[<] Applications des sous-espaces stables [>] Éléments propres d'un endomorphisme

 
Exercice 1  4209  

Parmi les matrices suivantes, y a-t-il des matrices semblables?

  • (a)

    (001101111)

  • (b)

    (111011001)

  • (c)

    (100110111)

  • (d)

    (111110011).

 
Exercice 2  5373  Correction  

Soit A2() une matrice non nulle vérifiant A2=O2.

Établir que A est semblable à la matrice

B=(0010).

Solution

La matrice B est une matrice non nulle de 2() vérifiant B2=O2: ce constat est une nécessité pour affirmer que A puisse être semblable à B mais ne démontre pas que cela a lieu!

Soit a l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice A: c’est un endomorphisme de E=2 vérifiant a0 et a2=0 car AO2 et A2=O2.

Analyse: Supposons qu’il existe une base =(e1,e2) dans laquelle la matrice de a soit égale à B. Par les colonnes de la matrice B, on lit

a(e1)=e2eta(e2)=0E. (1)

Le choix du vecteur e1 détermine le vecteur e2=a(e1). Ce dernier ne doit pas être nul et e1 est à choisir en dehors de Ker(a). En revanche, le vecteur e2 doit appartenir au noyau de a mais cela est assuré car a(e2)=a2(e1)=0E.

Justifions maintenant qu’il est possible de construire une telle base.

Synthèse: Soit e1 un vecteur de E n’appartenant pas à Ker(a). Un tel vecteur existe car l’endomorphisme a est non nul. Posons e2=a(e1) ce qui définit un vecteur non nul appartenant au noyau de a car a2=0. Par construction, les égalités (1) sont vérifiées. Il reste à justifier que la famille =(e1,e2) est une base de E. Il s’agit d’une famille de longueur 2 dans un espace de dimension 2, il suffit de vérifier sa liberté.

Soit (λ1,λ2)2 tel que

λ1.e1+λ2.e2=0E. ()

En appliquant a aux deux membres de l’égalité (LABEL:Eq:5373-2) on obtient λ1.e2=0E et donc λ1=0 car e2 n’est pas le vecteur nul. La relation (LABEL:Eq:5373-2) se simplifie alors en λ2.e2=0E et donc λ2=0. La famille est donc libre.

Finalement, la famille =(e1,e2) est une base de E dans laquelle l’endomorphisme a est figuré par B: les matrices A et B sont semblables.

 
Exercice 3  4210  

Soit A3() une matrice non nulle vérifiant A2=O3.

Établir que A est semblable à la matrice

B=(000100000).
 
Exercice 4  1322     CENTRALE (MP)Correction  

Soit A3() une matrice non nulle vérifiant A2=O3. Déterminer la dimension de l’espace

𝒞={M3()|AM-MA=O3}.

Solution

On vérifie aisément que 𝒞 est un sous-espace vectoriel de 3() car c’est le noyau de l’endomorphisme MAM-MA.
Puisque A2=O3, on a Im(A)Ker(A).
Puisque AO3, la formule du rang et l’inclusion précédente montre

rg(A)=1etdimKer(A)=2.

Soient X1Im(A) non nul, X2 tel que (X1,X2) soit base de Ker(A) et X3 un antécédent de X1. En considérant la matrice de passage P formée des colonnes X1,X2,X3, on a

P-1AP=(001000000)=B.

En raisonnant par coefficients inconnus, on obtient que les matrices N vérifiant BN=NB sont de la forme

N=(abc0bc00a).

Par suite, les matrices M vérifiant AM=MB sont celle de la forme

M=P(abc0bc00a)P-1.

L’espace 𝒞 est donc de dimension 5 et l’on en forme une base à l’aide des matrices

M1=P(100000001)P-1,M2=P(000010000)P-1,M3=P(010000000)P-1.
M4=P(000001000)P-1 et M5=P(001000000)P-1.
 
Exercice 5  4222   

Soit An(𝕂) vérifiant

An-1OnetAn=On.

Établir que A est semblable à la matrice

B=(0(0)1(0)10).
 
Exercice 6  724   Correction  

Soit An(𝕂) une matrice telle que A2=0 et de rang r>0.
Montrer que A est semblable à

B=(0Ir00).

Solution

Soient E un 𝕂-espace vectoriel de dimension n muni d’une base et f(E) de matrice A dans .
On observe r=rg(f), f0 et f2=0 de sorte que Im(f)Ker(f). Soit (e1,,er) une base de Im(f) complétée en (e1,,en-r) base de Ker(f). Pour tout i{1,,r}, il existe en-r+i vecteur de E tel que f(en-r+i)=ei. Montrons que (e1,,en) est libre. Supposons

λ1e1++λrer+λr+1er+1++λn-ren-r+λn-r+1en-r+1++λnen=0.

En appliquant f à la relation (1), on obtient

λn-r+1e1++λner=0

et donc λn-r+1==λn=0 car la famille (e1,,er) libre.
La relation (1) devient

λ1e1++λrer+λr+1er+1++λn-ren-r=0

et donc λ1==λn-r=0 car la famille (e1,,en-r) libre.
La famille (e1,,en) est libre et formée de n=dimE vecteurs de E, c’est donc une base de E. La matrice de f dans celle-ci est égale à B et l’on peut conclure que les matrices A et B sont semblables.

 
Exercice 7  723  

Soit An() une matrice non nulle et non inversible telle que les espaces Im(A) et Ker(A) sont supplémentaires. Montrer que la matrice A est semblable à une matrice de la forme

(A000) avec AGLr()

(où les 0 désignent des blocs nuls de tailles appropriées).

 
Exercice 8  725   

Soit A3() une matrice non nulle vérifiant A3+A=O3. Montrer que A est semblable à la matrice

B=(0-10100000).
 
Exercice 9  726   Correction  

Soit M4() telle que M2+I4=O4.

Montrer que M est semblable à la matrice

(0-1001000000-10010).

Solution

Soit f(4) l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice M.

Analyse: Cherchons une base (e1,e2,e3,e4) telle que: f(e1)=e2,f(e2)=-e1,f(e3)=e4 et f(e4)=-e3.
La connaissance de e1 et e3 suffit pour former e2 et e4 avec les quatre relations voulues.

Synthèse: Prenons e10, e2=f(e1), e3Vect(e1,e2) et e4=f(e3).
Supposons λ1e1+λ2e2+λ3e3+λ4e4=0 c’est-à-dire

λ1e1+λ2f(e1)+λ3e3+λ4f(e3)=0

En appliquant l’endomorphisme f:

λ1f(e1)-λ2e1+λ3f(e3)-λ4e3=0

λ3(1)-λ4(2) donne

(λ3λ1+λ2λ4)e1+(λ3λ2-λ4λ1)f(e1)+(λ32+λ42)e3=0.

Puisque e3Vect(e1,e2), on a λ32+λ42=0 d’où λ3=λ4=0.

(1) et (2) donne alors λ1e1+λ2f(e1)=0 et λ1f(e1)-λ2e1=0.

Comme ci-dessus on parvient à λ12+λ22=0 d’où λ1=λ2=0.

Finalement, (e1,e2,e3,e4) est une base convenable. On peut conclure que M est semblable à la matrice proposée.

 
Exercice 10  3778    ENSTIM (MP)Correction  

Les matrices suivantes sont-elles semblables?

A=(36-5-2-1-65-2-1-108-30-320)etB=(12621022500320005).

Solution

tr(A)tr(B) dont A et B ne sont pas semblables.

 
Exercice 11  4349  

Deux matrices de n(𝕂) ayant le même polynôme caractéristique et le même rang sont-elles nécessairement semblables?

 
Exercice 12  2382    CENTRALE (MP)Correction  

Quelles sont les matrices carrées réelles d’ordre n qui commutent avec diag(1,2,,n) et lui sont semblables?

Solution

Posons D=diag(1,2,,n). L’étude, coefficient par coefficient, de la relation MD=DM donne que les matrices commutant avec D sont les matrices diagonales. Parmi les matrices diagonales, celles qui sont semblables à D sont celles qui ont les mêmes coefficients diagonaux

 
Exercice 13  3136   Correction  

Soit An(𝕂) une matrice de rang 1.

  • (a)

    Montrer que A est semblable à une matrice dont les n-1 premières colonnes sont nulles.

  • (b)

    En déduire

    A2=tr(A).Aetdet(In+A)=1+tr(A).

Solution

  • (a)

    Soit f l’endomorphisme de 𝕂n canoniquement associé à A. On a

    rg(f)=rg(A)=1

    et donc par la formule du rang

    dimKer(f)=n-1.

    Si est une base adaptée à Ker(f), la matrice de f dans cette base a ses n-1 premières colonnes nulles.

  • (b)

    On peut écrire A=PBP-1 avec P matrice inversible et B une matrice de la forme

    (00**00λ).

    On a alors

    λ=tr(B)=tr(A).

    Puisque B2=λB, on a

    P-1A2P=tr(A).P-1AP

    puis

    A2=tr(A).A.

    Puisque det(In+B)=1+λ, on a

    det(P-1)det(In+A)det(P)=1+tr(A)

    puis

    det(In+A)=1+tr(A).
 
Exercice 14  5125   

Dans ce sujet, on considère des matrices de n(𝕂) avec n2.

  • (a)

    Montrer que deux matrices de rang 1 sont semblables si, et seulement si, elles ont la même trace.

  • (b)

    À quelle condition deux matrices élémentaires sont-elles semblables?

 
Exercice 15  2691      MINES (MP)

Soient A et B dans n() telles qu’il existe PGLn() vérifiant A=PBP-1.

Montrer11 1 Les matrices réelles A et B sont semblables sur , il s’agit ici de montrer qu’elles sont aussi semblables sur . qu’il existe QGLn() telle que A=QBQ-1.

 
Exercice 16  4953   

Soit A2(). Les matrices A et At sont-elles semblables?

 
Exercice 17  4966      X (PC)

Soit A une matrice de 3().

Montrer que A est semblable à -A si, et seulement si, tr(A)=det(A)=0.

 
Exercice 18  4999    

Soient Dn() une matrice diagonale à coefficients diagonaux deux à deux distincts et φ l’endomorphisme de n() défini par φ(X)=DX-XD.

  • (a)

    Déterminer le noyau et l’image de l’endomorphisme φ.

  • (b)

    Soit Mn() de trace nulle. Montrer que M est semblable à une matrice de diagonale nulle.

  • (c)

    En déduire que toute matrice Mn() de trace nulle peut s’écrire

    M=AB-BA avec A,Bn().

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Édité le 08-11-2019

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