[<] Études dans un espace normé [>] Comparaison de normes

 
Exercice 1  3272  Correction  

On norme l’espace (,) des suites bornées par la norme infinie notée .
Déterminer la distance de la suite e constante égale à 1 au sous-espace vectoriel 𝒞0 des suites réelles convergeant vers 0.

Solution

Puisque 0𝒞0, on a déjà

d(e,𝒞0)d(e,0)=e=1.

Soit x𝒞0. On a

|xn-1|x-e

et donc quand n+

1x-e.

On en déduit

d(e,𝒞0)1

et donc d(e,𝒞0)=1.

 
Exercice 2  3273   Correction  

On norme l’espace (,) des suites bornées par la norme infini notée .
Déterminer la distance de la suite u=((-1)n)n au sous-espace vectoriel 𝒞 des suites réelles convergentes.

Solution

Puisque 0𝒞0, on a déjà

d(u,𝒞)d(u,0)=u=1.

Soit x𝒞 et sa limite. Pour n=2p pair

|x2p-u2p|x-u

donne |x2p-1|x-u puis à la limite

|-1|x-u.

De même, avec n=2p+1 impair, on obtient

|+1|x-u.

On en duite

|1|=|1+2+1-2|12(|1+|+|1-|)x-u.

On en déduit

d(u,𝒞)1

et donc d(u,𝒞)=1.

 
Exercice 3  470   Correction  

On norme l’espace (,) des suites bornées par la norme infini notée .

Pour x(,), on note Δx la suite de terme général

Δx(n)=x(n+1)-x(n)

puis on forme F={Δx|x(,)}.

Déterminer la distance de la suite e constante égale à 1 au sous-espace vectoriel F.

Solution

Puisque 0F, on a déjà

d(e,F)d(e,0)=1.

En raisonnant par l’absurde, montrons d(e,F)=1 en supposant d(e,F)<1.

Il existe alors une suite x(,) vérifiant Δx-e=ρ avec ρ<1.

Pour tout k, |Δx(k)-1|ρ donc Δx(k)1-ρ. En sommant ces inégalités pour k allant de 0 à n-1, on obtient x(n)-x(0)n(1-ρ) et donc

x(n)n++.

Cela contredit x(,) et permet de conclure.

 
Exercice 4  3463   Correction  

Soit E l’espace des fonctions bornées de [-1;1] vers normé par

f=supx[-1;1]|f(x)|.

Déterminer la distance de la fonction

f:x{1 si x]0;1]0 si x=0-1 si x[-1;0[

au sous-espace vectoriel F de E formé des fonctions continues de [-1;1] vers .

Solution

Par définition,

d(f,F)=infgFf-g.

Puisque la fonction nulle est continue

d(f,F)f-0~=1.

Inversement, soit gF.

Pour tout x>0.

|f(x)-g(x)|=|1-g(x)|f-g

ce qui donne à la limite quand x0+

|1-g(0)|f-g.

De même, pour x<0,

|f(x)-g(x)|=|1+g(x)|f-g

et donc à la limite quand x0-

|1+g(0)|f-g.

On en déduit

2|1+g(0)|+|1-g(0)|2f-g

et donc

1f-g.

Finalement, 1d(f,F) puis d(f,F)=1.

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Édité le 08-11-2019

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