

Exercice 9 5822 Correction

Soit $a \in ℝ$ . Pour tout $P \in ℝ [X]$ , on pose

N_{a} (P) = | P (a) | + \int_{0}^{1} | P^{'} (t) | d t .

(a)

Établir que $N_{a}$ définit une norme sur $ℝ [X]$ .
(b)

Justifier que, pour tous $a, b \in [0; 1]$ , les normes $N_{a}$ et $N_{b}$ sont équivalentes.
(c)

On considère la suite ${(P_{n})}_{n \in ℕ}$ avec $P_{n} = X^{n} / 2^{n}$ . Pour quelle(s) norme(s) $N_{a}$ peut-on affirmer que la suite ${(P_{n})}_{n \in N}$ converge?
(d)

Montrer que pour $a \in [0; 1]$ et $b \in] 1; + \infty [$ , les normes $N_{a}$ et $N_{b}$ ne sont pas équivalentes.

Solution

(a)

L’application $N_{a} : ℝ [X] \to ℝ_{+}$ est correctement définie.

Soit $P \in ℝ [X]$ .

Si $N_{a} (P) = 0$ alors, par nullité d’une somme de termes positifs,

$| P (a) | = 0 et \int_{0}^{1} | P^{'} (t) | d t = 0 .$

Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et positive,

$\forall t \in [0; 1], P^{'} (t) = 0 .$

Le polynôme $P^{'}$ admet une infinité de racines, c’est donc le polynôme nul. On en déduit que $P$ est constant. Or $P (a) = 0$ donc $P$ est le polynôme nul.

Sans difficultés, on vérifie aussi $N_{a} (λ P) = | λ | N_{a} (P)$ et $N_{a} (P + Q) \leq N_{a} (P) + N_{a} (Q)$ (avec des notations entendues).
(b)

Soient $a, b \in [0; 1]$ . Quitte à échanger, on peut supposer $a \leq b$ .

Pour tout $P \in ℝ [X]$ ,

$P (b) = P (a) + \int_{a}^{b} P^{'} (t) d t .$

et donc

$| P (b) | \leq | P (a) | + \int_{a}^{b} | P^{'} (t) | d t \leq | P (a) | + \int_{0}^{1} | P^{'} (t) | d t = N_{a} (P)$

puis

$N_{b} (P) = | P (b) | + \int_{0}^{1} | P^{'} (t) | d t \leq N_{a} (P) + \int_{0}^{1} | P^{'} (t) | d t \leq 2 N_{a} (P) .$

Ainsi, la norme $N_{b}$ est dominée par $N_{a}$ .

De manière semblable¹¹ 1 On sera attentif à l’ordre des bornes d’intégration., on obtient que $N_{a}$ est dominée par $N_{b}$ .

Les normes $N_{a}$ et $N_{b}$ sont équivalentes.
(c)

Pour $n \in ℕ$ ,

$N_{a} (P_{n}) = \frac{{| a |}^{n}}{2^{n}} + \int_{0}^{1} \frac{n t^{n - 1}}{2^{n}} d t = \frac{{| a |}^{n}}{2^{n}} + {[\frac{t^{n}}{2^{n}}]}_{0}^{1} = \frac{{| a |}^{n} + 1}{2^{n}} .$

Cas: $| a | < 2$ .

$N_{a} (P_{n}) \to_{n \to + \infty}^{} 0$

et donc

$P_{n} \to_{n \to + \infty}^{N_{a}} 0 .$

Cas: $| a | > 2$ .

$N_{a} (P_{n}) \to_{n \to + \infty}^{} + \infty$

et donc ${(P_{n})}_{n \in ℕ}$ diverge pour $N_{a}$ (car la suite n’est pas bornée).

Cas: $a = 2$ .

$N_{a} (P_{n} - 1) = 0 + \int_{0}^{1} \frac{n t^{n - 1}}{2^{n}} d t = \frac{1}{2^{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0$

et donc

$P_{n} \to_{n \to + \infty}^{N_{a}} 1 .$

Cas: $a = - 2$ .

$N_{a} (P_{2 n} - 1) = 0 + \int_{0}^{1} \frac{2 n t^{2 n - 1}}{2^{2 n}} d t = \frac{1}{2^{2 n}} \to_{n \to + \infty}^{} 0$

et

$N_{a} (P_{2 n + 1} + 1) = 0 + \int_{0}^{1} \frac{(2 n + 1) t^{2 n}}{2^{2 n + 1}} d t = \frac{1}{2^{2 n + 1}} \to_{n \to + \infty}^{} 0$

donc

$P_{2 n} \to_{n \to + \infty}^{N_{a}} 1 et P_{2 n + 1} \to_{n \to + \infty}^{N_{a}} - 1 .$

La suite $(P_{n})$ diverge pour $N_{a}$ car les suites extraites $(P_{2 n})$ et $(P_{2 n + 1})$ convergent vers des limites distinctes.
(d)

Considérons $Q_{n} = X^{n} / b^{n}$ pour $n \in ℕ$ .

De manière semblable à ce qui précède, on observe

$Q_{n} \to_{n \to + \infty}^{N_{a}} 0 et Q_{n} \to_{n \to + \infty}^{N_{b}} 1 .$

Les normes $N_{a}$ et $N_{b}$ ne sont pas équivalentes.

Exercice 10 466 Correction

Soit $E = 𝒞^{0} ([0; 1], ℝ)$ . On définit les normes ${∥ \cdot ∥}_{1}$ , ${∥ \cdot ∥}_{2}$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ par:

{∥ f ∥}_{1} = \int_{0}^{1} | f (t) | d t, {∥ f ∥}_{2} = {(\int_{0}^{1} f {(t)}^{2} d t)}^{1 / 2} et {∥ f ∥}_{\infty} = sup_{[0; 1]} | f | .

(a)

Montrer que ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ est plus fine que ${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{2}$ mais qu’elle n’équivaut ni à l’une, ni à l’autre.
(b)

Comparer ${∥ \cdot ∥}_{1}$ et ${∥ \cdot ∥}_{2}$ .

Solution

(a)

${∥ f ∥}_{1} \leq \int_{0}^{1} {∥ f ∥}_{\infty} \leq {∥ f ∥}_{\infty}$

et

${∥ f ∥}_{2} \leq {(\int_{0}^{1} {∥ f ∥}_{\infty}^{2})}^{1 / 2} \leq {∥ f ∥}_{\infty} .$

Posons $f_{n} (x) = x^{n}$ , ${∥ f_{n} ∥}_{\infty} = 1$ alors que ${∥ f_{n} ∥}_{1} = \frac{1}{n + 1} \to 0$ et ${∥ f_{n} ∥}_{2} = \frac{1}{\sqrt{2 n + 1}} \to 0$ . Les normes ne sont donc pas équivalentes.
(b)

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz:

$\int_{0}^{1} 1 \times | f (t) | d t \leq {(\int_{0}^{1} 1 d t)}^{1 / 2} {(\int_{0}^{1} f {(t)}^{2} d t)}^{1 / 2}$

donc

${∥ f ∥}_{1} \leq {∥ f ∥}_{2} .$

Pour $f_{n} (x) = \sqrt{2 n + 1} x^{n}$ , ${∥ f_{n} ∥}_{2} = 1$ et ${∥ f_{n} ∥}_{1} = \frac{\sqrt{2 n + 1}}{n + 1} \to 0$ , les normes ne sont donc pas équivalentes.

Exercice 11 463

On considère $E = 𝒞^{1} ([0; 1], ℝ)$ l’espace des fonctions de classe $𝒞^{1}$ de $[0; 1]$ vers $ℝ$ .

(a)

Pour $f \in E$ , on pose $N (f) = | f (0) | + {∥ f^{'} ∥}_{\infty}$ . Montrer que $N$ définit une norme sur $E$ .
(b)

Pour $f \in E$ , on pose $N^{'} (f) = {∥ f ∥}_{\infty} + {∥ f^{'} ∥}_{\infty}$ . On vérifie aisément que $N^{'}$ est aussi une norme sur $E$ . Montrer que la norme $N^{'}$ est équivalente à $N$ .
(c)

Les normes $N$ et $N^{'}$ sont-elles équivalentes à ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ ?

Exercice 12 467 Correction

Soit $E = 𝒞^{1} ([- 1; 1], ℝ)$ . On définit $N_{1}, N_{2}$ et $N_{3}$ par

N_{1} (f) = sup_{[- 1; 1]} | f |, N_{2} (f) = | f (0) | + sup_{[- 1; 1]} | f^{'} | et N_{3} (f) = \int_{- 1}^{1} | f | .

(a)

Montrer que $N_{1}, N_{2}$ et $N_{3}$ sont des normes sur $E$ .
(b)

Comparer $N_{1}$ et $N_{2}$ d’une part, $N_{1}$ et $N_{3}$ d’autre part.

Solution

(a)

Sans difficultés.
(b)

On a $N_{1} (f) \leq N_{2} (f)$ car

$| f (x) | \leq | f (0) | + | \int_{0}^{x} f^{'} (t) d t | \leq | f (0) | + | x | sup_{[- 1; 1]} | f^{'} |$

et sans difficultés on a aussi $N_{3} (f) \leq 2 N_{1} (f)$ .
Posons

$f_{n} (x) = x^{n} .$

On a $N_{1} (f_{n}) = 1$ , $N_{2} (f_{n}) = n$ et $N_{3} (f_{n}) = \frac{2}{n + 1}$ .
On en déduit que les normes $N_{1}$ et $N_{2}$ d’une part, $N_{1}$ et $N_{3}$ d’autre part, ne sont pas équivalentes.

Exercice 13 465 CENTRALE (MP)Correction

Soient $E = C^{1} ([0; 1], ℝ)$ et $N : E \to ℝ_{+}$ définie par

N (f) = \sqrt{f^{2} (0) + \int_{0}^{1} f^{', 2} (t) d t} .

(a)

Montrer que $N$ définit une norme sur $E$ .
(b)

Comparer $N$ et ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .

Solution

(a)

Posons $φ (f, g) = f (0) g (0) + \int_{0}^{1} f^{'} (t) g^{'} (t) d t$ .

$φ$ est une forme bilinéaire symétrique, $φ (f, f) \geq 0$ et si $φ (f, f) = 0$ alors $f (0) = 0$ et pour tout $t \in [0; 1]$ , $f^{'} (t) = 0$ donc $f = 0$ .

$φ$ est donc un produit scalaire et $N$ apparaît comme étant la norme associée.
(b)

Pour tout $x \in [0; 1]$ ,

$| f (x) | \leq \underset{\begin{matrix} \leq N (f) \end{matrix}}{\underset{⏟}{| f (0) |}} + {\bar{| \int_{0}^{x} f^{'} (t) d t |}}_{\leq N (f)} \leq 2 N (f),$

donc ${∥ f ∥}_{\infty} \leq 2 N (f)$ .

Pour $f (x) = \sin (n x π)$ ,

${∥ f ∥}_{\infty} = 1 et N (f) = n π / \sqrt{2} \to_{n \to + \infty}^{} + \infty .$

Les deux normes ne sont donc pas équivalentes.

Exercice 14 3267 Correction

Soient l’espace $E = {f \in 𝒞^{1} ([0; 1], ℝ) | f (0) = 0}$ et $N_{1}, N_{2}$ les applications définies sur $E$ par

N_{1} (f) = {∥ f^{'} ∥}_{\infty} et N_{2} (f) = {∥ f + f^{'} ∥}_{\infty} .

(a)

Vérifier que $N_{1}$ et $N_{2}$ définissent des normes sur $E$ .
(b)

Montrer que $N_{2}$ est dominée par $N_{1}$ .
(c)

En exploitant l’identité

$f (x) = e^{- x} \int_{0}^{x} (f (t) + f^{'} (t)) e^{t} d t$

montrer que $N_{1}$ est dominée par $N_{2}$ .

Solution

(a)

Les applications sont bien définies $N_{i} : E \to ℝ_{+}$ car toute fonction continue sur un segment y est bornée.

Les propriétés $N_{i} (f + g) \leq N_{i} (f) + N_{i} (g)$ et $N_{i} (λ f) = | λ | N_{i} (f)$ sont faciles.

Si $N_{1} (f) = 0$ alors $f^{'} = 0$ et sachant $f (0) = 0$ , on obtient $f = 0$ .

Si $N_{2} (f) = 0$ alors la résolution de l’équation différentielle $f^{'} + f = 0$ avec la condition initiale $f (0) = 0$ donne $f = 0$ .

Ainsi, les applications $N_{1}$ et $N_{2}$ sont bien des normes sur $E$ .
(b)

Pour $f \in E$ , on a

$f (x) = \int_{0}^{x} f^{'} (t) d t$

ce qui permet d’établir ${∥ f ∥}_{\infty} \leq {∥ f^{'} ∥}_{\infty}$ .

Puisque

$N_{2} (f) \leq {∥ f ∥}_{\infty} + {∥ f^{'} ∥}_{\infty} \leq 2 N_{1} (f)$

la norme $N_{2}$ est dominée par la norme $N_{1}$ .
(c)

Sachant $f (0) = 0$ , on a

$f (x) = e^{- x} \int_{0}^{x} {(f (t) e^{t})}^{'} d t = e^{- x} \int_{0}^{x} (f (t) + f^{'} (t)) e^{t} d t$

donc

$| f (x) | \leq N_{2} (f) .$

Puisque

$| f^{'} (x) | \leq | f (x) + f^{'} (x) | + | f (x) |$

on obtient

$| f^{'} (x) | \leq 2 N_{2} (f)$

et finalement

$N_{1} (f) \leq 2 N_{2} (f) .$

Exercice 15 2412 CENTRALE (MP)

Sur l’espace $E = {f \in 𝒞^{1} ([0; 1], ℝ) | f (0) = 0}$ , on considère l’application $N$ définie par

N (f) = {∥ 3 f + f^{'} ∥}_{\infty} = sup_{t \in [0; 1]} | 3 f (t) + f^{'} (t) | .

(a)

Montrer que $N$ définit une norme sur $E$ .
(b)

Déterminer un réel $α > 0$ tel que ${∥ f ∥}_{\infty} \leq α N (f)$ pour toute fonction $f$ de $E$ .
(c)

Les normes ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ et $N$ sont-elles équivalentes?

Exercice 16 464 Correction

On note $E$ le $ℝ$ -espace vectoriel des fonctions $f : [0; 1] \to ℝ$ de classe $𝒞^{1}$ vérifiant $f (0) = 0$ . Pour $f \in E$ , on pose

N_{1} (f) = sup_{x \in [0; 1]} | f (x) | + sup_{x \in [0; 1]} | f^{'} (x) | et N_{2} (f) = sup_{x \in [0; 1]} | f (x) + f^{'} (x) | .

Montrer que $N_{1}$ et $N_{2}$ sont deux normes sur $E$ et qu’elles sont équivalentes.

Solution

Pour tout $f, g \in E$ et tout $λ \in ℝ$ , il est clair que $N_{i} (f + g) \leq N_{i} (f) + N_{i} (g)$ et que $N_{i} (λ f) = λ N_{i} (f)$ .
Supposons $N_{1} (f) = 0$ , on a alors ${sup}_{x \in [0; 1]} | f (x) | = 0$ donc $f = 0$ .
Supposons maintenant que $N_{2} (f) = 0$ , on a alors ${sup}_{x \in [0; 1]} | f (x) + f^{'} (x) | = 0$ donc $f (x) + f^{'} (x) = 0$ . Après résolution de l’équation différentielle sous-jacente, $f (x) = λ e^{- x}$ avec $λ = f (0) = 0$ et finalement $f = 0$ .

Finalement, $N_{1}$ et $N_{2}$ sont bien deux normes sur $E$ .
Il est clair que

N_{2} (f) \leq N_{1} (f) .

Posons maintenant $M = N_{2} (f)$ . Pour tout $x \in [0; 1]$ , on a

| f (x) + f^{'} (x) | \leq M

donc

| {(f (x) e^{x})}^{'} | \leq M e^{x}

d’où

| f (x) e^{x} | = | \int_{0}^{x} {(f (t) e^{t})}^{'} d t | \leq \int_{0}^{x} M e^{t} d t \leq M e x

puis $| f (x) | \leq M e$ pour tout $x \in [0; 1]$ . Ainsi,

sup_{x \in [0; 1]} | f (x) | \leq M e .

De plus,

| f^{'} (x) | \leq | f (x) + f^{'} (x) | + | f (x) | \leq M (1 + e)

donc

sup_{x \in [0; 1]} | f^{'} (x) | \leq M (1 + e)

et finalement

N_{1} (f) \leq M (1 + 2 e) = N_{2} (f) (1 + 2 e) .

On peut conclure que les deux normes sont effectivement équivalentes.

Exercice 17 3262 Correction

Soient $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ et $E^{+}$ l’ensemble des fonctions de $E$ qui sont positives et ne s’annulent qu’un nombre fini de fois. Pour toute fonction $φ \in E^{+}$ et pour toute fonction $f \in E$ on pose

{∥ f ∥}_{φ} = sup_{t \in [0; 1]} {| f (t) | φ (t)} .

(a)

Montrer que ${∥ \cdot ∥}_{φ}$ est une norme sur $E$
(b)

Montrer que si $φ_{1}$ et $φ_{2}$ sont deux applications strictement positives de $E^{+}$ alors les normes associées sont équivalentes.
(c)

Les normes ${∥ \cdot ∥}_{x}$ et ${∥ \cdot ∥}_{x^{2}}$ sont elles équivalentes?

Solution

(a)

${∥ \cdot ∥}_{φ} : E \to ℝ_{+}$ est bien définie.
Si ${∥ f ∥}_{φ} = 0$ alors la fonction $t \mapsto | f (t) | φ (t)$ est nulle. En dehors des valeurs où $φ$ est nulle, la fonction $f$ s’annule. Or $φ$ ne s’annule qu’un nombre fini de fois, donc par un argument de continuité, $f$ s’annule aussi en ces points et finalement $f = \tilde{0}$ .
Les propriétés ${∥ λ f ∥}_{φ} = | λ | {∥ f ∥}_{φ}$ et ${∥ f + g ∥}_{φ} \leq {∥ f ∥}_{φ} + {∥ g ∥}_{φ}$ sont immédiates.
(b)

Considérons la fonction $φ_{2} / φ_{1}$ . Cette fonction est définie et continue sur le segment $[0; 1]$ , elle y est donc bornée et il existe $M \in ℝ_{+}$ vérifiant $\forall x \in [0; 1], φ_{2} (x) \leq M φ_{1} (x)$ . On en déduit ${∥ \cdot ∥}_{φ_{1}} \leq M {∥ \cdot ∥}_{φ_{2}}$ . Ainsi, ${∥ \cdot ∥}_{φ_{1}}$ est dominée par ${∥ \cdot ∥}_{φ_{2}}$ et par un argument symétrique ${∥ \cdot ∥}_{φ_{2}}$ est dominée par ${∥ \cdot ∥}_{φ_{1}}$ .
(c)

On a facilement ${∥ \cdot ∥}_{x^{2}} \leq {∥ \cdot ∥}_{x}$ .
Pour $f_{n} (x) = {(1 - x)}^{n}$ , on a après étude des variations des fonction $x \mapsto x {(1 - x)}^{n}$ et $x \mapsto x^{2} {(1 - x)}^{n}$

${∥ f_{n} ∥}_{x} = \frac{1}{n + 1} {(1 - \frac{1}{n + 1})}^{n} \sim \frac{e^{- 1}}{n}$

et

${∥ f_{n} ∥}_{x^{2}} = {(\frac{2}{n + 2})}^{2} {(1 - \frac{2}{n + 2})}^{n} \sim \frac{e^{- 2}}{n^{2}}$

donc il n’existe pas de constante $M \geq 0$ telle que ${∥ \cdot ∥}_{x} \leq M {∥ \cdot ∥}_{x^{2}}$ . Les deux normes ${∥ \cdot ∥}_{x}$ et ${∥ \cdot ∥}_{x^{2}}$ ne sont pas équivalentes.

Exercice 18 2767 MINES (MP)

Soient $E = 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ et $E^{+}$ le sous-ensemble de $E$ constitué des fonctions positives qui ne s’annulent qu’au plus un nombre fini de fois. Pour toute fonction $φ \in E^{+}$ et pour toute fonction $f \in E$ , on pose

{∥ f ∥}_{φ} = \int_{0}^{1} | f (t) | φ (t) d t .

(a)

Montrer que ${∥ \cdot ∥}_{φ}$ définit une norme sur $E$ .
(b)

Montrer que si $φ_{1}$ et $φ_{2}$ sont deux applications strictement positives de $E^{+}$ , les normes associées sont équivalentes.

On considère les fonctions $φ_{1}$ et $φ_{2}$ de $E^{+}$ déterminées par

φ_{1} (t) = t et φ_{2} (t) = t^{2} pour tout t \in [0; 1] .

Exercice 19 2411 CENTRALE (MP)Correction

Soit

E = {f \in 𝒞^{2} ([0; π], ℝ) | f (0) = f^{'} (0) = 0} .

(a)

Montrer que

$N : f \mapsto {∥ f + f^{''} ∥}_{\infty}$

est une norme sur $E$ .
(b)

Pour $f \in E$ , on pose

$N^{'} : f \mapsto {∥ f ∥}_{\infty} + {∥ f^{''} ∥}_{\infty} .$

On vérifie aisément que $N^{'}$ est une norme sur $E$ . Montrer que la norme $N^{'}$ est équivalente à $N$ .

Solution

(a)

L’application $N : E \to ℝ_{+}$ est bien définie et l’on vérifie aisément $N (λ f) = | λ | N (f)$ et $N (f + g) \leq N (f) + N (g)$ .
Supposons maintenant $N (f) = 0$ , la fonction $f$ est alors solution de l’équation différentielle $y^{''} + y = 0$ vérifiant les conditions initiales $y (0) = y^{'} (0) = 0$ ce qui entraîne $f = 0$ .

Finalement, $N$ est une norme sur $E$ .
(b)

On a évidemment $N \leq N^{'}$ .

Inversement, soit $f \in E$ et $g = f + f^{''}$ . La fonction $f$ est solution de l’équation différentielle

$y^{''} + y = g$

vérifiant les conditions initiales $y (0) = y^{'} (0) = 0$ . Après résolution via la méthode de variation des constantes, on obtient

$f (x) = \int_{0}^{x} \sin (x - t) g (t) d t .$

On en déduit

$| f (x) | \leq x {∥ g ∥}_{\infty} \leq π {∥ g ∥}_{\infty}$

et donc ${∥ f ∥}_{\infty} \leq π N (f)$ . De plus,

${∥ f^{''} ∥}_{\infty} \leq {∥ f + f^{''} ∥}_{\infty} + {∥ f ∥}_{\infty}$

donc

$N^{'} (f) \leq (π + 1) N (f) .$

Exercice 20 2409 CENTRALE (MP)Correction

(a)

Quelles sont les valeurs de $a \in ℝ$ pour lesquelles l’application

$(x, y) \mapsto N_{a} (x, y) = \sqrt{x^{2} + 2 a x y + y^{2}}$

définit une norme sur $ℝ^{2}$ .
(b)

Si $N_{a}$ et $N_{b}$ sont des normes, calculer

$inf_{(x, y) \neq 0} \frac{N_{a} (x, y)}{N_{b} (x, y)} et sup_{(x, y) \neq 0} \frac{N_{a} (x, y)}{N_{b} (x, y)} .$

Solution

(a)

$N_{a} (1,1)$ et $N_{a} (1, - 1)$ doivent exister et être strictement positifs. Cela fournit les conditions nécessaires $2 a + 2 > 0$ et $2 - 2 a > 0$ d’où $a \in] - 1; 1 [$ . Montrons que cette condition est suffisante.
Supposons $a \in] - 1; 1 [$ et considérons $φ : ℝ^{2} \times ℝ^{2} \to ℝ$ définie par $φ ((x, y), (x^{'}, y^{'})) = x x^{'} + y y^{'} + a x y^{'} + a y x^{'}$ .
L’application $φ$ est une forme bilinéaire symétrique sur $ℝ^{2}$ et pour $(x, y) \neq (0,0)$ , $φ ((x, y), (x, y)) \geq (1 - | a |) (x^{2} + y^{2}) > 0$ en vertu de $| 2 a x y | \leq | a | (x^{2} + y^{2})$ . Ainsi $φ$ est un produit scalaire sur $ℝ^{2}$ et $N_{a}$ est la norme euclidienne associée.
(b)

Le cas $a = b$ est immédiat. Quitte à échanger, on peut désormais supposer $a < b$ .
Par homogénéité, on peut limiter l’étude de $\frac{N_{a} (x, y)}{N_{b} (x, y)}$ au couple $(x, y) = (\cos (t), \sin (t))$ avec $t \in] - π / 2; π / 2]$ .
Posons

$f (t) = {(\frac{N_{a} (\cos (t), \sin (t))}{N_{b} (\cos (t), \sin (t))})}^{2} = \frac{1 + a \sin (2 t)}{1 + b \sin (2 t)} .$

On a

$f^{'} (t) = 2 \frac{(a - b) \cos (2 t)}{{(1 + b \sin (2 t))}^{2}} .$

Les variations de $f$ sont faciles et les extremums de $f (t)$ sont en $t = - π / 4$ et $t = π / 4$ . Ils valent $\frac{1 - a}{1 - b}$ et $\frac{1 + a}{1 + b}$ .
On en déduit

$inf_{(x, y) \neq 0} \frac{N_{a} (x, y)}{N_{b} (x, y)} = \sqrt{\frac{1 + a}{1 + b}}$

et

$sup_{(x, y) \neq 0} \frac{N_{a} (x, y)}{N_{b} (x, y)} = \sqrt{\frac{1 - a}{1 - b}}$

(dans le cas $a < b$ ).

[<] Calcul de distance à une partie [>] Équivalence de normes en dimension finie

Édité le 15-11-2024

	$N_{1} (P + Q)$	$= \sum_{k = 0}^{+ \infty} \| P^{(k)} (0) + Q^{(k)} (0) \| \leq \sum_{k = 0}^{+ \infty} \| P^{(k)} (0) \| + \| Q^{(k)} (0) \|$
		$= \sum_{k = 0}^{+ \infty} \| P^{(k)} (0) \| + \sum_{k = 0}^{+ \infty} \| Q^{(k)} (0) \| = N_{1} (P) + N_{1} (Q) .$

	$N_{2} (P + Q)$	$= sup_{t \in [- 1; 1]} \| P (t) + Q (t) \| \leq sup_{t \in [- 1; 1]} \| P (t) \| + \| Q (t) \|$
		$\leq sup_{t \in [- 1; 1]} \| P (t) \| + sup_{t \in [- 1; 1]} \| Q (t) \| = N_{2} (P) + N_{2} (Q) .$

Comparaison de normes