Exercice 1 5232

Soient $n \in ℕ$ et $a_{0}, \dots, a_{n}$ des réels deux à deux distincts.

Sur l’espace $E_{n}$ des polynômes réels de degrés inférieurs à $n$ , on pose

N (P) = \max_{0 \leq k \leq n} | P (a_{k}) | pour tout P \in E_{n} .

Vérifier que $N$ définit une norme sur $E_{n}$ .

Exercice 2 4669

Sur l’espace $E$ des polynômes réels, on pose

N (P) = sup_{t \in [- 1; 1]} | P (t) | .

Vérifier que $N$ définit une norme sur $E$ .

Exercice 3 5549 Correction

Pour $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose

∥ A ∥ = \sum_{i, j = 1}^{n} | a_{i, j} | .

Montrer que $∥ \cdot ∥$ est une norme matricielle, c’est-à-dire une norme sur $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

\forall A, B \in ℳ_{n} (ℝ), ∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ .

Solution

$∥ \cdot ∥$ est une norme sur $ℳ_{n} (ℝ)$ car c’est la norme $1$ associée à la base canonique de $ℳ_{n} (ℝ)$ .

On a

∥ A B ∥ = \sum_{i, j = 1}^{n} | \sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} b_{k, j} | \leq \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} | a_{i, k} | | b_{k, j} | .

On réorganise le calcul des sommes

∥ A B ∥ \leq \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, k} | | b_{k, j} | = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} (| a_{i, k} | \sum_{j = 1}^{n} | b_{k, j} |) .

Pour tout $k = 1, \dots, n$ ,

\sum_{j = 1}^{n} | b_{k, j} | \leq ∥ B ∥

et donc

∥ A B ∥

\leq \sum_{i = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} | a_{i, k} | ∥ B ∥ = ∥ A ∥ ∥ B ∥ .

Exercice 4 459 Correction

Pour $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose

∥ A ∥ = {(\sum_{i, j = 1}^{n} a_{i, j}^{2})}^{1 / 2} .

Montrer que $∥ \cdot ∥$ est une norme matricielle, c’est-à-dire une norme sur $ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant

\forall (A, B) \in ℳ_{n} {(ℝ)}^{2}, ∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ .

Solution

$∥ \cdot ∥$ est une norme sur $ℳ_{n} (ℝ)$ car c’est la norme 2 associée à la base canonique de $ℳ_{n} (ℝ)$ .
On a

{∥ A B ∥}^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} {(\sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} b_{k, j})}^{2} .

Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

{(\sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} b_{k, j})}^{2} \leq \sum_{k = 1}^{n} a_{i, k}^{2} \sum_{ℓ = 1}^{n} b_{ℓ, j}^{2}

donc

{∥ A B ∥}^{2} \leq \sum_{i, k = 1}^{n} a_{i, k}^{2} \sum_{j, ℓ = 1}^{n} b_{ℓ, j}^{2} = {∥ A ∥}^{2} {∥ B ∥}^{2}

puis

∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ .

Exercice 5 3625 Correction

Pour $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℂ)$ , on pose

∥ A ∥ = sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | .

(a)

Montrer que $∥ \cdot ∥$ définit une norme sur $ℳ_{n} (ℂ)$ .
(b)

Vérifier

$\forall A, B \in ℳ_{n} (ℂ), ∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ .$

Solution

(a)

L’application $∥ \cdot ∥$ est bien définie de $ℳ_{n} (ℂ)$ dans $ℝ_{+}$ .
Si $∥ A ∥ = 0$ alors

$\forall 1 \leq i \leq n, \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | = 0$

et donc

$\forall 1 \leq i, j \leq n, a_{i, j} = 0$

ainsi la matrice $A$ est nulle.
De plus,

$∥ λ A ∥$ $= sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | λ a_{i, j} |$

$= sup_{1 \leq i \leq n} | λ | \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} |$

$= | λ | sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} |$

$= | λ | ∥ A ∥$

et

$∥ A + B ∥$ $= sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} + b_{i, j} |$

$\leq sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | + | b_{i, j} |$

$\leq sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | + sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | b_{i, j} |$

$= ∥ A ∥ + ∥ B ∥ .$
(b)

On a

$∥ A B ∥ = sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | \sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} b_{k, j} | \leq sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} | a_{i, k} b_{k, j} | .$

Or

$\sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} | a_{i, k} b_{k, j} |$ $\leq \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, k} | | b_{k, j} |$

$= \sum_{k = 1}^{n} | a_{i, k} | \sum_{j = 1}^{n} | b_{k, j} |$

$\leq \sum_{k = 1}^{n} | a_{i, k} | ∥ B ∥$

$\leq ∥ A ∥ ∥ B ∥$

donc

$∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ .$

Exercice 6 460 Correction

Pour $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℂ)$ , on pose

∥ A ∥ = sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | .

(a)

Montrer que $∥ \cdot ∥$ est une norme d’algèbre sur $ℳ_{n} (ℂ)$ .
(b)

Montrer que si $λ$ est valeur propre de $A$ alors $| λ | \leq ∥ A ∥$ .

Solution

(a)

L’application $∥ \cdot ∥$ est bien définie de $ℳ_{n} (ℂ)$ dans $ℝ_{+}$ .
Si $∥ A ∥ = 0$ alors

$\forall 1 \leq i \leq n, \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | = 0$

et donc

$\forall 1 \leq i, j \leq n, a_{i, j} = 0$

ainsi la matrice $A$ est nulle.
De plus,

$∥ λ A ∥ = sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | λ a_{i, j} | = sup_{1 \leq i \leq n} | λ | \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | = | λ | sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | = | λ | ∥ A ∥$

et

$∥ A + B ∥ = sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} + b_{i, j} | \leq sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | + | b_{i, j} |$

donc

$∥ A + B ∥ \leq sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | + sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | b_{i, j} | = ∥ A ∥ + ∥ B ∥ .$

Enfin

$∥ A B ∥ = sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | \sum_{k = 1}^{n} a_{i, k} b_{k, j} | \leq sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} | a_{i, k} b_{k, j} | .$

Or

$\sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} | a_{i, k} b_{k, j} | \leq \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, k} | | b_{k, j} | = \sum_{k = 1}^{n} | a_{i, k} | \sum_{j = 1}^{n} | b_{k, j} | \leq \sum_{k = 1}^{n} | a_{i, k} | ∥ B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥$

donc

$∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ .$
(b)

Soit $λ \in Sp (A)$ , il existe $X \neq 0$ , $A X = λ X$ .
En notant $x_{1}, \dots, x_{n}$ les éléments de la colonne $X$ (non tous nuls) on a

$\forall i \in {1, \dots, n}, λ x_{i} = \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} x_{j} .$

Considérons $i \in {1, \dots, n}$ tel que $| x_{i} | = \max_{1 \leq j \leq n} | x_{j} | \neq 0$ .
La relation précédente donne:

$| λ | | x_{i} | \leq \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | | x_{j} | \leq \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | | x_{i} |$

donc

$| λ | \leq \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | \leq ∥ A ∥ .$

Exercice 7 4136

Pour $A = (a_{i, j}) \in ℳ_{n} (ℝ)$ , on pose

∥ A ∥ = sup_{1 \leq i \leq n} (\sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} |) .

(a)

Montrer que $∥ \cdot ∥$ définit une norme sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(b)

Montrer que cette norme est sous-multiplicative ce qui signifie:

$\forall (A, B) \in ℳ_{n} {(ℝ)}^{2}, ∥ A B ∥ \leq ∥ A ∥ ∥ B ∥ .$

Pour $X$ colonne de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ , on pose

N (X) = \max_{1 \leq i \leq n} | x_{i} | .

(c)

Vérifier

$N (A X) \leq ∥ A ∥ N (X) pour tout X \in ℳ_{n,1} (ℝ) .$
(d)

En déduire

$∥ A ∥ = sup_{N (X) = 1} N (A X) .$

Exercice 8 4096 Correction

On introduit une norme $∥ \cdot ∥$ sur l’espace des colonnes $ℳ_{n,1} (ℝ)$ en posant

∥ X ∥ = \max_{1 \leq i \leq n} | x_{i} |

et l’on note $S$ l’ensemble formé des colonnes de $ℳ_{n,1} (ℝ)$ de norme égale à 1.

(a)

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ . Montrer l’existence de

$sup_{X \in S} ∥ A X ∥ .$
(b)

On pose

$N (A) = sup_{X \in S} ∥ A X ∥ .$

Justifier que pour tout $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ , $∥ A X ∥ \leq N (A) ∥ X ∥$ .
(c)

Vérifier que $N$ définit une norme sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(d)

Montrer

$N (A) = sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | .$

Solution

(a)

Pour $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ , on a

$\forall 1 \leq i \leq n, | {(A X)}_{i} | \leq \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | | x_{j} | = \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} |$

et donc

$∥ A X ∥ \leq \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | \leq \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | = M .$

Ainsi, l’ensemble ${∥ A X ∥ | X \in S}$ est une partie de $ℝ$ non vide et majorée, elle admet une borne supérieure.
(b)

Si $X = 0$ , c’est immédiat.
Si $X \neq 0$ , on introduit $X^{'} = X / ∥ X ∥ \in S$ et l’on exploite $∥ A X^{'} ∥ \leq N (A)$ .
(c)

L’application $N$ est bien définie à valeurs dans $ℝ_{+}$ en vertu de ce qui précède.
Si $N (A) = 0$ alors pour tout $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ , on a $∥ A X ∥ = 0$ . En particulier, en prenant des colonnes $X$ élémentaires, on obtient que chaque colonne de $A$ est nulle.

$N (λ A) = sup_{X \in S} ∥ λ A X ∥ = sup_{X \in S} | λ | ∥ A X ∥ = | λ | sup_{X \in S} ∥ A X ∥ = | λ | .$

Enfin

$N (A + B)$ $= sup_{X \in S} ∥ (A + B) X ∥$

$\leq sup_{X \in S} ∥ A X + B X ∥$

$\leq sup_{X \in S} ∥ A X ∥ + sup_{X \in S} ∥ B X ∥$

$= N (A) + N (B) .$

Finalement, $N$ définit bien une norme sur $ℳ_{n} (ℝ)$ .
(d)

On a déjà vu

$N (A) \leq \max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | .$

Soit $i_{0}$ l’indice pour lequel

$\max_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} | a_{i, j} | = \sum_{j = 1}^{n} | a_{i_{0}, j} | .$

Prenons ensuite $X = {(\begin{matrix} x_{1} & \dots & x_{n} \end{matrix})}^{⊤}$ avec $x_{j} = \pm 1$ de sorte que $a_{i_{0}, j} x_{j} = | a_{i_{0}, j} |$ .
On a $X \in S$ et $∥ A X ∥ = \sum_{j = 1}^{n} | a_{i_{0}, j} |$ donc

$N (A) \geq \sum_{j = 1}^{n} | a_{i_{0}, j} |$

puis l’égalité voulue.

Exercice 9 461

(Inégalités de Hölder et de Minkowski)

On considère deux réels $p > 1$ et $q > 1$ vérifiant $1 / p + 1 / q = 1$ .

(a)

Montrer que pour tous réels $a$ et $b$ positifs

$a b \leq \frac{1}{p} a^{p} + \frac{1}{q} b^{q} .$

Pour $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in 𝕂^{n}$ et $y = (y_{1}, \dots, y_{n}) \in 𝕂^{n}$ , on pose:

{∥ x ∥}_{p} = {(\sum_{i = 1}^{n} {| x_{i} |}^{p})}^{1 / p} et {∥ y ∥}_{q} = {(\sum_{i = 1}^{n} {| y_{i} |}^{q})}^{1 / q} .

Soient $x$ et $y$ dans $𝕂^{n}$ .

(b)

Établir l’inégalité de Hölder:

$\sum_{i = 1}^{n} | x_{i} y_{i} | \leq {∥ x ∥}_{p} {∥ y ∥}_{q} .$
(c)

En écrivant

${(| x_{i} | + | y_{i} |)}^{p} = | x_{i} | {(| x_{i} | + | y_{i} |)}^{p - 1} + | y_{i} | {(| x_{i} | + | y_{i} |)}^{p - 1} .$

Obtenir l’inégalité de Minkowski¹¹ 1 L’inégalité de Minkowski exprime que ${∥ \cdot ∥}_{p}$ satisfait l’inégalité triangulaire: c’est le seul point véritablement délicat lorsque l’on souhaite établir que ${∥ \cdot ∥}_{p}$ est une norme.:

${∥ x + y ∥}_{p} \leq {∥ x ∥}_{p} + {∥ y ∥}_{p} .$

Exercice 10 462 Correction

Pour $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in 𝕂^{n}$ et $p \geq 1$ on pose

{∥ x ∥}_{p} = {(\sum_{i = 1}^{n} {| x_{i} |}^{p})}^{1 / p} .

Montrer

{∥ x ∥}_{\infty} = lim_{p \to + \infty} {∥ x ∥}_{p} .

Solution

Si ${∥ x ∥}_{\infty} = 0$ alors $x = 0$ et ${∥ x ∥}_{p} = 0$ donc

{∥ x ∥}_{\infty} = lim_{p \to + \infty} {∥ x ∥}_{p} .

Si ${∥ x ∥}_{\infty} \neq 0$ . Pour tout $p \geq 1$ ,

{∥ x ∥}_{\infty} \leq {∥ x ∥}_{p} \leq {(n {∥ x ∥}_{\infty}^{p})}^{1 / p} = n^{1 / p} {∥ x ∥}_{\infty} \to_{p \to + \infty}^{} {∥ x ∥}_{\infty}

donc

lim_{p \to + \infty} {∥ x ∥}_{p} = {∥ x ∥}_{\infty} .

Exercice 11 455 Correction

Montrer que l’application $N : ℝ^{2} \to ℝ$ définie par

N (x_{1}, x_{2}) = sup_{t \in [0; 1]} | x_{1} + t x_{2} |

est une norme sur $ℝ^{2}$ .

Représenter la boule unité fermée pour cette norme et comparer celle-ci à ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ .

Solution

Quand $t$ varie de $0$ à $1$ , l’expression $| x_{1} + t x_{2} |$ varie de $| x_{1} |$ à $| x_{1} + x_{2} |$ .

Par suite, on peut exprimer plus simplement l’action de $N$ :

N (x_{1}, x_{2}) = \max {| x_{1} |, | x_{1} + x_{2} |} .

Soient $x = (x_{1}, x_{2}) et y = (y_{1}, y_{2})$ deux vecteurs de $ℝ^{2}$ .

	$N (x + y)$	$= \max {\| x_{1} + y_{1} \|, \| x_{1} + y_{1} + x_{2} + y_{2} \|}$
		$\leq \max {\| x_{1} \| + \| y_{1} \|, \| x_{1} + x_{2} \| + \| y_{1} + y_{2} \|}$
		$\leq N (x) + N (y) .$

Pour $λ \in ℝ$ ,

N (λ . x) = \max {| λ | | x_{1} |, | λ | | x_{1} + x_{2} |} = | λ | N (x) .

Enfin, si $N (x) = 0$ alors $| x_{1} | = | x_{1} + x_{2} | = 0$ et donc $x_{1} = x_{1} + x_{2} = 0$ puis $x = 0$ .

Ainsi, $N$ définie bien une norme sur $ℝ^{2}$ .

Cas: $x_{1} \geq 0, x_{2} \geq 0$ . $N (x) = x_{1} + x_{2}$ .

Cas: $x_{1} \leq 0, x_{2} \geq 0$ . $N (x) = \max (- x_{1}, | x_{1} + x_{2} |)$ .

Cas: $x_{1} \geq 0, x_{2} \leq 0$ . $N (x) = \max (x_{1}, | x_{1} + x_{2} |)$ .

Cas: $x_{1} \leq 0, x_{2} \leq 0$ . $N (x) = - (x_{1} + x_{2})$ .

Ces considérations permettent de représenter la boule unité fermée pour la norme $N$ .

De manière immédiate, $N (x) \leq 2 {∥ x ∥}_{\infty}$ .

Aussi, $| x_{1} | \leq 2 N (x)$ et, puisque $| x_{2} | \leq | x_{1} + x_{2} | + | x_{1} |$ , on a aussi $| x_{2} | \leq 2 N (x)$ . On en déduit ${∥ x ∥}_{\infty} \leq 2 N (x)$ .

Exercice 12 3248

Soient $a_{1}, \dots, a_{n}$ des réels et $N : 𝕂^{n} \to ℝ$ l’application définie par

N (x_{1}, \dots, x_{n}) = a_{1} | x_{1} | + \dots + a_{n} | x_{n} | .

À quelle(s) condition(s) sur les réels $a_{1}, \dots, a_{n}$ , l’application $N$ définit-elle une norme sur $𝕂^{n}$ ?

Exercice 13 456

Soient $f_{1}, \dots, f_{n}$ des fonctions continues de $[0; 1]$ vers $ℝ$ .

À quelle condition l’application

N : (x_{1}, \dots, x_{n}) \mapsto sup_{t \in [0; 1]} | x_{1} f_{1} (t) + \dots + x_{n} f_{n} (t) |

définit-elle une norme sur $ℝ^{n}$ ?

Exercice 14 5357 Correction

Soient $E$ un $ℝ$ -espace vectoriel muni d’une norme $∥ \cdot ∥$ et $G$ un sous-groupe fini de $GL (E)$ . Pour tout $x \in E$ , on pose

N (x) = \max_{u \in G} ∥ u (x) ∥ .

(a)

Montrer que $N$ définit une norme sur $E$ .
(b)

Montrer que pour tous $u \in G$ et $x \in E$ ,

$N (u (x)) = N (x) .$

Solution

(a)

L’application $N$ est bien définie sur $E$ et est à valeurs dans $ℝ_{+}$ .

Soient $x, y \in E$ et $λ \in 𝕂$ .

Si $N (x) = 0$ alors $∥ u (x) ∥ = 0$ pour tout $u \in G$ . En particulier, pour $u = {Id}_{E} \in G$ , on obtient $x = 0_{E}$ .

De plus,

$N (λ . x) = \max_{u \in G} ∥ u (λ . x) ∥ = \max_{u \in G} ∥ λ . u (x) ∥ = \max_{u \in G} | λ | ∥ u (x) ∥ = | λ | N (x) .$

Enfin, pour tout $u \in G$ ,

$∥ u (x + y) ∥ = ∥ u (x) + u (y) ∥ \leq ∥ u (x) ∥ + ∥ u (y) ∥ \leq N (x) + N (y)$

et donc

$N (x + y) = \max_{u \in G} ∥ u (x + y) ∥ \leq N (x) + N (y) .$

Ainsi, $N$ est une norme sur $E$ .
(b)

Méthode: Pour tout $v \in G$ , l’application $u \mapsto u \circ v$ est une permutation du groupe $G$ .

Pour $x \in E$ et $v \in G$ ,

$N (v (x)) = \max_{u \in G} ∥ u (v (x)) ∥ = \max_{u \in G} ∥ u (x) ∥ = N (x) .$

Exercice 15 5646 Correction

Pour $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ , on pose

N (X) = \max_{A \in O_{n} (ℝ)} {∥ A X ∥}_{\infty} .

(a)

Montrer que $N$ est une norme que $ℳ_{n,1} (ℝ)$ .
(b)

Vérifier que

$\forall X \in ℳ_{n,1} (ℝ), \forall A \in O_{n} (ℝ), N (A X) = N (X) .$
(c)

Montrer que $N$ correspond en fait à la norme euclidienne sur $ℳ_{n,1} (ℝ)$ .

Solution

(a)

Soit $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ . L’application $A \mapsto A X$ est linéaire au départ d’un espace de dimension finie, c’est donc une application continue. Par composition, l’application $A \mapsto {∥ A X ∥}_{\infty}$ est continue. Au départ du compact non vide $O_{n} (ℝ)$ , cette application est bornée et atteint ses bornes. On en déduit que le max définissant $N (X)$ est correctement défini. L’application $N : ℳ_{n,1} (ℝ) \to ℝ_{+}$ est donc correctement définie.

Soient $λ \in ℝ$ et $X, Y \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ .

Si $N (X) = 0$ alors, pour tout $A \in O_{n} (ℝ)$ , ${∥ A X ∥}_{\infty} = 0$ . Cela vaut en particulier pour $A = I_{n}$ et donc ${∥ X ∥}_{\infty} = 0$ . On en déduit $X = 0$ .

Aussi,

$N (λ X) = \max_{A \in O_{n} (ℝ)} {∥ λ A X ∥}_{\infty} = \max_{A \in O_{n} (ℝ)} | λ | {∥ A X ∥}_{\infty} = | λ | \max_{A \in O_{n} (ℝ)} {∥ A X ∥}_{\infty} = | λ | N (X) .$

Enfin, pour tout $A \in O_{n} (ℝ)$ ,

${∥ A (X + Y) ∥}_{\infty} = {∥ A X ∥}_{\infty} + {∥ A Y ∥}_{\infty} \leq N (X) + N (Y) .$

En passant au max, on obtient $N (X + Y) \leq N (X) + N (Y)$ .
(b)

Pour $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ et $A \in O_{n} (ℝ)$ ,

$N (A X) = \max_{B \in O_{n} (ℝ)} {∥ B A X ∥}_{\infty} = \max_{C \in O_{n} (ℝ)} {∥ C X ∥}_{\infty} = N (X)$

car $B \mapsto C = B A$ est une bijection de $O_{n} (ℝ)$ vers lui-même.
(c)

Soit $X \in ℳ_{n,1} (ℝ)$ . Si $X = 0$ , on a immédiatement $N (X) = {∥ X ∥}_{2}$ . Supposons désormais $X \neq 0$ .

Pour $A \in O_{n} (ℝ)$ ,

${∥ A X ∥}_{\infty} = \max_{1 \leq i \leq n} | \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} x_{j} | .$

Soit $i \in ⟦ 1; n ⟧$ . Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

$| \sum_{j = 1}^{n} a_{i, j} x_{j} | \leq {(\sum_{j = 1}^{n} a_{i, j}^{2})}^{1 / 2} {(\sum_{j = 1}^{n} x_{j}^{2})}^{1 / 2} = {∥ X ∥}_{2} .$

On en déduit

${∥ A X ∥}_{\infty} \leq {∥ X ∥}_{2} .$

Puisque cela vaut pour tout $A \in O_{n} (ℝ)$ , on obtient $N (X) \leq {∥ X ∥}_{2}$ .

Inversement, considèrons la ligne

$L = \frac{1}{{∥ X ∥}_{2}} X^{⊤} .$

On peut compléter cette ligne unitaire en une base orthonormale de l’espace $ℳ_{1, n} (ℝ)$ et former, par l’ensemble de ces lignes, une matrice orthogonale $A$ . Pour celle-ci,

$| {[A X]}_{1} | = {∥ X ∥}_{2}$

et donc

$N (X) \geq {∥ A X ∥}_{\infty} \geq {∥ X ∥}_{2} .$

Par double inégalité, $N (X) = {∥ X ∥}_{2}$ .

Exercice 16 6012 Correction

Soit $n \in ℕ$ avec $n \geq 2$ . On note $E_{n}$ l’espace des polynômes à coefficients complexes de degrés strictement inférieurs à $n$ et l’on introduit $ω = e^{2 i π / n}$ . Pour tout $P \in E_{n}$ , on pose

N (P) = \sum_{k = 0}^{n - 1} | P (ω^{k}) | .

(a)

Montrer que $N$ définit une norme sur $E_{n}$ .
(b)

Établir

$\forall P \in E_{n}, | P (0) | \leq \frac{1}{n} N (P) .$

Solution

(a)

L’application $N : E \to ℝ_{+}$ est correctement définie car la somme définissant $N (P)$ comporte sur un nombre fini de réels positifs.

Soient $λ \in ℂ$ et $P, Q \in E$ . On vérifie facilement

$N (λ P) = | λ | N (P) et N (P + Q) \leq N (P) + N (Q) .$

Si $N (P) = 0$ alors, par nullité d’une somme de termes positifs, $| P (ω^{k}) | = 0$ pour $k = 0, \dots, n - 1$ et donc $P (ω^{k}) = 0$ . Les $ω^{k}$ étant deux à deux distincts (ce sont les racines $n$ -ièmes de l’unité), le polynôme $P$ admet au moins $n$ racines distinctes. Or $\deg (P) < n$ et donc $P$ est le polynôme nul. On conclut que $N$ définit une norme sur $E$ .
(b)

Soit $P \in E$ . On introduit les coefficients de $P$

$P = a_{0} + a_{1} X + \dots + a_{n - 1} X^{n - 1} avec (a_{0}, \dots, a_{n - 1}) \in ℂ^{n} .$

Pour $k \in ⟦ 0; n - 1 ⟧$ ,

$P (ω^{k}) = a_{0} + a_{1} ω^{k} + \dots + a_{n - 1} ω^{k (n - 1)} .$

En sommant,

$\sum_{k = 0}^{n - 1} P (ω^{k}) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} ω^{i k} = \sum_{i = 0}^{n - 1} \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{i} ω^{i k} = \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} \sum_{k = 0}^{n - 1} ω^{i k} .$

Or, par sommation géométrique de raison $ω^{i}$ ,

$\sum_{k = 0}^{n - 1} ω^{i k} = {\begin{matrix} n & si i = 0 \\ 0 & si i \in ⟦ 1; n - 1 ⟧ \end{matrix}$

et donc

$\sum_{k = 0}^{n - 1} P (ω^{k}) = n a_{0} .$

On en déduit

$| P (0) | = | a_{0} | \leq \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n - 1} | P (ω^{k}) | = \frac{1}{n} N (P) .$

Exercice 17 5967 CENTRALE (MP)Correction

On considère $𝕌 = {z \in ℂ | | z | = 1}$ et $B = {z \in ℂ | | z | \leq 1}$ .

Pour $P \in ℂ [X]$ , on pose

∥ P ∥ = \max {| P (z) | | z \in 𝕌} .

(a)

Montrer que $∥ \cdot ∥$ définit une norme sur $ℂ [X]$ .
(b)

Soit $P \in ℂ [X]$ . Établir $| P (0) | \leq ∥ P ∥$ .
(c)

Soient $P \in ℂ [X]$ de degré $n \geq 1$ , $z_{0} \in ℂ$ et $θ \in ℝ$ . Établir l’existence de $c \in ℂ^{*}$ et $q \in ℕ^{*}$ tels que

$P (z_{0} + r e^{i θ}) - P (z_{0}) \underset{r \to 0^{+}}{\sim} c r^{q} e^{i q θ} .$
(d)

Montrer que

$\forall P \in ℂ [X], ∥ P ∥ = sup {| P (z) | | z \in B} .$

Solution

(a)

L’application $z \mapsto | P (z) |$ est continue sur le compact $𝕌$ donc bornée et atteint ses bornes. Cela assure la bonne définition de

$∥ P ∥ = \max {| P (z) | | z \in 𝕌} .$

L’application $∥ \cdot ∥ : ℂ [X] \to ℝ_{+}$ est donc correctement définie.

Sans peine, on vérifie $∥ λ P ∥ = | λ | ∥ P ∥$ et $∥ P + Q ∥ \leq ∥ P ∥ + ∥ Q ∥$ avec des notations entendues. On établit aussi $∥ P ∥ = 0 ⟹ P = 0$ en employant qu’un polynôme possédant une infinité de racines est nécessairement nul.
(b)

En introduisant les coefficients de $P$ , on établit

$P (0) = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} P (e^{i θ}) d θ .$

On en déduit

$| P (0) | \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} | P (e^{i θ}) | d θ \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} ∥ P ∥ d θ = ∥ P ∥ .$
(c)

Le polynôme $Q (X) = P (z_{0} + X) - P (z_{0})$ est un polynôme non nul admettant $0$ pour racine. L’écriture de $Q$ selon les puissances croissantes est de la forme $Q = c X^{q} + \dots$ et l’on en déduit

$P (z_{0} + r e^{i θ}) - P (z_{0}) = Q (r e^{i θ}) \underset{r \to 0}{\sim} c r^{q} e^{i q θ} .$
(d)

L’application $z \mapsto | P (z) |$ est continue sur le compact $B$ et présente donc un maximum en un certain $z_{0} \in B$ . Par l’absurde, supposons $z_{0} \notin 𝕌$ . Avec les notations qui précèdent,

$P (z_{0} + r e^{i θ}) - P (z_{0}) = Q (r e^{i θ}) \underset{r \to 0^{+}}{\sim} c r^{q} e^{i q θ} .$

On écrit $P (z_{0}) = | P (z_{0}) | e^{i α}$ avec $α \in ℝ$ . On introduit $θ \in ℝ$ tel que $c e^{i q θ} = | c | e^{i α}$ et l’on obtient

$P (z_{0} + r e^{i θ}) e^{- i α} - | P (z_{0}) | \underset{r \to 0^{+}}{\sim} | c | r^{q}$

ce qui entraîne, pour $r$ au voisinage de $0^{+}$ ,

$| P (z_{0} + r e^{i θ}) | > | P (z_{0}) | .$

C’est absurde et l’on en déduit

$sup {| P (z) | | z \in B} = \max {| P (z) | | z \in 𝕌} .$

Exercice 18 5057

(Norme conjuguée)

Soient $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ le produit scalaire canonique sur $ℝ^{n}$ et $N$ une norme quelconque sur $ℝ^{n}$ .

Pour tout $x \in ℝ^{n}$ , on pose

N^{*} (x) = sup_{y \in S} | ⟨ x, y ⟩ | avec S = {y \in ℝ^{n} | N (y) = 1} .

(a)

Vérifier que la borne supérieure définissant $N^{*} (x)$ existe et que celle-ci détermine un réel positif.
(b)

Montrer que $N^{*}$ définit une norme sur $ℝ^{n}$ .
(c)

Déterminer $N^{*}$ lorsque $N = {∥ \cdot ∥}_{2}$ , ${∥ \cdot ∥}_{\infty}$ puis ${∥ \cdot ∥}_{1}$ .

[<] Espaces normés usuels [>] Études dans un espace normé

Édité le 22-03-2025

	$∥ λ A ∥$	$= sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} \| λ a_{i, j} \|$
		$= sup_{1 \leq i \leq n} \| λ \| \sum_{j = 1}^{n} \| a_{i, j} \|$
		$= \| λ \| sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} \| a_{i, j} \|$
		$= \| λ \| ∥ A ∥$

	$∥ A + B ∥$	$= sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} \| a_{i, j} + b_{i, j} \|$
		$\leq sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} \| a_{i, j} \| + \| b_{i, j} \|$
		$\leq sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} \| a_{i, j} \| + sup_{1 \leq i \leq n} \sum_{j = 1}^{n} \| b_{i, j} \|$
		$= ∥ A ∥ + ∥ B ∥ .$

	$\sum_{j = 1}^{n} \sum_{k = 1}^{n} \| a_{i, k} b_{k, j} \|$	$\leq \sum_{k = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \| a_{i, k} \| \| b_{k, j} \|$
		$= \sum_{k = 1}^{n} \| a_{i, k} \| \sum_{j = 1}^{n} \| b_{k, j} \|$
		$\leq \sum_{k = 1}^{n} \| a_{i, k} \| ∥ B ∥$
		$\leq ∥ A ∥ ∥ B ∥$

	$N (A + B)$	$= sup_{X \in S} ∥ (A + B) X ∥$
		$\leq sup_{X \in S} ∥ A X + B X ∥$
		$\leq sup_{X \in S} ∥ A X ∥ + sup_{X \in S} ∥ B X ∥$
		$= N (A) + N (B) .$

Études pratiques de normes