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Exercice 1  1693  

Soient F, G et H des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E. Montrer

F(G+H)(FG)+(FH)etF+(GH)(F+G)(F+H).

Vérifier à l’aide d’une figure que ces inclusions peuvent être strictes.

 
Exercice 2  1694  Correction  

Soient F, G et H trois sous-espaces vectoriels d’un 𝕂-espace vectoriel E.
Montrer que

FGF+(GH)=(F+G)(F+H).

Solution

F+(GH)F+G et F+(GH)F+H donc F+(GH)(F+G)(F+H).
Supposons de plus FG.
Soit x(F+G)(F+H). On a xF+G=G et x=u+v avec uF et vH.
v=x-uG donc vGH puis xF+(GH).

 
Exercice 3  1691  Correction  

Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E.
Montrer

FG=F+GF=G.

Solution

() C’est immédiat.

() Supposons FG=F+G. On a FF+G=FGG et de même GF donc F=G.

 
Exercice 4  1695   Correction  

Soient F, G, F, G des sous-espaces vectoriels de E tels que FG=FG.

Montrer que

(F+(GF))(F+(GG))=F.

Solution

() ok

() Soit x(F+(GF))(F+(GG)). On peut écrire x=u+v avec uF et vGF et x=u+v avec uF et vGG. On a

u-u=v-vFG=FG

et donc

v=-(v-v)+vG

Ainsi,

vGFG=FGF

puis x=u+vF.

Finalement, (F+(GF))(F+(GG))F puis l’égalité.

 
Exercice 5  1692   

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel réel E. Montrer que FG est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si11 1 Cette étude est généralisée dans le sujet 4523., FG ou GF.

 
Exercice 6  4523    

Soient F1,,Fn des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel réel E.

Montrer que, si l’union F1Fn est un sous-espace vectoriel de E, celle-ci est égale à l’un des espaces Fi.

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Édité le 08-11-2019

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