Exercice 1 1693

Soient $F$ , $G$ et $H$ des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel $E$ . Montrer

F \cap (G + H) \supset (F \cap G) + (F \cap H) et F + (G \cap H) \subset (F + G) \cap (F + H) .

Vérifier à l’aide d’une figure que ces inclusions peuvent être strictes.

Exercice 2 1694 Correction

Soient $F$ , $G$ et $H$ trois sous-espaces vectoriels d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ .
Montrer que

F \subset G ⟹ F + (G \cap H) = (F + G) \cap (F + H) .

Solution

$F + (G \cap H) \subset F + G$ et $F + (G \cap H) \subset F + H$ donc $F + (G \cap H) \subset (F + G) \cap (F + H)$ .
Supposons de plus $F \subset G$ .
Soit $\vec{x} \in (F + G) \cap (F + H)$ . On a $\vec{x} \in F + G = G$ et $\vec{x} = \vec{u} + \vec{v}$ avec $\vec{u} \in F$ et $\vec{v} \in H$ .
$\vec{v} = \vec{x} - \vec{u} \in G$ donc $\vec{v} \in G \cap H$ puis $x \in F + (G \cap H)$ .

Exercice 3 1691 Correction

Soient $F$ et $G$ des sous-espaces vectoriels de $E$ .
Montrer

F \cap G = F + G \Leftrightarrow F = G .

Solution

$(⟸)$ C’est immédiat.

$(⟹)$ Supposons $F \cap G = F + G$ . On a $F \subset F + G = F \cap G \subset G$ et de même $G \subset F$ donc $F = G$ .

Exercice 4 1695 Correction

Soient $F$ , $G$ , $F^{'}$ , $G^{'}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ tels que $F \cap G = F^{'} \cap G^{'}$ .

Montrer que

(F + (G \cap F^{'})) \cap (F + (G \cap G^{'})) = F .

Solution

$(\supset)$ ok

$(\subset)$ Soit $x \in (F + (G \cap F^{'})) \cap (F + (G \cap G^{'}))$ . On peut écrire $x = u + v$ avec $u \in F$ et $v \in G \cap F^{'}$ et $x = u^{'} + v^{'}$ avec $u^{'} \in F$ et $v^{'} \in G \cap G^{'}$ . On a

u - u^{'} = v^{'} - v \in F \cap G = F^{'} \cap G^{'}

et donc

v = - (v^{'} - v) + v^{'} \in G^{'}

Ainsi,

v \in G \cap F^{'} \cap G^{'} = F \cap G \subset F

puis $x = u + v \in F$ .

Finalement, $(F + (G \cap F^{'})) \cap (F + (G \cap G^{'})) \subset F$ puis l’égalité.

Exercice 5 1692

Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel réel $E$ . Montrer que $F \cup G$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si, et seulement si¹¹ 1 Cette étude est généralisée dans le sujet 4523., $F \subset G$ ou $G \subset F$ .

Exercice 6 4523

Soient $F_{1}, \dots, F_{n}$ des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel réel $E$ .

Montrer que, si l’union $F_{1} \cup \dots \cup F_{n}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ , celle-ci est égale à l’un des espaces $F_{i}$ .

Opérations sur les sous-espaces vectoriels