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Exercice 1  1728  Correction  

Soient V=a+F et W=b+G deux sous-espaces affines d’un -espace vectoriel E.
Montrer que

VWb-aF+G.

Solution

() Supposons VW. Soit xVW. On peut écrire x=a+u=b+v avec uF et vG.
On a alors b-a=u+(-v)F+G.

() Inversement, si b-aF+G alors on peut écrire b-a=u+v avec uF et vG.
On alors x=a+u=b-vVW.

 
Exercice 2  1727  Correction  

À quelle condition simple le sous-espace affine V=a+F est-il un sous-espace vectoriel?

Solution

Si aF alors V=a+F=F est un sous-espace vectoriel.
Inversement, si V est un sous-espace vectoriel alors oV donc il existe bF tel que o=a+b.
On a alors a=-bF. La condition cherchée et aF.

 
Exercice 3  4521   

Soient V et W deux sous-espaces affines de directions F et G d’un espace E. Lorsque FG, on dit que V est parallèle à W. Montrer qu’alors VW ou bien V et W sont disjoints.

 
Exercice 4  1729   

Soient V et W deux sous-espaces affines disjoints d’un espace vectoriel réel E.

Montrer qu’il existe deux sous-espaces affines disjoints V et W ayant la même direction et contenant respectivement V et W.

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Édité le 08-11-2019

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