Puisque $0\in {𝒞}_0$, on a déjà

$$d(e,{𝒞}_0)\le d(e\mathrm{,0})={\parallel e\parallel }_{\mathrm{\infty }}=1\text{.}$$

Soit $x\in {𝒞}_0$. On a

$$|x_n-1|\le {\parallel x-e\parallel }_{\mathrm{\infty }}$$

et donc quand $n\to +\mathrm{\infty }$

$$1\le {\parallel x-e\parallel }_{\mathrm{\infty }}\text{.}$$

On en déduit

$$d(e,{𝒞}_0)\ge 1$$

et donc $d(e,{𝒞}_0)=1$.

Puisque $0\in {𝒞}_0$, on a déjà

$$d(u,𝒞)\le d(u\mathrm{,0})={\parallel u\parallel }_{\mathrm{\infty }}=1\text{.}$$

Soit $x\in 𝒞$ et $\mathrm{\ell }\in ℝ$ sa limite. Pour $n=2p$ pair

$$|x_{2p}-u_{2p}|\le {\parallel x-u\parallel }_{\mathrm{\infty }}$$

donne $|x_{2p}-1|\le {\parallel x-u\parallel }_{\mathrm{\infty }}$ puis à la limite

$$|\mathrm{\ell }-1|\le {\parallel x-u\parallel }_{\mathrm{\infty }}\text{.}$$

De même, avec $n=2p+1$ impair, on obtient

$$|\mathrm{\ell }+1|\le {\parallel x-u\parallel }_{\mathrm{\infty }}\text{.}$$

On en duite

$$|1|=\left|\frac{1+\mathrm{\ell }}{2}+\frac{1-\mathrm{\ell }}{2}\right|\le \frac{1}{2}\left(|1+\mathrm{\ell }|+|1-\mathrm{\ell }|\right)\le {\parallel x-u\parallel }_{\mathrm{\infty }}\text{.}$$

On en déduit

$$d(u,𝒞)\ge 1$$

et donc $d(u,𝒞)=1$.

Puisque $0\in F$, on a déjà

$$d(e,F)\le d(e\mathrm{,0})=1\text{.}$$

En raisonnant par l’absurde, montrons $d(e,F)=1$ en supposant $d(e,F)<1$.

Il existe alors une suite $x\in ℬ(\mathbb{N},ℝ)$ vérifiant ${\parallel \mathrm{\Delta }x-e\parallel }_{\mathrm{\infty }}=\rho$ avec $\rho <1$.

Pour tout $k\in \mathbb{N}$, $\left|\mathrm{\Delta }x(k)-1\right|\le \rho$ donc $\mathrm{\Delta }x(k)\ge 1-\rho$. En sommant ces inégalités pour $k$ allant de $0$ à $n-1$, on obtient $x(n)-x(0)\ge n(1-\rho )$ et donc

$$x(n)\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{\overset{}{\to }}+\mathrm{\infty }\text{.}$$

Cela contredit $x\in ℬ(\mathbb{N},ℝ)$ et permet de conclure.

Par définition,

$$d(f,F)=\underset{g\in F}{inf}{\parallel f-g\parallel }_{\mathrm{\infty }}\text{.}$$

Puisque la fonction nulle est continue

$$d(f,F)\le {\parallel f-\tilde{0}\parallel }_{\mathrm{\infty }}=1\text{.}$$

Inversement, soit $g\in F$.

Pour tout $x>0$.

$$\left|f(x)-g(x)\right|=\left|1-g(x)\right|\le {\parallel f-g\parallel }_{\mathrm{\infty }}$$

ce qui donne à la limite quand $x\to 0^{+}$

$$\left|1-g(0)\right|\le {\parallel f-g\parallel }_{\mathrm{\infty }}\text{.}$$

De même, pour $x<0$,

$$\left|f(x)-g(x)\right|=\left|1+g(x)\right|\le {\parallel f-g\parallel }_{\mathrm{\infty }}$$

et donc à la limite quand $x\to 0^{-}$

$$\left|1+g(0)\right|\le {\parallel f-g\parallel }_{\mathrm{\infty }}\text{.}$$

On en déduit

$$2\le \left|1+g(0)\right|+\left|1-g(0)\right|\le 2{\parallel f-g\parallel }_{\mathrm{\infty }}$$

et donc

$$1\le {\parallel f-g\parallel }_{\mathrm{\infty }}\text{.}$$

Finalement, $1\le d(f,F)$ puis $d(f,F)=1$.