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Exercice 1  5232  

Soient n et a0,,an des réels deux à deux distincts.

Sur l’espace En des polynômes réels de degrés inférieurs à n, on pose

N(P)=max0kn|P(ak)|pour tout PEn.

Vérifier que N définit une norme sur En.

 
Exercice 2  4669  

Sur l’espace E des polynômes réels, on pose

N(P)=supt[-1;1]|P(t)|.

Vérifier que N définit une norme sur E.

 
Exercice 3  4253   

Montrer que la norme euclidienne associée au produit scalaire canonique sur n() vérifie:

ABABpour tous A et B de n().
 
Exercice 4  3625   Correction  

Pour A=(ai,j)n(), on pose

A=sup1inj=1n|ai,j|.
  • (a)

    Montrer que définit une norme sur n().

  • (b)

    Vérifier

    A,Bn(),ABAB.

Solution

  • (a)

    L’application est bien définie de n() dans +.
    Si A=0 alors

    1in,j=1n|ai,j|=0

    et donc

    1i,jn,ai,j=0

    ainsi la matrice A est nulle.
    De plus,

    λA =sup1inj=1n|λai,j|
    =sup1in|λ|j=1n|ai,j|
    =|λ|sup1inj=1n|ai,j|
    =|λ|A

    et

    A+B =sup1inj=1n|ai,j+bi,j|
    sup1inj=1n|ai,j|+|bi,j|
    sup1inj=1n|ai,j|+sup1inj=1n|bi,j|
    =A+B.
  • (b)

    On a

    AB=sup1inj=1n|k=1nai,kbk,j|sup1inj=1nk=1n|ai,kbk,j|.

    Or

    j=1nk=1n|ai,kbk,j| k=1nj=1n|ai,k||bk,j|
    =k=1n|ai,k|j=1n|bk,j|
    k=1n|ai,k|B
    AB

    donc

    ABAB.
 
Exercice 5  460   Correction  

Pour A=(ai,j)n(), on pose

A=sup1inj=1n|ai,j|.
  • (a)

    Montrer que est une norme d’algèbre sur n().

  • (b)

    Montrer que si λ est valeur propre de A alors |λ|A.

Solution

  • (a)

    L’application est bien définie de n() dans +.
    Si A=0 alors

    1in,j=1n|ai,j|=0

    et donc

    1i,jn,ai,j=0

    ainsi la matrice A est nulle.
    De plus,

    λA=sup1inj=1n|λai,j|=sup1in|λ|j=1n|ai,j|=|λ|sup1inj=1n|ai,j|=|λ|A

    et

    A+B=sup1inj=1n|ai,j+bi,j|sup1inj=1n|ai,j|+|bi,j|

    donc

    A+Bsup1inj=1n|ai,j|+sup1inj=1n|bi,j|=A+B.

    Enfin

    AB=sup1inj=1n|k=1nai,kbk,j|sup1inj=1nk=1n|ai,kbk,j|.

    Or

    j=1nk=1n|ai,kbk,j|k=1nj=1n|ai,k||bk,j|=k=1n|ai,k|j=1n|bk,j|k=1n|ai,k|BAB

    donc

    ABAB.
  • (b)

    Soit λSp(A), il existe X0, AX=λX.
    En notant x1,,xn les éléments de la colonne X (non tous nuls) on a

    i{1,,n},λxi=j=1nai,jxj.

    Considérons i{1,,n} tel que |xi|=max1jn|xj|0.
    La relation précédente donne:

    |λ||xi|j=1n|ai,j||xj|j=1n|ai,j||xi|

    donc

    |λ|j=1n|ai,j|A.
 
Exercice 6  4136    

Pour A=(ai,j)n(), on pose

A=sup1in(j=1n|ai,j|).
  • (a)

    Montrer que définit une norme sur n().

Pour X colonne de n,1(), on pose

N(X)=max1in|xi|.
  • (c)

    Vérifier

    N(AX)AN(X)pour tout Xn,1().
  • (d)

    En déduire

    A=supN(X)=1N(AX).
 
Exercice 7  4096    Correction  

On introduit une norme sur l’espace des colonnes n,1() en posant

X=max1in|xi|

et l’on note S l’ensemble formé des colonnes de n,1() de norme égale à 1.

  • (a)

    Soit An(). Montrer l’existence de

    supXSAX.
  • (b)

    On pose

    N(A)=supXSAX.

    Justifier que pour tout Xn,1(), AXN(A)X.

  • (c)

    Vérifier que N définit une norme sur n().

  • (d)

    Montrer

    N(A)=sup1inj=1n|ai,j|.

Solution

  • (a)

    Pour Xn,1(), on a

    1in,|(AX)i|j=1n|ai,j||xj|=j=1n|ai,j|

    et donc

    AXj=1n|ai,j|max1inj=1n|ai,j|=M.

    Ainsi, l’ensemble {AX|XS} est une partie de non vide et majorée, elle admet une borne supérieure.

  • (b)

    Si X=0, c’est immédiat.
    Si X0, on introduit X=X/XS et l’on exploite AXN(A).

  • (c)

    L’application N est bien définie à valeurs dans + en vertu de ce qui précède.
    Si N(A)=0 alors pour tout Xn,1(), on a AX=0. En particulier, en prenant des colonnes X élémentaires, on obtient que chaque colonne de A est nulle.

    N(λA)=supXSλAX=supXS|λ|AX=|λ|supXSAX=|λ|.

    Enfin

    N(A+B) =supXS(A+B)X
    supXSAX+BX
    supXSAX+supXSBX
    =N(A)+N(B).

    Finalement, N définit bien une norme sur n().

  • (d)

    On a déjà vu

    N(A)max1inj=1n|ai,j|.

    Soit i0 l’indice pour lequel

    max1inj=1n|ai,j|=j=1n|ai0,j|.

    Prenons ensuite X=(x1xn)t avec xj=±1 de sorte que ai0,jxj=|ai0,j|.
    On a XS et AX=j=1n|ai0,j| donc

    N(A)j=1n|ai0,j|

    puis l’égalité voulue.

 
Exercice 8  461   

(Inégalités de Hölder et de Minkowski)

On considère deux réels p>1 et q>1 vérifiant 1/p+1/q=1.

  • (a)

    Montrer que pour tous réels a et b

    ab1pap+1qbq.

Pour x=(x1,,xn)𝕂n et y=(y1,,yn)𝕂n, on pose:

xp=(i=1n|xi|p)1/petyq=(i=1n|yi|q)1/q.

Soit x et y dans 𝕂n.

  • (b)

    Établir l’inégalité de Hölder:

    i=1n|xiyi|xpyq.
  • (c)

    En écrivant

    (|xi|+|yi|)p=|xi|(|xi|+|yi|)p-1+|yi|(|xi|+|yi|)p-1.

    Obtenir l’inégalité de Minkowski11 1 L’inégalité de Minkowski exprime que p satisfait l’inégalité triangulaire: c’est le seul point véritablement délicat lorsque l’on souhaite établir que p est une norme.:

    x+ypxp+yp.
 
Exercice 9  462   Correction  

Pour x=(x1,,xn)𝕂n et p1 on pose

xp=(i=1n|xi|p)1/p.

Montrer

x=limp+xp.

Solution

Si x=0 alors x=0 et xp=0 donc

x=limp+xp.

Si x0. Pour tout p1,

xxp(nxp)1/p=n1/pxp+x

donc

limp+xp=x.
 
Exercice 10  455   Correction  

Montrer que l’application N:2 définie par

N(x1,x2)=supt[0;1]|x1+tx2|

est une norme sur 2.
Représenter la boule unité fermée pour cette norme et comparer celle-ci à .

Solution

Quand t varie de 0 à 1, l’expression |x1+tx2| varie de |x1| à |x1+x2|
Par suite, on peut exprimer plus simplement l’action de N:

N(x1,x2)=max{|x1|,|x1+x2|}.

Soient x=(x1,x2) et y=(y1,y2) deux vecteurs de 2.

N(x+y) =max{|x1+y1|,|x1+y1+x2+y2|}
max{|x1|+|y1|,|x1+x2|+|y1+y2|}
N(x)+N(y).

Pour λ,

N(λ.x)=max{|λ||x1|,|λ||x1+x2|}=|λ|N(x).

Enfin si N(x)=0 alors |x1|=|x1+x2|=0 et donc x1=x1+x2=0 puis x=0.
Ainsi N définie bien une norme sur 2.
Si x10,x20 alors N(x)=x1+x2.
Si x10,x20 alors N(x)=max(-x1,|x1+x2|).
Si x10,x20 alors N(x)=max(x1,|x1+x2|).
Si x10,x20 alors N(x)=-(x1+x2).
Ces considérations permettent de représenter la boule unité fermée.

Figure 1: La boule unité fermée pour la norme N

De manière immédiate: N(x)2x.
Aussi |x1|2N(x) et puisque |x2||x1+x2|+|x1| on a aussi |x2|2N(x).
On en déduit x2N(x).

 
Exercice 11  3248   

Soient a1,,an des réels et N:𝕂n l’application définie par

N(x1,,xn)=a1|x1|++an|xn|.

À quelle(s) condition(s) sur les réels a1,,an, l’application N définit-elle une norme sur 𝕂n?

 
Exercice 12  456   

Soient f1,,fn des fonctions continues de [0;1] vers .

À quelle condition l’application

N:(x1,,xn)supt[0;1]|x1f1(t)++xnfn(t)|

définit-elle une norme sur n?

 
Exercice 13  5357   Correction  

Soient E un -espace vectoriel muni d’une norme et G un sous-groupe fini de GL(E). Pour tout xE, on pose

N(x)=maxuGu(x).
  • (a)

    Montrer que N définit une norme sur E.

  • (b)

    Montrer que pour tous uG et xE,

    N(u(x))=N(x)

Solution

  • (a)

    L’application N est bien définie sur E et est à valeurs dans +. Soient x,yE et λ𝕂.

    Si N(x)=0 alors u(x)=0 pour tout uG. En particulier, pour u=IdE, on obtient x=0E.

    De plus,

    N(λ.x)=maxuGu(λ.x)=maxuGλ.u(x)=maxuG|λ|u(x)=|λ|N(x).

    Enfin, pour tout uG,

    u(x+y)=u(x)+u(y)u(x)+u(y)N(x)+N(y)

    et donc

    N(x+y)=maxuGu(x+y)N(x)+N(y).

    Ainsi, N est une norme sur E.

  • (b)

    Méthode: Pour tout vG, l’application uuv est une permutation du groupe G.

    Pour xE et vG,

    N(v(x))=maxuGu(v(x))=maxuGu(x)=N(x).
 
Exercice 14  5057    

(Norme conjuguée)

Soient , le produit scalaire canonique sur n et N une norme quelconque sur n.

Pour tout xn, on pose

N*(x)=supyS|x,y| avec S={yn|N(y)=1}.
  • (a)

    Vérifier que la borne supérieure définissant N*(x) existe et que celle-ci détermine un réel positif.

  • (b)

    Montrer que N* définit une norme sur n.

  • (c)

    Déterminer N* lorsque N=2, puis 1.

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Édité le 08-11-2019

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