[<] Structure d'espace vectoriel [>] Opérations sur les sous-espaces vectoriels
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de ?
Solution
non: pas stable par multiplication scalaire: appartient mais pas
non: pas stable par addition:
oui
non: ne passe pas par .
non: pas stable par addition:
oui (c’est l’espace nul!)
Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de ?
Solution
oui
non
oui
oui.
Les parties de suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels?
.
Solution
non
oui
non
oui.
Soit .
Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Solution
, car .
Soient et . On a
avec pour tout ,
donc .
Ainsi, est un sous-espace vectoriel de .
Soient et .
Montrer que et sont des sous-espaces vectoriels de l’espace .
Déterminer .
Montrer que les parties de suivantes sont des sous-espaces vectoriels:
Solution
et .
Soient et . La fonction est de classe sur et
donc .
et .
Soient et . La fonction est continue sur et
donc .
Soient des vecteurs d’un -espace vectoriel .
Montrer que l’ensemble est un sous-espace vectoriel de contenant les vecteurs .
Solution
et car
Soient et . On peut écrire
avec . On a alors
avec donc . Ainsi est un sous-espace vectoriel de .
De plus,
avec
Ainsi .
On dit qu’une fonction est à support compact s’il existe tel que est nulle en dehors de . Vérifier que l’ensemble des fonctions de vers de classe et à support compact est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions de vers .
Soit . On note .
Montrer que est un sous-espace vectoriel de vu comme -espace vectoriel.
À quelle condition est-il un sous-espace vectoriel de vu comme -espace vectoriel?
Solution
et car .
Soient et on peut écrire et avec et l’on a avec donc .
Ainsi est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel .
Si est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel alors puisque et , on a . Cela n’est possible que si . Inversement, si alors est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel .
Soient , l’ensemble des fonctions de croissantes et
Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Solution
. avec donc .
Soient . On peut écrire et avec . On a alors avec .
Soit . On peut écrire avec .
Pour tout , on a avec .
Pour tout , on a avec .
Dans les deux cas .
Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d’une structure que l’on précisera.
Solution
Montrons que l’ensemble étudié est un sous-espace vectoriel de l’ensemble des suites réelles.
Assurément . La suite nulle est périodique donc . Pour et , on peut affirmer que est -périodique (et même -périodique) en notant et des périodes non nulles de et . Ainsi, .
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Édité le 29-08-2023
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