[<] Espaces engendrés par une partie [>] Somme d'un nombre fini de sous-espaces
Dans , on considère les sous-espaces vectoriels
Montrer que et sont supplémentaires dans .
Solution
Soit .
Analyse: Supposons pouvoir écrire avec et . On souhaite déterminer et en fonction de .
D’une part, on peut introduire réels tels que et d’autre part, on sait . On en déduit
Après résolution,
Cela détermine entièrement puis car . L’analyse est close: s’il est possible de décomposer en , cette décomposition est déterminée de façon unique.
Synthèse: Considérons les fonctions et de acquises au terme de l’analyse
Par ces définitions, il est clair que est élément de et que est la somme de et . Il reste seulement à vérifier que est élément de ce qui s’obtient par le petit calcul suivant:
On peut donc affirmer qu’il est possible d’écrire un élément de comme somme d’un élément de et d’un élément de .
Finalement, et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
Soient et .
Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
Solution
et .
Soient et ,
et
donc .
et (en prenant ).
Soient et , il existe tels que
et on a alors
avec
donc .
Soit . Il existe tels que
car . Or donc et puis c’est-à-dire . Ainsi,
Soit . Posons , , et .
Clairement, et .
De plus, et donc .
Ainsi,
Finalement, et sont supplémentaires dans .
Soient et .
Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
Solution
et car .
Soient et , on a
donc .
et car c’est une fonction constante.
Soient et . On a car il est clair que c’est une fonction constante.
Soit . On a constante car . Posons la valeur de cette constante.
Puisque , on a
et donc . Ainsi,
Soit . Posons , la fonction constante égale à et .
Clairement et . De plus, donc .
Ainsi,
Finalement, et sont supplémentaires dans .
Dans l’espace réel des fonctions de vers , on introduit les espaces et constitués respectivement des fonctions paires et impaires. Montrer que ceux-ci sont supplémentaires dans .
Soient
et .
Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
Solution
, car .
Soient et , . On a
avec
donc .
est un sous-espace vectoriel.
Soit . On peut écrire car .
Or donc d’où et donc . Ainsi,
Soit . Posons , et .
Clairement , . De plus, avec
donc . Ainsi,
Finalement, et sont supplémentaires dans .
Dans l’espace , on considère les parties
Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de .
Solution
et sont clairement des sous-espaces vectoriels de .
Soit . On peut écrire .
De plus, donne: d’où puis .
Soit . Posons , , et .
On a avec et .
Ainsi et sont supplémentaires dans .
Soit .
Montrer que est un sous-espace vectoriel.
Déterminer un supplémentaire de dans .
Solution
sans peine
L’ensemble des fonctions constantes convient.
Dans l’espace des fonctions continues de vers , on considère les sous-espaces vectoriels
Établir
Soient et . Pour tout , on note
Montrer que les sont des sous-espaces vectoriels et que
Solution
Les ensembles sont clairement des sous-espaces vectoriels de .
Supposons avec pour .
Soit . Le polynôme possède par définition racines. Aussi, donne ce qui fournit une -ième racine au polynôme . Par suite, car .
Les espaces sont donc en somme directe.
Au surplus, aucun de ces espaces n’est réduit au polynôme nul car
On a donc pour puis
Or est un sous-espace vectoriel de qui est de dimension . On a donc nécessairement
(avec chaque espace de dimension exactement).
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Édité le 29-08-2023
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