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Exercice 1  1697  

Soit A et B deux parties d’un espace vectoriel E. Établir

Vect(AB)=Vect(A)+Vect(B).
 
Exercice 2  1696  Correction  

Comparer

Vect(AB)etVect(A)Vect(B).

Solution

ABVect(A)Vect(B) et Vect(A)Vect(B) est un sous-espace vectoriel donc

Vect(AB)Vect(A)Vect(B).

L’inclusion réciproque n’est pas vraie: prendre A={u} et B={2u} avec u0E

 
Exercice 3  1625  Correction  

On considère les vecteurs de 3

u=(1,1,1)etv=(1,0,-1).

Montrer

Vect(u,v)={(2α,α+β,2β)|α,β}.

Solution

On peut écrire

{(2α,α+β,2β)|α,β}=Vect(x,y)

avec x=(2,1,0) et y=(0,1,2).
On a u=12(x+y) et v=12(x-y) donc u,vVect(x,y) puis Vect(u,v)Vect(x,y).
Aussi x=u+v et y=u-v donc x,yVect(u,v) puis Vect(x,y)Vect(u,v).
Par double inclusion l’égalité.

 
Exercice 4  1626   Correction  

Dans 3, on considère x=(1,-1,1) et y=(0,1,a)a.
Donner une condition nécessaire et suffisante sur a pour que u=(1,1,2) appartienne à Vect(x,y). Comparer alors Vect(x,y), Vect(x,u) et Vect(y,u).

Solution

On a

u=λx+μy{λ=1-λ+μ=1λ+aμ=2{λ=1μ=2a=1/2.

Ainsi,

uVect(x,y)a=1/2

et alors u=x+2y.
x,uVect(x,y) donc Vect(x,u)Vect(x,y).
x,yVect(y,u) donc Vect(x,y)Vect(y,u).
y,uVect(x,u) donc Vect(y,u)Vect(x,u).

Finalement, les trois espaces sont égaux.

 
Exercice 5  4522   

Soit N. Montrer que les familles de fonctions

(xcos(nx))0nNet(xcosn(x))0nN

engendrent le même sous-espace vectoriel de (,).

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Édité le 08-11-2019

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