Exercice 1 1697

Soient $A$ et $B$ deux parties d’un espace vectoriel $E$ . Établir

Vect (A \cup B) = Vect (A) + Vect (B) .

Exercice 2 1696 Correction

Comparer

Vect (A \cap B) et Vect (A) \cap Vect (B) .

Solution

$A \cap B \subset Vect (A) \cap Vect (B)$ et $Vect (A) \cap Vect (B)$ est un sous-espace vectoriel donc

Vect (A \cap B) \subset Vect (A) \cap Vect (B) .

L’inclusion réciproque n’est pas vraie: prendre $A = {u}$ et $B = {2 u}$ avec $u \neq 0_{E}$

Exercice 3 1625 Correction

On considère les vecteurs de $ℝ^{3}$

u = (1,1,1) et v = (1,0, - 1) .

Montrer

Vect (u, v) = {(2 α, α + β,2 β) | α, β \in ℝ} .

Solution

On peut écrire

{(2 α, α + β,2 β) | α, β \in ℝ} = Vect (x, y)

avec $x = (2,1,0)$ et $y = (0,1,2)$ .
On a $u = \frac{1}{2} (x + y)$ et $v = \frac{1}{2} (x - y)$ donc $u, v \in Vect (x, y)$ puis $Vect (u, v) \subset Vect (x, y)$ .
Aussi $x = u + v$ et $y = u - v$ donc $x, y \in Vect (u, v)$ puis $Vect (x, y) \subset Vect (u, v)$ .
Par double inclusion l’égalité.

Exercice 4 1626 Correction

Dans $ℝ^{3}$ , on considère $x = (1, - 1,1)$ et $y = (0,1, a)$ où $a \in ℝ$ .
Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $u = (1,1,2)$ appartienne à $Vect (x, y)$ . Comparer alors $Vect (x, y)$ , $Vect (x, u)$ et $Vect (y, u)$ .

Solution

On a

u = λ x + μ y \Leftrightarrow {\begin{matrix} λ & = 1 \\ - λ + μ & = 1 \\ λ + a μ & = 2 \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} λ & = 1 \\ μ & = 2 \\ a & = 1 / 2 . \end{matrix}

Ainsi,

u \in Vect (x, y) \Leftrightarrow a = 1 / 2

et alors $u = x + 2 y$ .
$x, u \in Vect (x, y)$ donc $Vect (x, u) \subset Vect (x, y)$ .
$x, y \in Vect (y, u)$ donc $Vect (x, y) \subset Vect (y, u)$ .
$y, u \in Vect (x, u)$ donc $Vect (y, u) \subset Vect (x, u)$ .

Finalement, les trois espaces sont égaux.

Exercice 5 4522

Soit $N \in ℕ$ . Montrer que les familles de fonctions

{(x \mapsto \cos (n x))}_{0 \leq n \leq N} et {(x \mapsto \cos^{n} (x))}_{0 \leq n \leq N}

engendrent le même sous-espace vectoriel de $ℱ (ℝ, ℝ)$ .

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Édité le 29-08-2023

Espaces engendrés par une partie