[<] Q-espaces vectoriels [>] Calcul par blocs
Pour , notons l’ensemble formé des fonctions polynomiales de vers homogènes de degré c’est-à-dire pouvant s’écrire comme combinaison linéaire de fonctions monômes de degré .
Montrer que est une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.
Solution
est définit comme le sous-espace vectoriel engendré par les monômes de degré , c’est donc un sous-espace vectoriel. Si avec alors l’unicité de l’écriture d’un polynôme en somme de monôme permet de conclure pour tout . La famille est donc bien une famille de sous-espaces vectoriels en somme directe.
Soient et sous-espaces vectoriels de tel que et
Montrer que .
Solution
Soit .
Puisque a , on peut écrire avec .
On a alors
avec ,…, ,…, .
Or les espaces sont en somme directe, donc les vecteurs précédents sont nuls et en particulier
Soient des sous-espaces vectoriels d’un -espace vectoriel vérifiant
Montrer
Solution
Supposons avec , et .
Puisque et , on a .
Or et sont en somme directe donc avec et entraîne et .
Sachant avec , et en somme directe, on a .
Finalement, et l’on peut affirmer que les espaces et sont en somme directe.
Soit . Puisque , on peut écrire avec et .
Sachant , on peut écrire avec et .
Or avec et donc et ainsi .
Finalement, on obtient avec , et .
On peut conclure puis .
Dans l’espace des fonctions continues de vers , on considère les sous-espaces vectoriels
Établir
Soient et . Pour tout , on note
Montrer que les sont des sous-espaces vectoriels et que
Solution
Les ensembles sont clairement des sous-espaces vectoriels de .
Supposons avec pour .
Soit . Le polynôme possède par définition racines. Aussi, donne ce qui fournit une -ième racine au polynôme . Par suite, car .
Les espaces sont donc en somme directe.
Au surplus, aucun de ces espaces n’est réduit au polynôme nul car
On a donc pour puis
Or est un sous-espace vectoriel de qui est de dimension . On a donc nécessairement
(avec chaque espace de dimension exactement).
Soient des endomorphismes d’un espace vectoriel vérifiant:
Montrer que chaque est une projection vectorielle.
Établir .
Soient des endomorphismes d’un espace vectoriel vérifiant:
Montrer que les endomorphismes sont les projecteurs associés à une décomposition en somme directe de .
Solution
Commençons par vérifier que les endomorphismes sont des projecteurs.
Pour ,
Ainsi, l’endomorphisme est une projecteur.
Posons pour et vérifions
Pour commencer, pour tout , on a
On peut alors affirmer
Montrons maintenant que les espaces sont en somme directe.
Supposons avec chaque pour .
Soit . En appliquant à l’égalité précédente, on obtient
D’une part, car est un projecteur et .
D’autre part, car puisque .
On obtient donc . Les espaces sont bien en somme directe et l’on a donc la décomposition
Enfin, pour tout ,
ce qui détermine la décomposition de dans l’écriture .
Les endomorphismes sont donc les projecteurs associés à cette décomposition en somme directe.
Soient des sous-espaces vectoriels d’un -espace vectoriel vérifiant .
Pour tout , on note .
Montrer que les sont des sous-espaces vectoriels de .
Justifier
Solution
Soit .
L’ensemble est une partie de et celle-ci contient l’endomorphisme nul puisque .
Soient et . Pour tout , et . Or est un sous-espace vectoriel donc
Ainsi, , c’est-à-dire
est bien un sous-espace vectoriel de .
Introduisons les projecteurs associés à la décomposition en somme directe .
Soit .
Analyse: Supposons avec pour .
Pour , on remarque car tandis que car . On en déduit
Cela détermine les endomorphismes .
Synthèse: Posons pour . On remarque donc . Aussi, puisque ,
Finalement,
Cela permet d’écrire
Soit un -espace vectoriel de dimension finie muni d’une base .
Pour , on pose
Vérifier que les sont des sous-espaces vectoriels de .
Établir
Solution
est une partie de contenant l’endomorphisme nul.
Soient et . Pour tout ,
et donc . Ainsi, .
Supposons avec . On a
Soit . Pour , on a pour tout et la relation précédente se simplifie en . Or on a aussi et donc car l’application linéaire est nulle sur une base. Ainsi, les espaces sont en somme directe.
Soit .
Pour , considérons donnée par et pour (l’endomorphisme est déterminé par l’image d’une base).
On vérifie et, pour tout
Les applications linéaires et sont égales sur une base de donc égales sur . On a donc
et l’on peut écrire
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Édité le 14-10-2023
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