[<] Sous espaces vectoriels [>] Espaces engendrés par une partie
Soient , et des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel . Montrer
Vérifier à l’aide d’une figure que ces inclusions peuvent être strictes.
Soient , et trois sous-espaces vectoriels d’un -espace vectoriel .
Montrer que
Solution
De façon générale, et donc .
Supposons de plus .
Soit . On a et avec et .
On remarque donc puis .
Soient et des sous-espaces vectoriels de .
Montrer
Solution
C’est immédiat.
Supposons . On a et de même donc .
Soient , , , des sous-espaces vectoriels de tels que .
Montrer que
Solution
ok
Soit . On peut écrire avec et et avec et . On a
et donc
Ainsi,
puis .
Finalement, puis l’égalité.
Soient et deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel réel . Montrer que est un sous-espace vectoriel de si, et seulement si11 1 Cette étude est généralisée dans le sujet 4523., ou .
Soient des sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel réel .
Montrer que si l’union est un sous-espace vectoriel de , celle-ci est égale à l’un des espaces .
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Édité le 21-09-2023
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