Exercice 1 220 Correction

Pour $d \in ℕ$ , notons $H_{d}$ l’ensemble formé des fonctions polynomiales de $ℝ^{2}$ vers $ℝ$ homogènes de degré $d$ c’est-à-dire pouvant s’écrire comme combinaison linéaire de fonctions monômes de degré $d$ .

Montrer que ${(H_{d})}_{0 \leq d \leq n}$ est une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.

Solution

$H_{d}$ est définit comme le sous-espace vectoriel engendré par les monômes de degré $d$ , c’est donc un sous-espace vectoriel. Si $\sum_{k = 0}^{n} P_{k} = 0$ avec $P_{k} \in H_{k}$ alors l’unicité de l’écriture d’un polynôme en somme de monôme permet de conclure $P_{k} = 0$ pour tout $k \in {0, \dots, n}$ . La famille ${(H_{d})}_{0 \leq d \leq n}$ est donc bien une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.

Exercice 2 222 Correction

Soient $E_{1}, \dots, E_{n}$ et $F_{1}, \dots, F_{n}$ sous-espaces vectoriels de $E$ tel que $E_{i} \subset F_{i}$ et

\oplus_{i = 1}^{n} E_{i} = \oplus_{i = 1}^{n} F_{i} .

Montrer que $E_{i} = F_{i}$ .

Solution

Soit $x \in F_{i}$ .
Puisque a $x \in \oplus_{i = 1}^{n} F_{i} = \oplus_{i = 1}^{n} E_{i}$ , on peut écrire $x = x_{1} + \dots + x_{n}$ avec $x_{i} \in E_{i}$ .
On a alors

x_{1} + \dots + (x_{i} - x) + \dots + x_{n} = 0_{E}

avec $x_{1} \in F_{1}$ ,…, $x_{i} - x \in F_{i}$ ,…, $x_{n} \in F_{n}$ .
Or les espaces $F_{1}, \dots, F_{n}$ sont en somme directe, donc les vecteurs précédents sont nuls et en particulier

x = x_{i} \in E_{i} .

Exercice 3 190 Correction

Soient $F, G, F^{'}, G^{'}$ des sous-espaces vectoriels d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ vérifiant

F \oplus G = F^{'} \oplus G^{'} = E et F^{'} \subset G .

Montrer

F \oplus F^{'} \oplus (G \cap G^{'}) = E .

Solution

Supposons $x + x^{'} + y = 0$ avec $x \in F$ , $x^{'} \in F^{'}$ et $y \in G \cap G^{'}$ .
Puisque $x^{'} \in F^{'} \subset G$ et $y \in G \cap G^{'} \subset G$ , on a $x^{'} + y \in G$ .
Or $F$ et $G$ sont en somme directe donc $x + (x^{'} + y) = 0$ avec $x \in F$ et $x^{'} + y \in G$ entraîne $x = 0$ et $x^{'} + y = 0$ .
Sachant $x^{'} + y = 0$ avec $x \in F^{'}$ , $y \in G^{'}$ et $F^{'}, G^{'}$ en somme directe, on a $x^{'} = y = 0$ .

Finalement, $x = x^{'} = y = 0$ et l’on peut affirmer que les espaces $F, F^{'}$ et $G \cap G^{'}$ sont en somme directe.
Soit $a \in E$ . Puisque $E = F \oplus G$ , on peut écrire $a = x + b$ avec $x \in F$ et $b \in G$ .
Sachant $E = F^{'} \oplus G^{'}$ , on peut écrire $b = x^{'} + y$ avec $x^{'} \in F^{'}$ et $y \in G^{'}$ .
Or $y = b - x^{'}$ avec $b \in G$ et $x^{'} \in F^{'} \subset G$ donc $y \in G$ et ainsi $y \in G \cap G^{'}$ .
Finalement, on obtient $a = x + x^{'} + y$ avec $x \in F$ , $x^{'} \in F^{'}$ et $y \in G \cap G^{'}$ .
On peut conclure $E \subset F \oplus F^{'} \oplus (G \cap G^{'})$ puis $E = F \oplus F^{'} \oplus (G \cap G^{'})$ .

Exercice 4 3852

Dans l’espace $E$ des fonctions continues de $[- 1; 1]$ vers $ℝ$ , on considère les sous-espaces vectoriels

F_{1} = {f \in E | f est constante}, F_{2} = {f \in E | \forall t \in [- 1; 0], f (t) = 0} et

F_{3} = {f \in E | \forall t \in [0; 1], f (t) = 0} .

Établir

E = F_{1} \oplus F_{2} \oplus F_{3} .

Exercice 5 217 Correction

Soient $n \in ℕ$ et $E = ℝ_{n} [X]$ . Pour tout $i = 0, \dots, n$ , on note

F_{i} = {P \in E | \forall j \in ⟦ 0; n ⟧ ∖ {i}, P (j) = 0} .

Montrer que les $F_{i}$ sont des sous-espaces vectoriels et que

E = F_{0} \oplus \dots \oplus F_{n} .

Solution

Les ensembles $F_{i}$ sont clairement des sous-espaces vectoriels de $E$ .

Supposons $P_{0} + \dots + P_{n} = 0$ avec $P_{i} \in F_{i}$ pour $i = 0, \dots, n$ .

Soit $i \in ⟦ 0; n ⟧$ . Le polynôme $P_{i}$ possède par définition $n$ racines. Aussi, $(P_{0} + \dots + P_{n}) (i) = 0$ donne $P_{i} (i) = 0$ ce qui fournit une $(n + 1)$ -ième racine au polynôme $P_{i}$ . Par suite, $P_{i} = 0$ car $\deg (P_{i}) \leq n$ .

Les espaces $F_{i}$ sont donc en somme directe.

Au surplus, aucun de ces espaces n’est réduit au polynôme nul car

\prod_{j \neq i} (X - j) \in P_{i} .

On a donc $dim F_{i} \geq 1$ pour $i = 0, \dots, n$ puis

dim (F_{0} \oplus \dots \oplus F_{n}) \geq n + 1 .

Or $F_{0} \oplus \dots \oplus F_{n}$ est un sous-espace vectoriel de $E$ qui est de dimension $n + 1$ . On a donc nécessairement

E = F_{0} \oplus \dots \oplus F_{n}

(avec chaque espace $F_{i}$ de dimension $1$ exactement).

Exercice 6 218

Soient $f_{1}, \dots, f_{n}$ des endomorphismes d’un espace vectoriel $E$ vérifiant:

f_{1} + \dots + f_{n} = {Id}_{E} et \forall 1 \leq i \neq j \leq n, f_{i} \circ f_{j} = 0 .

(a)

Montrer que chaque $f_{i}$ est une projection vectorielle.
(b)

Établir $\oplus_{i = 1}^{n} Im (f_{i}) = E$ .

Exercice 7 5613 Correction

Soient $p_{1}, \dots, p_{n}$ des endomorphismes d’un espace vectoriel $E$ vérifiant:

p_{1} + \dots + p_{n} = {Id}_{E} et \forall 1 \leq i \neq j \leq n, p_{i} \circ p_{j} = 0 .

Montrer que les endomorphismes $p_{1}, \dots, p_{n}$ sont les projecteurs associés à une décomposition en somme directe de $E$ .

Solution

Commençons par vérifier que les endomorphismes $p_{i}$ sont des projecteurs.

Pour $i \in ⟦ 1; n ⟧$ ,

p_{i} = p_{i} \circ {Id}_{E} = p_{i} \circ \sum_{j = 1}^{n} p_{j} = \sum_{j = 1}^{n} (p_{i} \circ p_{j}) = \sum_{\begin{matrix} j = 1 \\ j \neq i \end{matrix}}^{n} (\underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{p_{i} \circ p_{j}}}) + p_{i} \circ p_{i} = p_{i} \circ p_{i} .

Ainsi, l’endomorphisme $p_{i}$ est une projecteur.

Posons $E_{i} = Im (p_{i})$ pour $i = 1, \dots, n$ et vérifions

E = E_{1} \oplus \dots \oplus E_{n} .

Pour commencer, pour tout $x \in E$ , on a

x = {Id}_{E} (x) = \sum_{i = 1}^{n} p_{i} (x) \in \sum_{i = 1}^{n} Im (p_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} E_{i} .

On peut alors affirmer

\sum_{i = 1}^{n} E_{i} = E .

Montrons maintenant que les espaces $E_{1}, \dots, E_{n}$ sont en somme directe.

Supposons $x_{1} + \dots + x_{n} = 0_{E}$ avec chaque $x_{i} \in E_{i}$ pour $i = 1, \dots, n$ .

Soit $i \in ⟦ 1; n ⟧$ . En appliquant $p_{i}$ à l’égalité précédente, on obtient

p_{i} (x_{1}) + \dots + p_{i} (x_{i}) + \dots + p_{i} (x_{n}) = 0_{E} .

D’une part, $p_{i} (x_{i}) = x_{i}$ car $p_{i}$ est un projecteur et $x_{i} \in Im (p_{i})$ .

D’autre part, $p_{i} (x_{j}) = 0$ car $x_{j} \in Im (p_{j}) \subset Ker (p_{i})$ puisque $p_{i} \circ p_{j} = 0$ .

On obtient donc $x_{i} = 0_{E}$ . Les espaces $E_{1}, \dots, E_{n}$ sont bien en somme directe et l’on a donc la décomposition

E = E_{1} \oplus \dots \oplus E_{n} .

Enfin, pour tout $x \in E$ ,

x = p_{1} (x) + \dots + p_{n} (x) avec p_{i} (x) \in E_{i}

ce qui détermine la décomposition de $x$ dans l’écriture $E = E_{1} \oplus \dots \oplus E_{n}$ .

Les endomorphismes $p_{1}, \dots, p_{n}$ sont donc les projecteurs associés à cette décomposition en somme directe.

Exercice 8 5882 Correction

Soient $F_{1}, \dots, F_{m}$ des sous-espaces vectoriels d’un $𝕂$ -espace vectoriel $E$ vérifiant $E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{m}$ .

Pour tout $k = 1, \dots, m$ , on note $ℱ_{k} = {u \in ℒ (E) | Im (u) \subset F_{k}}$ .

(a)

Montrer que les $ℱ_{k}$ sont des sous-espaces vectoriels de $ℒ (E)$ .
(b)

Justifier

$ℒ (E) = ℱ_{1} \oplus \dots \oplus ℱ_{m} .$

Solution

(a)

Soit $k \in ⟦ 1; m ⟧$ .

L’ensemble $ℱ_{k}$ est une partie de $ℒ (E)$ et celle-ci contient l’endomorphisme nul puisque $Im (0) = {0_{E}} \subset F_{k}$ .

Soient $λ, μ \in 𝕂$ et $u, v \in ℱ_{k}$ . Pour tout $x \in E$ , $u (x) \in F_{k}$ et $v (x) \in F_{k}$ . Or $F_{k}$ est un sous-espace vectoriel donc

$(λ . u + μ . v) (x) = λ . u (x) + μ . . v (x) \in F_{k} .$

Ainsi, $Im (λ . u + μ . v) \subset F_{k}$ , c’est-à-dire $λ . u + μ . v \in ℱ_{k}$

$ℱ_{k}$ est bien un sous-espace vectoriel de $ℒ (E)$ .
(b)

Introduisons $p_{1}, \dots, p_{m}$ les projecteurs associés à la décomposition en somme directe $E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{m}$ .

Soit $u \in ℒ (E)$ .

Analyse: Supposons $u = u_{1} + \dots + u_{m}$ avec $u_{k} \in ℱ_{k}$ pour $k = 1, \dots, m$ .

Pour $ℓ \in ⟦ 1; m ⟧ ∖ {k}$ , on remarque $p_{k} \circ u_{ℓ} = 0$ car $Im (u_{ℓ}) \subset F_{ℓ} \subset Ker (p_{k})$ tandis que $p_{k} \circ u_{k} = u_{k}$ car $Im (u_{k}) \subset F_{k} = Im (p_{k}) = Ker (p_{k} - Id)$ . On en déduit

$p_{k} \circ u = \sum_{ℓ = 1}^{m} p_{k} \circ u_{ℓ} = u_{k} .$

Cela détermine les endomorphismes $u_{k}$ .

Synthèse: Posons $u_{k} = p_{k} \circ u$ pour $k = 1, \dots, m$ . On remarque $Im (u_{k}) \subset Im (p_{k}) = F_{k}$ donc $u_{k} \in ℱ_{k}$ . Aussi, puisque $p_{1} + \dots + p_{m} = {Id}_{E}$ ,

$u_{1} + \dots + u_{m} = (p_{1} + \dots + p_{m}) \circ u = {Id}_{E} \circ u = u .$

Finalement,

$\forall u \in ℒ (E), \exists! (u_{1}, \dots, u_{m}) \in ℱ_{1} \times \dots \times ℱ_{m}, u = u_{1} + \dots + u_{m} .$

Cela permet d’écrire

$ℒ (E) = ℱ_{1} \oplus \dots \oplus ℱ_{m} .$

Exercice 9 5893 Correction

Soit $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension finie $n \geq 2$ muni d’une base $(e_{1}, \dots, e_{n})$ .

Pour $i = 1, \dots, n$ , on pose

G_{i} = Vect (e_{1}, \dots, e_{i - 1}, e_{i + 1}, \dots, e_{n}) et H_{i} = {f \in ℒ (E) | G_{i} \subset Ker (f)} .

(a)

Vérifier que les $H_{i}$ sont des sous-espaces vectoriels de $ℒ (E)$ .
(b)

Établir

$ℒ (E) = \oplus_{i = 1}^{n} H_{i} .$

Solution

(a)

$H_{i}$ est une partie de $ℒ (E)$ contenant l’endomorphisme nul.

Soient $λ, μ \in 𝕂$ et $f, g \in H_{i}$ . Pour tout $x \in G_{i}$ ,

$(λ f + μ g) (x) = λ \underset{\begin{matrix} = 0_{E} \end{matrix}}{\underset{⏟}{f (x)}} + μ \underset{\begin{matrix} = 0_{E} \end{matrix}}{\underset{⏟}{g (x)}} = 0_{E}$

et donc $G_{i} \subset Ker (λ f + μ g)$ . Ainsi, $λ f + μ g \in H_{i}$ .
(b)

Supposons $h_{1} + \dots + h_{n} = 0$ avec $h_{i} \in H_{i}$ . On a

$\forall x \in E, h_{1} (x) + \dots + h_{n} (x) = 0_{E} .$

Soit $j \in {1, \dots, n}$ . Pour $x = e_{j}$ , on a $h_{i} (x) = 0_{E}$ pour tout $i \neq j$ et la relation précédente se simplifie en $h_{j} (e_{j}) = 0$ . Or on a aussi $G_{j} \subset Ker (h_{j})$ et donc $h_{j} = 0$ car l’application linéaire $h_{j}$ est nulle sur une base. Ainsi, les espaces $H_{1}, \dots, H_{n}$ sont en somme directe.

Soit $f \in ℒ (E)$ .

Pour $i = 1, \dots, n$ , considérons $h_{i} \in ℒ (E)$ donnée par $h_{i} (e_{i}) = f (e_{i})$ et $h_{i} (e_{j}) = 0$ pour $j \neq i$ (l’endomorphisme $h_{i}$ est déterminé par l’image d’une base).

On vérifie $h_{i} \in H_{i}$ et, pour tout $x \in {e_{1}, \dots, e_{n}}$

$\forall j = 1, \dots, n, f (x) = h_{1} (x) + \dots + h_{n} (x) .$

Les applications linéaires $f$ et $h_{1} + \dots + h_{n}$ sont égales sur une base de $E$ donc égales sur $E$ . On a donc

$f = h_{1} + \dots + h_{n} avec h_{i} \in H_{i}$

et l’on peut écrire

$ℒ (E) = \oplus_{i = 1}^{n} H_{i} .$

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Édité le 14-10-2023

Somme directe de plusieurs sous-espaces