[<] Familles de vecteurs [>] Sous espaces affines

 
Exercice 1  168   

Pour a, on note ea l’application de vers définie par ea(t)=exp(at).
Montrer que la famille (ea)a est une famille libre d’éléments de l’espace (,).

 
Exercice 2  169   Correction  

Pour a+, on note fa l’application de vers définie par

fa(t)=cos(at).

Montrer que la famille (fa)a+ est une famille libre d’éléments de l’espace de (,).

Solution

Montrons que toute sous-famille finie à n éléments de (fa)a+ est libre.

Par récurrence sur n1.

Pour n=1: ok Supposons la propriété établie au rang n1. Soient a1,,an+1 des réels positifs distincts et supposons

λ1fa1++λn+1fan+1=0 (1)

En dérivant 2 fois cette relation,

a12λ1fa1++an+12λn+1fan+1=0 (2)

La combinaison an+12×(1)-(2) donne

λ1(an+12-a12)fa1++λn(an+12-an2)fan=0.

Par hypothèse de récurrence et en exploitant que les ai2 sont deux à deux distincts, on obtient λ1==λn=0 puis ensuite aisément λn+1=0.

La récurrence est établie.

 
Exercice 3  4229    

Soit a<b deux réels et E l’espace des fonctions continues et affines par morceaux du segment [a;b] vers . Pour α[a;b], on note fα la fonction de E définie par

fα(x)=|x-α|pour tout x[a;b].

Montrer que la famille (fα)α[a;b] est une base de E.

 
Exercice 4  170    

On peut énumérer11 1 L’ensemble des nombres premiers est dénombrable. l’infinité des nombres premiers en ordre croissant afin de former une suite (pn)n1: p1=2, p2=3, p3=5, etc.

  • (a)

    Montrer que la famille (ln(pn))n1 est une famille libre du -espace vectoriel .

  • (b)

    Que dire de la dimension du -espace vectoriel ?

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Édité le 08-11-2019

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