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Exercice 1  220  Correction  

Pour d, notons Hd l’ensemble formé des fonctions polynomiales de 2 vers homogènes de degré d c’est-à-dire pouvant s’écrire comme combinaison linéaire de fonctions monômes de degré d.

Montrer que (Hd)0dn est une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.

Solution

Hd est définit comme le sous-espace vectoriel engendré par les monômes de degré d, c’est donc un sous-espace vectoriel. Si k=0nPk=0 avec PkHk alors l’unicité de l’écriture d’un polynôme en somme de monôme permet de conclure Pk=0 pour tout k{0,,n}. La famille (Hd)0dn est donc bien une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.

 
Exercice 2  222  Correction  

Soient E1,,En et F1,,Fn sous-espaces vectoriels de E tel que EiFi et

i=1nEi=i=1nFi.

Montrer que Ei=Fi.

Solution

Soit xFi.
Puisque a xi=1nFi=i=1nEi, on peut écrire x=x1++xn avec xiEi.
On a alors

x1++(xi-x)++xn=0E

avec x1F1,…, xi-xFi,…, xnFn.
Or les espaces F1,,Fn sont en somme directe, donc les vecteurs précédents sont nuls et en particulier

x=xiEi.
 
Exercice 3  190   Correction  

Soient F,G,F,G des sous-espaces vectoriels d’un 𝕂-espace vectoriel E vérifiant

FG=FG=EetFG.

Montrer

FF(GG)=E.

Solution

Supposons x+x+y=0 avec xF, xF et yGG.
Puisque xFG et yGGG, on a x+yG.
Or F et G sont en somme directe donc x+(x+y)=0 avec xF et x+yG entraîne x=0 et x+y=0.
Sachant x+y=0 avec xF, yG et F,G en somme directe, on a x=y=0.

Finalement, x=x=y=0 et l’on peut affirmer que les espaces F,F et GG sont en somme directe.
Soit aE. Puisque E=FG, on peut écrire a=x+b avec xF et bG.
Sachant E=FG, on peut écrire b=x+y avec xF et yG.
Or y=b-x avec bG et xFG donc yG et ainsi yGG.
Finalement, on obtient a=x+x+y avec xF, xF et yGG.
On peut conclure EFF(GG) puis E=FF(GG).

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Édité le 08-11-2019

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