[<] Somme d'un nombre fini de sous-espaces [>] Familles infinies de vecteurs

 
Exercice 1  1627  Correction  

Les familles suivantes de vecteurs de 3 sont-elles libres?
Si ce n’est pas le cas, former une relation linéaire liant ces vecteurs:

  • (a)

    (x1,x2) avec x1=(1,0,1) et x2=(1,2,2)

  • (b)

    (x1,x2,x3) avec x1=(1,0,0), x2=(1,1,0) et x3=(1,1,1)

  • (c)

    (x1,x2,x3) avec x1=(1,2,1), x2=(2,1,-1) et x3=(1,-1,-2)

  • (d)

    (x1,x2,x3) avec x1=(1,-1,1), x2=(2,-1,3) et x3=(-1,1,-1).

Solution

  • (a)

    oui b) oui c) non x3=x2-x1 d) non x3=-x1.

 
Exercice 2  4510  

Soient u et v deux vecteurs d’un 𝕂-espace vectoriel E. On dit que le vecteur v est colinéaire à u si l’on peut écrire v=α.u avec α𝕂.

  • (a)

    On suppose la famille (u,v) liée. Montrer que u est colinéaire à v ou v colinéaire à u.

  • (b)

    À quelle condition simple sur u peut-on affirmer que, lorsque la famille (u,v) est liée, le vecteur v est colinéaire à u?

 
Exercice 3  2464    X (MP)Correction  

Soit (a,b,c)3. Les fonctions xsin(x+a),xsin(x+b) et xsin(x+c) sont-elles linéairement indépendantes?

Solution

Non car ces trois fonctions sont combinaisons linéaires des deux suivantes

xsin(x)etxcos(x).
 
Exercice 4  1628   Correction  

On pose f1,f2,f3,f4:[0;2π] les fonctions définies par:
f1(x)=cos(x), f2(x)=xcos(x), f3(x)=sin(x) et f4(x)=xsin(x).
Montrer que la famille (f1,f2,f3,f4) est libre.

Solution

Supposons

af1+bf2+cf3+df4=0.

On a

x[0;2π],(a+bx)cos(x)+(c+dx)sin(x)=0.

Pour x=0 et x=π on obtient le système:

{a=0a+bπ=0

d’où a=b=0.
Pour x=π2 et x=3π2 on obtient le système

{c+dπ/2=0c+3dπ/2=0

d’où c=d=0.

Finalement, la famille étudiée est libre.

 
Exercice 5  1629   Correction  

Pour tout entier 0kn, on pose fk: la fonction définie par fk(x)=ek.x.
Montrer que la famille (fk)0kn est une famille libre de (,).

Solution

Supposons λ0f0++λnfn=0.
On a

x,λ0+λ1ex++λnenx=0.

Quand x-, en passant la relation ci-dessus à la limite, on obtient λ0=0.
On a alors

x,λ1ex++λnenx=0

donc

λ1+λ2ex++λne(n-1)x=0.

En reprenant la démarche ci-dessus, on obtient λ1=0, puis de même λ2==λn=0.

 
Exercice 6  1630   

Soit E un espace vectoriel réel.

  • (a)

    Soient x,y,z trois vecteurs de E constituant une famille libre. On pose u=x+y, v=y+z et w=z+x. Montrer la liberté de la famille (u,v,w).

  • (b)

    Soient x,y,z,t des vecteurs de E constituant une famille libre. On pose u=x+y, v=y+z, w=z+t et s=t+x. Étudier la liberté de la famille (u,v,w,s).

 
Exercice 7  1631   

Soit (u1,,un,un+1) une famille de vecteurs d’un 𝕂-espace vectoriel E.

  • (a)

    Établir que, si la famille (u1,,un) est libre et que un+1 n’appartient pas à Vect(u1,,un), alors (u1,,un,un+1) est libre.

  • (b)

    Établir que, si la famille (u1,,un,un+1) est génératrice de E et que un+1 est élément de Vect(u1,,un), alors (u1,,un) est génératrice de E

 
Exercice 8  1633   Correction  

Soit (e1,,ep) une famille libre de vecteurs de E.
Montrer que pour tout aEVect(e1,,ep), la famille (e1+a,,ep+a) est libre.

Solution

Supposons

λ1(e1+a)++λp(ep+a)=0E.

On a λ1e1++λpep=-(λ1++λp).a.
Si λ1++λp0 alors

a=-λ1e1++λpepλ1++λpVect(e1,,ep).

C’est exclu.
Si λ1++λp=0 alors λ1e1++λpep=0E puis λ1==λp=0.

 
Exercice 9  1632   Correction  

Soient (x1,,xn) une famille libre de vecteurs de E et α1,,αn𝕂.

On pose

u=α1.x1++αn.xnetyi=xi+upour i=1,,n.

À quelle condition sur les scalaires αi, la famille (y1,,yn) est-elle libre?

Solution

Supposons λ1y1++λnyn=0. On a

(λ1+α1(λ1++λn)).x1++(λn+αn(λ1++λn)).xn=0

donc

{(λ1+α1(λ1++λn))=0(λn+αn(λ1++λn))=0.

En sommant les équations,

(λ1++λn)(1+(α1++αn))=0.

Si α1++αn-1 alors λ1++λn=0 puis, par le système, λ1==λn=0.
Si α1++αn=-1 alors α1y1++αnyn=0.
Finalement, la famille (y1,,yn) est libre si, et seulement si,

α1++αn-1.
 
Exercice 10  171   Correction  

Soit E l’ensemble des applications f:[-1;1] continues telles que les restrictions f|[-1;0] et f|[0;1] soient affines.

  • (a)

    Montrer que E est un -espace vectoriel.

  • (b)

    Donner une base de E.

Solution

  • (a)

    E est un sous-espace vectoriel de 𝒞([-1;1],).

  • (b)

    x1, xx et x|x| forment une base de E.

 
Exercice 11  4212    

On munit de sa structure11 1 Les vecteurs sont les nombres réels et les scalaires exprimant les combinaisons linéaires sont des nombres rationnels. Le produit extérieur est la multiplication usuelle. Cet espace est de dimension infinie (voir sujet suivant). de -espace vectoriel.

  • (a)

    Soit d*. À quelle condition la famille (1,d) est-elle libre?

  • (b)

    Établir la liberté de la famille (1,2,3,6).

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Édité le 08-11-2019

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