Exercice 1 1627 Correction

Les familles suivantes de vecteurs de $ℝ^{3}$ sont-elles libres?
Si ce n’est pas le cas, former une relation linéaire liant ces vecteurs:

(a)

$(x_{1}, x_{2})$ avec $x_{1} = (1,0,1)$ et $x_{2} = (1,2,2)$
(b)

$(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ avec $x_{1} = (1,0,0)$ , $x_{2} = (1,1,0)$ et $x_{3} = (1,1,1)$
(c)

$(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ avec $x_{1} = (1,2,1)$ , $x_{2} = (2,1, - 1)$ et $x_{3} = (1, - 1, - 2)$
(d)

$(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ avec $x_{1} = (1, - 1,1)$ , $x_{2} = (2, - 1,3)$ et $x_{3} = (- 1,1, - 1)$ .

Solution

(a)

oui.
(b)

oui.
(c)

non car $x_{3} = x_{2} - x_{1}$ .
(d)

non car $x_{3} = - x_{1}$ .

Exercice 2 4510

Soient $u$ et $v$ deux vecteurs d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ . On dit que le vecteur $v$ est colinéaire à $u$ si l’on peut écrire $v = α . u$ avec $α \in 𝕂$ .

(a)

On suppose la famille $(u, v)$ liée. Montrer que $u$ est colinéaire à $v$ ou $v$ colinéaire à $u$ .
(b)

À quelle condition simple sur $u$ peut-on affirmer que, lorsque la famille $(u, v)$ est liée, le vecteur $v$ est colinéaire à $u$ ?

Exercice 3 2464 X (MP)Correction

Soit $(a, b, c) \in ℝ^{3}$ . Les fonctions $x \mapsto \sin (x + a), x \mapsto \sin (x + b)$ et $x \mapsto \sin (x + c)$ sont-elles linéairement indépendantes dans l’espace $ℱ (ℝ, ℝ)$ ?

Solution

Non car ces trois fonctions sont combinaisons linéaires des deux suivantes

x \mapsto \sin (x) et x \mapsto \cos (x) .

Exercice 4 1628 Correction

On pose $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4} : [0; 2 π] \to ℝ$ les fonctions définies par:

f_{1} (x) = \cos (x), f_{2} (x) = x \cos (x), f_{3} (x) = \sin (x), f_{4} (x) = x \sin (x) .

Montrer que $(f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4})$ est une famille libre d’éléments de l’espace réel $𝒞 ([0; 2 π], ℝ)$ .

Solution

Les fonctions $f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}$ appartiennent effectivement à l’espace $𝒞 ([0; 2 π], ℝ)$ .

Soit $(a, b, c, d) \in ℝ^{4}$ . Supposons

a f_{1} + b f_{2} + c f_{3} + d f_{4} = 0 .

On a

\forall x \in [0; 2 π], (a + b x) \cos (x) + (c + d x) \sin (x) = 0 .

Pour $x = 0$ et $x = π$ , on obtient les équations du système

{\begin{matrix} a & = 0 \\ a + b π & = 0 \end{matrix}

d’où $a = b = 0$ .

Pour $x = \frac{π}{2}$ et $x = \frac{3 π}{2}$ , on forme le système

{\begin{matrix} c + d π / 2 & = 0 \\ c + 3 d π / 2 & = 0 \end{matrix}

d’où $c = d = 0$ .

Finalement, la famille étudiée est libre.

Exercice 5 1629 Correction

Soit $n \in ℕ$ . Pour $k \in ⟦ 0; n ⟧$ , on pose $f_{k} : ℝ \to ℝ$ la fonction définie par $f_{k} (x) = e^{k x}$ .

Montrer que la famille ${(f_{k})}_{0 \leq k \leq n}$ est une famille libre de l’espace $ℱ (ℝ, ℝ)$ .

Solution

Soit $(λ_{0}, \dots, λ_{n}) \in ℝ^{n + 1}$ . Supposons $λ_{0} f_{0} + \dots + λ_{n} f_{n} = 0$ . On a

\forall x \in ℝ, λ_{0} + λ_{1} e^{x} + \dots + λ_{n} e^{n x} = 0 .

(1)

En passant la relation ci-dessus à la limite quand $x$ tend vers $- \infty$ , on obtient $λ_{0} = 0$ . La relation (1) se simplifie alors en

\forall x \in ℝ, λ_{1} e^{x} + \dots + λ_{n} e^{n x} = 0

puis en

\forall x \in ℝ, λ_{1} + λ_{2} e^{x} + \dots + λ_{n} e^{(n - 1) x} = 0 .

En reprenant la démarche ci-dessus, on obtient $λ_{1} = 0$ , puis de même¹¹ 1 L’idéal serait de rédiger une résolution par récurrence sur $n \in ℕ^{*}$ . $λ_{2} = \dots = λ_{n} = 0$ .

La famille ${(f_{k})}_{0 \leq k \leq n}$ est donc libre.

Exercice 6 1630

Soit $E$ un espace vectoriel réel.

(a)

Soient $x, y, z$ trois vecteurs de $E$ constituant une famille libre. On pose $u = x + y$ , $v = y + z$ et $w = z + x$ . Montrer la liberté de la famille $(u, v, w)$ .
(b)

Soient $x, y, z, t$ des vecteurs de $E$ constituant une famille libre. On pose $u = x + y$ , $v = y + z$ , $w = z + t$ et $s = t + x$ . Étudier la liberté de la famille $(u, v, w, s)$ .

Exercice 7 1631

Soit $(u_{1}, \dots, u_{n}, u_{n + 1})$ une famille de vecteurs d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ .

(a)

Établir que, si la famille $(u_{1}, \dots, u_{n})$ est libre et que $u_{n + 1}$ n’appartient pas à $Vect (u_{1}, \dots, u_{n})$ , alors $(u_{1}, \dots, u_{n}, u_{n + 1})$ est libre.
(b)

Établir que, si la famille $(u_{1}, \dots, u_{n}, u_{n + 1})$ est génératrice de $E$ et que $u_{n + 1}$ est élément de $Vect (u_{1}, \dots, u_{n})$ , alors $(u_{1}, \dots, u_{n})$ est génératrice de $E$

Exercice 8 1633 Correction

Soit $(e_{1}, \dots, e_{p})$ une famille libre de vecteurs d’un espace réel $E$ .

Établir que pour tout $a \in E ∖ Vect (e_{1}, \dots, e_{p})$ , la famille $(e_{1} + a, \dots, e_{p} + a)$ est libre.

Solution

Soit $(λ_{1}, \dots, λ_{p}) \in ℝ^{p}$ . Supposons

λ_{1} . (e_{1} + a) + \dots + λ_{p} . (e_{p} + a) = 0_{E} .

On a

λ_{1} . e_{1} + \dots + λ_{p} . e_{p} = - (λ_{1} + \dots + λ_{p}) . a .

(1)

Par l’absurde, $λ_{1} + \dots + λ_{p} \neq 0$ alors

a = - \frac{λ_{1} e_{1} + \dots + λ_{p} e_{p}}{λ_{1} + \dots + λ_{p}} \in Vect (e_{1}, \dots, e_{p}) .

Cela est exclu et donc nécessairement $λ_{1} + \dots + λ_{p} = 0$ .

La relation (1) devient alors

λ_{1} . e_{1} + \dots + λ_{p} . e_{p} = 0_{E}

On en déduit $λ_{1} = \dots = λ_{p} = 0$ car la famille $(e_{1}, \dots, e_{p})$ est libre.

Exercice 9 1632 Correction

Soient $(x_{1}, \dots, x_{n})$ une famille libre de vecteurs de $E$ et $α_{1}, \dots, α_{n} \in 𝕂$ .

On pose

u = α_{1} . x_{1} + \dots + α_{n} . x_{n} et y_{i} = x_{i} + u pour i = 1, \dots, n .

À quelle condition sur les scalaires $α_{i}$ , la famille $(y_{1}, \dots, y_{n})$ est-elle libre?

Solution

Supposons $λ_{1} y_{1} + \dots + λ_{n} y_{n} = \vec{0}$ . On a

(λ_{1} + α_{1} (λ_{1} + \dots + λ_{n})) . x_{1} + \dots + (λ_{n} + α_{n} (λ_{1} + \dots + λ_{n})) . x_{n} = \vec{0}

donc

{\begin{matrix} (λ_{1} + α_{1} (λ_{1} + \dots + λ_{n})) & = 0 \\ ⋮ \\ (λ_{n} + α_{n} (λ_{1} + \dots + λ_{n})) & = 0 . \end{matrix}

En sommant les équations,

(λ_{1} + \dots + λ_{n}) (1 + (α_{1} + \dots + α_{n})) = 0 .

Si $α_{1} + \dots + α_{n} \neq - 1$ alors $λ_{1} + \dots + λ_{n} = 0$ puis, par le système, $λ_{1} = \dots = λ_{n} = 0$ .
Si $α_{1} + \dots + α_{n} = - 1$ alors $α_{1} y_{1} + \dots + α_{n} y_{n} = \vec{0}$ .
Finalement, la famille $(y_{1}, \dots, y_{n})$ est libre si, et seulement si,

α_{1} + \dots + α_{n} \neq - 1 .

Exercice 10 171 Correction

Soit $E$ l’ensemble des applications $f : [- 1; 1] \to ℝ$ continues telles que les restrictions ${f |}_{[- 1; 0]}$ et ${f |}_{[0; 1]}$ soient affines.

(a)

Montrer que $E$ est un $ℝ$ -espace vectoriel.
(b)

Donner une base de $E$ .

Solution

(a)

$E$ est un sous-espace vectoriel de $𝒞 ([- 1; 1], ℝ)$ .
(b)

$x \mapsto 1$ , $x \mapsto x$ et $x \mapsto | x |$ forment une base de $E$ .

Exercice 11 4212

On munit $ℝ$ de sa structure¹¹ 1 Les vecteurs sont les nombres réels et les scalaires exprimant les combinaisons linéaires sont des nombres rationnels. Le produit extérieur est la multiplication usuelle. Cet espace est de dimension infinie (voir le sujet 170). de $ℚ$ -espace vectoriel.

(a)

Soit $d \in ℕ^{*}$ . À quelle condition la famille $(1, \sqrt{d})$ est-elle libre?
(b)

Établir la liberté de la famille $(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})$ .

[<] Somme d'un nombre fini de sous-espaces [>] Familles infinies de vecteurs

Édité le 29-08-2023

Familles de vecteurs