[<] Espaces normés usuels [>] Études dans un espace normé
Soient et des réels deux à deux distincts.
Sur l’espace des polynômes réels de degrés inférieurs à , on pose
Vérifier que définit une norme sur .
Sur l’espace des polynômes réels, on pose
Vérifier que définit une norme sur .
Pour , on pose
Montrer que est une norme matricielle, c’est-à-dire une norme sur vérifiant
Solution
est une norme sur car c’est la norme associée à la base canonique de .
On a
On réorganise le calcul des sommes
Pour tout ,
et donc
Pour , on pose
Montrer que est une norme matricielle, c’est-à-dire une norme sur vérifiant
Solution
est une norme sur car c’est la norme 2 associée à la base canonique de .
On a
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
donc
puis
Pour , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Vérifier
Solution
L’application est bien définie de dans .
Si alors
et donc
ainsi la matrice est nulle.
De plus,
et
On a
Or
donc
Pour , on pose
Montrer que est une norme d’algèbre sur .
Montrer que si est valeur propre de alors .
Solution
L’application est bien définie de dans .
Si alors
et donc
ainsi la matrice est nulle.
De plus,
et
donc
Enfin
Or
donc
Soit , il existe , .
En notant les éléments de la colonne (non tous nuls) on a
Considérons tel que .
La relation précédente donne:
donc
Pour , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Montrer que cette norme est sous-multiplicative ce qui signifie:
Pour colonne de , on pose
Vérifier
En déduire
On introduit une norme sur l’espace des colonnes en posant
et l’on note l’ensemble formé des colonnes de de norme égale à 1.
Soit . Montrer l’existence de
On pose
Justifier que pour tout , .
Vérifier que définit une norme sur .
Montrer
Solution
Pour , on a
et donc
Ainsi, l’ensemble est une partie de non vide et majorée, elle admet une borne supérieure.
Si , c’est immédiat.
Si , on introduit et l’on exploite .
L’application est bien définie à valeurs dans en vertu de ce qui précède.
Si alors pour tout , on a . En particulier, en prenant des colonnes élémentaires, on obtient que chaque colonne de est nulle.
Enfin
Finalement, définit bien une norme sur .
On a déjà vu
Soit l’indice pour lequel
Prenons ensuite avec de sorte que .
On a et donc
puis l’égalité voulue.
(Inégalités de Hölder et de Minkowski)
On considère deux réels et vérifiant .
Montrer que pour tous réels et
Pour et , on pose:
Soient et dans .
Établir l’inégalité de Hölder:
En écrivant
Obtenir l’inégalité de Minkowski11 1 L’inégalité de Minkowski exprime que satisfait l’inégalité triangulaire: c’est le seul point véritablement délicat lorsque l’on souhaite établir que est une norme.:
Montrer que l’application définie par
est une norme sur .
Représenter la boule unité fermée pour cette norme et comparer celle-ci à .
Solution
Quand varie de à , l’expression varie de à .
Par suite, on peut exprimer plus simplement l’action de :
Soient deux vecteurs de .
Pour ,
Enfin, si alors et donc puis .
Ainsi, définie bien une norme sur .
Cas: . .
Cas: . .
Cas: . .
Cas: . .
Ces considérations permettent de représenter la boule unité fermée pour la norme .
De manière immédiate, .
Aussi, et, puisque , on a aussi . On en déduit .
Soient des réels et l’application définie par
À quelle(s) condition(s) sur les réels , l’application définit-elle une norme sur ?
Soient des fonctions continues de vers .
À quelle condition l’application
définit-elle une norme sur ?
Soient un -espace vectoriel muni d’une norme et un sous-groupe fini de . Pour tout , on pose
Montrer que définit une norme sur .
Montrer que pour tous et ,
Solution
L’application est bien définie sur et est à valeurs dans .
Soient et .
Si alors pour tout . En particulier, pour , on obtient .
De plus,
Enfin, pour tout ,
et donc
Ainsi, est une norme sur .
Méthode: Pour tout , l’application est une permutation du groupe .
Pour et ,
Pour , on pose
Montrer que est une norme que .
Vérifier que
Montrer que correspond en fait à la norme euclidienne sur .
Solution
Soit . L’application est linéaire au départ d’un espace de dimension finie, c’est donc une application continue. Par composition, l’application est continue. Au départ du compact non vide , cette application est bornée et atteint ses bornes. On en déduit que le max définissant est correctement défini. L’application est donc correctement définie.
Soient et .
Si alors, pour tout , . Cela vaut en particulier pour et donc . On en déduit .
Aussi,
Enfin, pour tout ,
En passant au max, on obtient .
Pour et ,
car est une bijection de vers lui-même.
Soit . Si , on a immédiatement . Supposons désormais .
Pour ,
Soit . Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz,
On en déduit
Puisque cela vaut pour tout , on obtient .
Inversement, considèrons la ligne
On peut compléter cette ligne unitaire en une base orthonormale de l’espace et former, par l’ensemble de ces lignes, une matrice orthogonale . Pour celle-ci,
et donc
Par double inégalité, .
(Norme conjuguée)
Soient le produit scalaire canonique sur et une norme quelconque sur .
Pour tout , on pose
Vérifier que la borne supérieure définissant existe et que celle-ci détermine un réel positif.
Montrer que définit une norme sur .
Déterminer lorsque , puis .
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Édité le 29-08-2023
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