[<] Structure d'espace vectoriel [>] Opérations sur les sous-espaces vectoriels

 
Exercice 1  1681  Correction  

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de 2?

  • (a)

    {(x,y)2|xy}

  • (b)

    {(x,y)2|xy=0}

  • (c)

    {(x,y)2|x=y}

  • (d)

    {(x,y)2|x+y=1}

  • (e)

    {(x,y)2|x2-y2=0}

  • (f)

    {(x,y)2|x2+y2=0}

Solution

  • (a)

    non: pas stable par multiplication scalaire: (0,1) appartient mais pas -(0,1)

  • (b)

    non: pas stable par addition: (1,0)+(0,1)

  • (c)

    oui

  • (d)

    non: ne passe pas par (0,0).

  • (e)

    non: pas stable par addition: (1,1)+(1,-1)

  • (f)

    oui (c’est l’espace nul!)

 
Exercice 2  1683  Correction  

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de ?

  • (a)

    {(un)|(un) bornée}

  • (b)

    {(un)|(un) monotone}

  • (c)

    {(un)|(un) convergente}

  • (d)

    {(un)|(un) arithmétique}

Solution

  • (a)

    oui

  • (b)

    non

  • (c)

    oui

  • (d)

    oui.

 
Exercice 3  1685  Correction  

Les parties de (,) suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels?

  • (a)

    {f:|f est monotone}

  • (b)

    {f:|f s’annule en 0}

  • (c)

    {f:|f s’annule}

  • (d)

    {f:|f est impaire}.

Solution

  • (a)

    non

  • (b)

    oui

  • (c)

    non

  • (d)

    oui.

 
Exercice 4  1684  Correction  

Soit F={(un)|n,un+2=nun+1+un}.
Montrer que F est un sous-espace vectoriel de .

Solution

F, 0=(0)nF car n, 0=n.0+0.
Soient λ,μ et (un),(vn)F. On a

λ(un)+μ(vn)=(λun+μvn)

avec pour tout n,

λun+2+μvn+2=λ(nun+1+un)+μ(nvn+1+vn)=n(λun+1+μvn+1)+λun+μvn

donc λ(un)+μ(vn)F.
Ainsi, F est un sous-espace vectoriel de .

 
Exercice 5  4508  

Soient F={(x,y,z)3|x-y-z=0} et G={(a+b,a,a+3b)|a,b}.

  • (a)

    Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de l’espace 3.

  • (b)

    Déterminer FG.

 
Exercice 6  1686  Correction  

Montrer que les parties de ([a;b],) suivantes sont des sous-espaces vectoriels:

  • (a)

    F={f𝒞1([a;b],)|f(a)=f(b)}

  • (b)

    G={f𝒞0([a;b],)|abf(t)dt=0}

Solution

  • (a)

    F([a;b],) et 0~F.
    Soient λ,μ et f,gF. La fonction λf+μg est de classe 𝒞1 sur [a;b] et

    (λf+μg)(a)=λf(a)+μg(b)=λf(b)+μg(b)=(λf+μg)(b)

    donc λf+μgF.

  • (b)

    G([a;b],) et 0~G.
    Soient λ,μ et f,gG. La fonction λf+μg est continue sur [a;b] et

    ab(λf+μg)(t)dt=λabf(t)dt+μabg(t)dt=0

    donc λf+μgG.

 
Exercice 7  1688  Correction  

Soient u1,,un des vecteurs d’un 𝕂-espace vectoriel E.
Montrer que l’ensemble F={λ1u1++λnun|λ1,,λn𝕂} est un sous-espace vectoriel de E contenant les vecteurs u1,,un.

Solution

FE et 0EF car

0E=0.u1++0.un.

Soient α,β𝕂 et x,yF. On peut écrire

x=λ1u1++λnu et y=μ1u1++μnun

avec λi,μi𝕂. On a alors

αx+βy=(αλ1+βμ1)u1++(αλn+βμn)un

avec αλi+βμi𝕂 donc αx+βyF. Ainsi F est un sous-espace vectoriel de E.
De plus,

i{1,,n},ui=λ1u1++λnun

avec

λj=δi,j={1 si i=j0 sinon.

Ainsi uiF.

 
Exercice 8  4513  

On dit qu’une fonction f: est à support compact s’il existe A+ tel que f est nulle en dehors de [-A;A]. Vérifier que l’ensemble 𝒟 des fonctions de  vers  de classe 𝒞 et à support compact est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions de vers .

 
Exercice 9  1687   Correction  

Soit ω. On note ω.={ωx|x}.
Montrer que ω. est un sous-espace vectoriel de vu comme -espace vectoriel.
À quelle condition ω. est-il un sous-espace vectoriel de vu comme -espace vectoriel?

Solution

ω et 0ω car 0=ω×0.
Soient λ,μ et z,zω. on peut écrire z=ωx et z=ωx avec x,x et l’on a (λz+μz)=ω(λ.x+μx) avec λx+μx donc λz+μzω.
Ainsi ω est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel .
Si ω est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel alors puisque ω=ω×1ω et i, on a i.ωω. Cela n’est possible que si ω=0. Inversement, si ω=0 alors ω={0} est un sous-espace vectoriel du -espace vectoriel .

 
Exercice 10  1689   Correction  

Soient E=(,), 𝒞 l’ensemble des fonctions de E croissantes et

Δ={f-g|f,g𝒞}.

Montrer que Δ est un sous-espace vectoriel de E.

Solution

ΔE. 0=0-0 avec 0𝒞 donc 0Δ.
Soient h,hΔ. On peut écrire h=f-g et h=f-g avec f,g,f,g𝒞. On a alors h+h=(f+f)-(g+g) avec (f+f),(g+g)𝒞.
Soit hΔ. On peut écrire h=f-g avec f,g𝒞.
Pour tout λ0, on a λh=λf-λg avec λf,λg𝒞.
Pour tout λ<0, on a λh=(-λ)g-(-λf) avec (-λ)g,(-λ)f𝒞.
Dans les deux cas λhΔ.

 
Exercice 11  1690   Correction  

Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d’une structure que l’on précisera.

Solution

Montrons que l’ensemble F étudié est un sous-espace vectoriel de l’ensemble E des suites réelles.
Assurément FE. La suite nulle est périodique donc 0F. Pour u,vF et λ,μ, on peut affirmer que λu+μv est TT-périodique (et même ppcm(T,T)-périodique) en notant T et T des périodes non nulles de u et v. Ainsi, λu+μvF.

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Édité le 08-11-2019

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