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Exercice 1  1680  Correction  

(Complexification d’un espace réel)

Soit E un -espace vectoriel. On munit le produit cartésien E×E de l’addition usuelle

(x,y)+(x,y)=(x+x,y+y)

et de la multiplication externe par les complexes définie par

(a+ib).(x,y)=(a.x-b.y,a.y+b.x).

Montrer que E×E est alors un -espace vectoriel.
Celui-ci est appelé complexifié de E.

Solution

Il est aisé de constater que l’addition sur E×E est commutative, associative, possède un neutre (0E,0E) et que tout élément est symétrisable dans (E×E,+), le symétrique de (x,y) étant (-x,-y).
Ainsi (E×E,+) est un groupe abélien.
Soient λ,μ et u,vE×E. On peut écrire λ=a+ib, μ=a+ib avec a,b,a,b et u=(x,y), v=(x,y) avec x,y,x,yE. On a

λ.(u+v) =(a+ib).(x+x,y+y)
=(ax+ax-by-by,ay+ay+bx+bx)
=λ.u+λ.v.
(λ+μ).u =((a+a)+i(b+b)).(x,y)
=(ax+ax-by-by,ay+ay+bx+bx)
=λ.u+μ.u.
λ.(μ.u) =(a+ib).(ax-by,ay+bx)
=((aa-bb)x-(ab+ab)y,(aa-bb)y+(ab+ab)x)
=(λμ).u

et

1.u=u.

On peut donc conclure que (E×E,+,.) est un -espace vectoriel.

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Édité le 08-11-2019

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