Il est aisé de constater que l’addition sur $E\times E$ est commutative, associative, possède un neutre $(0_E{\mathrm{,0}}_E)$ et que tout élément est symétrisable dans $(E\times E,+)$, le symétrique de $(x,y)$ étant $(-x,-y)$.
Ainsi $(E\times E,+)$ est un groupe abélien.
Soient $\lambda ,\mu \in ℂ$ et $u,v\in E\times E$. On peut écrire $\lambda =a+\mathrm{i}b$, $\mu =a^{\prime }+\mathrm{i}{b}^{\prime }$ avec $a,b,a^{\prime },b^{\prime }\in ℝ$ et $u=(x,y)$, $v=(x^{\prime },y^{\prime })$ avec $x,y,x^{\prime },y^{\prime }\in E$. On a

	$\lambda .(u+v)$	$=(a+\mathrm{i}b).(x+x^{\prime },y+y^{\prime })$
		$=(ax+a{x}^{\prime }-by-b{y}^{\prime },ay+a{y}^{\prime }+bx+b{x}^{\prime })$
		$=\lambda .u+\lambda .v\text{.}$

	$(\lambda +\mu ).u$	$=\left((a+a^{\prime })+\mathrm{i}(b+b^{\prime })\right).(x,y)$
		$=(ax+a^{\prime }x-by-b^{\prime }y,ay+a^{\prime }y+bx+b^{\prime }x)$
		$=\lambda .u+\mu .u\text{.}$

	$\lambda .(\mu .u)$	$=(a+\mathrm{i}b).(a^{\prime }x-b^{\prime }y,a^{\prime }y+b^{\prime }x)$
		$=((a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime })x-(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b)y,(a{a}^{\prime }-b{b}^{\prime })y+(a{b}^{\prime }+a^{\prime }b)x)$
		$=(\lambda \mu ).u$

et

$$1.u=u\text{.}$$

On peut donc conclure que $(E\times E,+,.)$ est un $ℂ$-espace vectoriel.