Exercice 1 1681 Correction

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $ℝ^{2}$ ?

(a)

${(x, y) \in ℝ^{2} | x \leq y}$
(b)

${(x, y) \in ℝ^{2} | x y = 0}$
(c)

${(x, y) \in ℝ^{2} | x = y}$
(d)

${(x, y) \in ℝ^{2} | x + y = 1}$
(e)

${(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} - y^{2} = 0}$
(f)

${(x, y) \in ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} = 0}$

Solution

(a)

non: pas stable par multiplication scalaire: $(0,1)$ appartient mais pas $- (0,1)$
(b)

non: pas stable par addition: $(1,0) + (0,1)$
(c)

oui
(d)

non: ne passe pas par $(0,0)$ .
(e)

non: pas stable par addition: $(1,1) + (1, - 1)$
(f)

oui (c’est l’espace nul!)

Exercice 2 1683 Correction

Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de $ℝ^{ℕ}$ ?

(a)

${(u_{n}) \in ℝ^{ℕ} | (u_{n}) bornée}$
(b)

${(u_{n}) \in ℝ^{ℕ} | (u_{n}) monotone}$
(c)

${(u_{n}) \in ℝ^{ℕ} | (u_{n}) convergente}$
(d)

${(u_{n}) \in ℝ^{ℕ} | (u_{n}) arithmétique}$

Solution

(a)

oui
(b)

non
(c)

oui
(d)

oui.

Exercice 3 1685 Correction

Les parties de $ℱ (ℝ, ℝ)$ suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels?

(a)

${f : ℝ \to ℝ | f est monotone}$
(b)

${f : ℝ \to ℝ | f s’annule en 0}$
(c)

${f : ℝ \to ℝ | f s’annule}$
(d)

${f : ℝ \to ℝ | f est impaire}$ .

Solution

(a)

non
(b)

oui
(c)

non
(d)

oui.

Exercice 4 1684 Correction

Soit $F = {(u_{n}) \in ℝ^{ℕ} | \forall n \in ℕ, u_{n + 2} = n u_{n + 1} + u_{n}}$ .
Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $ℝ^{ℕ}$ .

Solution

$F \subset ℝ^{ℕ}$ , $0 = {(0)}_{n \in ℕ} \in F$ car $\forall n \in ℕ, 0 = n .0 + 0$ .
Soient $λ, μ \in ℝ$ et $(u_{n}), (v_{n}) \in F$ . On a

λ (u_{n}) + μ (v_{n}) = (λ u_{n} + μ v_{n})

avec pour tout $n \in ℕ$ ,

λ u_{n + 2} + μ v_{n + 2} = λ (n u_{n + 1} + u_{n}) + μ (n v_{n + 1} + v_{n}) = n (λ u_{n + 1} + μ v_{n + 1}) + λ u_{n} + μ v_{n}

donc $λ (u_{n}) + μ (v_{n}) \in F$ .
Ainsi, $F$ est un sous-espace vectoriel de $ℝ^{ℕ}$ .

Exercice 5 4508

Soient $F = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | x - y - z = 0}$ et $G = {(a + b, a, a + 3 b) | a, b \in ℝ}$ .

(a)

Montrer que $F$ et $G$ sont des sous-espaces vectoriels de l’espace $ℝ^{3}$ .
(b)

Déterminer $F \cap G$ .

Exercice 6 1686 Correction

Montrer que les parties de $ℱ ([a; b], ℝ)$ suivantes sont des sous-espaces vectoriels:

(a)

$F = {f \in 𝒞^{1} ([a; b], ℝ) | f^{'} (a) = f^{'} (b)}$
(b)

$G = {f \in 𝒞^{0} ([a; b], ℝ) | \int_{a}^{b} f (t) d t = 0}$

Solution

(a)

$F \subset ℱ ([a; b], ℝ)$ et $\tilde{0} \in F$ .
Soient $λ, μ \in ℝ$ et $f, g \in F$ . La fonction $λ f + μ g$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $[a; b]$ et

${(λ f + μ g)}^{'} (a) = λ f^{'} (a) + μ g^{'} (b) = λ f^{'} (b) + μ g^{'} (b) = {(λ f + μ g)}^{'} (b)$

donc $λ f + μ g \in F$ .
(b)

$G \subset ℱ ([a; b], ℝ)$ et $\tilde{0} \in G$ .
Soient $λ, μ \in ℝ$ et $f, g \in G$ . La fonction $λ f + μ g$ est continue sur $[a; b]$ et

$\int_{a}^{b} (λ f + μ g) (t) d t = λ \int_{a}^{b} f (t) d t + μ \int_{a}^{b} g (t) d t = 0$

donc $λ f + μ g \in G$ .

Exercice 7 1688 Correction

Soient $u_{1}, \dots, u_{n}$ des vecteurs d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ .
Montrer que l’ensemble $F = {λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{n} u_{n} | λ_{1}, \dots, λ_{n} \in 𝕂}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ contenant les vecteurs $u_{1}, \dots, u_{n}$ .

Solution

$F \subset E$ et $0_{E} \in F$ car

0_{E} = 0 . u_{1} + \dots + 0 . u_{n} .

Soient $α, β \in 𝕂$ et $x, y \in F$ . On peut écrire

x = λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{n} u et y = μ_{1} u_{1} + \dots + μ_{n} u_{n}

avec $λ_{i}, μ_{i} \in 𝕂$ . On a alors

α x + β y = (α λ_{1} + β μ_{1}) u_{1} + \dots + (α λ_{n} + β μ_{n}) u_{n}

avec $α λ_{i} + β μ_{i} \in 𝕂$ donc $α x + β y \in F$ . Ainsi $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .
De plus,

\forall i \in {1, \dots, n}, u_{i} = λ_{1} u_{1} + \dots + λ_{n} u_{n}

avec

λ_{j} = δ_{i, j} = {\begin{matrix} 1 & si i = j \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Ainsi $u_{i} \in F$ .

Exercice 8 4513

On dit qu’une fonction $f : ℝ \to ℝ$ est à support compact s’il existe $A \in ℝ_{+}$ tel que $f$ est nulle en dehors de $[- A; A]$ . Vérifier que l’ensemble $𝒟$ des fonctions de $ℝ$ vers $ℝ$ de classe $𝒞^{\infty}$ et à support compact est un sous-espace vectoriel de l’espace des fonctions de $ℝ$ vers $ℝ$ .

Exercice 9 1687 Correction

Soit $ω \in ℂ$ . On note $ω . ℝ = {ω x | x \in ℝ}$ .
Montrer que $ω . ℝ$ est un sous-espace vectoriel de $ℂ$ vu comme $ℝ$ -espace vectoriel.
À quelle condition $ω . ℝ$ est-il un sous-espace vectoriel de $ℂ$ vu comme $ℂ$ -espace vectoriel?

Solution

$ω ℝ \subset ℂ$ et $0 \in ω ℝ$ car $0 = ω \times 0$ .
Soient $λ, μ \in ℝ$ et $z, z^{'} \in ω . ℝ$ on peut écrire $z = ω x$ et $z^{'} = ω x^{'}$ avec $x, x^{'} \in ℝ$ et l’on a $(λ z + μ z^{'}) = ω (λ . x + μ x^{'})$ avec $λ x + μ x^{'} \in ℝ$ donc $λ z + μ z^{'} \in ω ℝ$ .
Ainsi $ω ℝ$ est un sous-espace vectoriel du $ℝ$ -espace vectoriel $ℂ$ .
Si $ω ℝ$ est un sous-espace vectoriel du $ℂ$ -espace vectoriel $ℂ$ alors puisque $ω = ω \times 1 \in ω ℝ$ et $i \in ℂ$ , on a $i . ω \in ω ℝ$ . Cela n’est possible que si $ω = 0$ . Inversement, si $ω = 0$ alors $ω ℝ = {0}$ est un sous-espace vectoriel du $ℂ$ -espace vectoriel $ℂ$ .

Exercice 10 1689 Correction

Soient $E = ℱ (ℝ, ℝ)$ , $𝒞$ l’ensemble des fonctions de $E$ croissantes et

Δ = {f - g | f, g \in 𝒞} .

Montrer que $Δ$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

Solution

$Δ \subset E$ . $0 = 0 - 0$ avec $0 \in 𝒞$ donc $0 \in Δ$ .
Soient $h, h^{'} \in Δ$ . On peut écrire $h = f - g$ et $h^{'} = f^{'} - g^{'}$ avec $f, g, f^{'}, g^{'} \in 𝒞$ . On a alors $h + h^{'} = (f + f^{'}) - (g + g^{'})$ avec $(f + f^{'}), (g + g^{'}) \in 𝒞$ .
Soit $h \in Δ$ . On peut écrire $h = f - g$ avec $f, g \in 𝒞$ .
Pour tout $λ \geq 0$ , on a $λ h = λ f - λ g$ avec $λ f, λ g \in 𝒞$ .
Pour tout $λ < 0$ , on a $λ h = (- λ) g - (- λ f)$ avec $(- λ) g, (- λ) f \in 𝒞$ .
Dans les deux cas $λ h \in Δ$ .

Exercice 11 1690 Correction

Démontrer que le sous-ensemble constitué des suites réelles périodiques est un sous-espace vectoriel d’une structure que l’on précisera.

Solution

Montrons que l’ensemble $F$ étudié est un sous-espace vectoriel de l’ensemble $E$ des suites réelles.
Assurément $F \subset E$ . La suite nulle est périodique donc $0 \in F$ . Pour $u, v \in F$ et $λ, μ \in ℝ$ , on peut affirmer que $λ u + μ v$ est $T T^{'}$ -périodique (et même $ppcm (T, T^{'})$ -périodique) en notant $T$ et $T^{'}$ des périodes non nulles de $u$ et $v$ . Ainsi, $λ u + μ v \in F$ .

Sous espaces vectoriels