Exercice 1 4212

On munit $ℝ$ de sa structure¹¹ 1 Les vecteurs sont les nombres réels et les scalaires exprimant les combinaisons linéaires sont des nombres rationnels. Le produit extérieur est la multiplication usuelle. Cet espace est de dimension infinie (voir le sujet 170). de $ℚ$ -espace vectoriel.

(a)

Soit $d \in ℕ^{*}$ . À quelle condition la famille $(1, \sqrt{d})$ est-elle libre?
(b)

Établir la liberté de la famille $(1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6})$ .

Exercice 2 170

On peut énumérer¹¹ 1 L’ensemble des nombres premiers est dénombrable. l’infinité des nombres premiers en ordre croissant afin de former une suite ${(p_{n})}_{n \geq 1}$ : $p_{1} = 2$ , $p_{2} = 3$ , $p_{3} = 5$ , etc.

(a)

Montrer que la famille ${(\ln (p_{n}))}_{n \geq 1}$ est une famille libre du $ℚ$ -espace vectoriel $ℝ$ .
(b)

Que dire de la dimension du $ℚ$ -espace vectoriel $ℝ$ ?

[>] Somme directe de plusieurs sous-espaces

Édité le 21-09-2023

Q-espaces vectoriels