Exercice 1 4209

Parmi les quatre matrices suivantes, quelles sont les matrices semblables¹¹ 1 Deux matrices carrées de même taille $A$ et $B$ sont semblables lorsqu’il existe une matrice $P$ inversible vérifiant $A = P B P^{- 1}$ . Par la formule de changement de bases, cela revient à signifier qu’elles figurent le même endomorphisme. entre elles?

A = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) B = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) C = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}) D = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix}) .

Exercice 2 5373 Correction

Soit $A \in ℳ_{2} (ℝ)$ une matrice non nulle vérifiant $A^{2} = O_{2}$ .

Établir que $A$ est semblable à la matrice

B = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

Solution

La matrice $B$ est une matrice non nulle de $ℳ_{2} (ℝ)$ vérifiant $B^{2} = O_{2}$ : ce constat est une nécessité pour affirmer que $A$ puisse être semblable à $B$ mais ne démontre pas que cela a lieu!

Soit $a$ l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice $A$ : c’est un endomorphisme de $E = ℝ^{2}$ vérifiant $a \neq 0$ et $a^{2} = 0$ car $A \neq O_{2}$ et $A^{2} = O_{2}$ .

Analyse: Supposons qu’il existe une base $e = (e_{1}, e_{2})$ dans laquelle la matrice de $a$ soit égale à $B$ . Par les colonnes de la matrice $B$ , on lit

a (e_{1}) = e_{2} et a (e_{2}) = 0_{E} .

(1)

Le choix du vecteur $e_{1}$ détermine le vecteur $e_{2} = a (e_{1})$ . Ce dernier ne doit pas être nul et $e_{1}$ est à choisir en dehors de $Ker (a)$ . En revanche, le vecteur $e_{2}$ doit appartenir au noyau de $a$ mais cela est assuré car $a (e_{2}) = a^{2} (e_{1}) = 0_{E}$ .

Justifions maintenant qu’il est possible de construire une telle base.

Synthèse: Soit $e_{1}$ un vecteur de $E$ n’appartenant pas à $Ker (a)$ . Un tel vecteur existe car l’endomorphisme $a$ est non nul. Posons $e_{2} = a (e_{1})$ ce qui définit un vecteur non nul appartenant au noyau de $a$ car $a^{2} = 0$ . Par construction, les égalités $(1)$ sont vérifiées. Il reste à justifier que la famille $e = (e_{1}, e_{2})$ est une base de $E$ . Il s’agit d’une famille de longueur $2$ dans un espace de dimension $2$ , il suffit de vérifier sa liberté.

Soit $(λ_{1}, λ_{2}) \in ℝ^{2}$ . Supposons

λ_{1} . e_{1} + λ_{2} . e_{2} = 0_{E} .

(

△

)

En appliquant $a$ aux deux membres de l’égalité ( $△$ ) on obtient $λ_{1} . e_{2} = 0_{E}$ et donc $λ_{1} = 0$ car $e_{2}$ n’est pas le vecteur nul. La relation ( $△$ ) se simplifie alors en $λ_{2} . e_{2} = 0_{E}$ et donc $λ_{2} = 0$ . La famille $e$ est donc libre.

Finalement, la famille $e = (e_{1}, e_{2})$ est une base de $E$ dans laquelle l’endomorphisme $a$ est figuré par $B$ : les matrices $A$ et $B$ sont semblables.

Exercice 3 5884 Correction

Soit $A \in ℳ_{3} (ℝ)$ une matrice n vérifiant $A^{3} = O_{3}$ et $A^{2} \neq O_{3}$ .

Établir que $A$ est semblable à la matrice

B = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) .

Solution

La matrice $B$ est une matrice de $ℳ_{3} (ℝ)$ vérifiant $B^{3} = O_{3}$ et $B^{2} \neq O_{3}$ : ce constat est une nécessité pour affirmer que $A$ puisse être semblable à $B$ mais ne démontre pas que cela a lieu!

Soit $a$ l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice $A$ : c’est un endomorphisme de $E = ℝ^{3}$ vérifiant $a^{2} \neq 0$ et $a^{3} = 0$ car $A^{2} \neq O_{3}$ et $A^{3} = O_{3}$ .

Analyse: Supposons qu’il existe une base $e = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ dans laquelle la matrice de $a$ soit égale à $B$ . Par les colonnes de la matrice $B$ , on lit

a (e_{1}) = e_{2}, a (e_{2}) = e_{3} et a (e_{3}) = 0_{E} .

(1)

Le choix du vecteur $e_{1}$ détermine le vecteur $e_{2} = a (e_{1})$ qui détermine à son tout $e_{3} = a (e_{1})$ . Ce dernier ne doit pas être nul et $e_{1}$ est à choisir en dehors de $Ker (a^{2})$ . Aussi, le vecteur $e_{3}$ doit appartenir au noyau de $a$ mais cela est assuré car $a (e_{3}) = a^{3} (e_{1}) = 0_{E}$ .

Justifions maintenant qu’il est possible de construire une telle base.

Synthèse: Soit $e_{1}$ un vecteur de $E$ n’appartenant pas à $Ker (a^{2})$ . Un tel vecteur existe car l’endomorphisme $a^{2}$ est non nul. Posons $e_{2} = a (e_{1})$ et $e_{3} = a^{2} (e_{1})$ . Le vecteur $e_{3}$ est non nul et appartient au noyau de $a$ car $a^{3} = 0$ . Par construction, les égalités $(1)$ sont vérifiées. Il reste à justifier que la famille $e = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est une base de $E$ . Il s’agit d’une famille de longueur $3$ dans un espace de dimension $3$ , il suffit de vérifier sa liberté.

Soit $(λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}) \in ℝ^{3}$ . Supposons

λ_{1} . e_{1} + λ_{2} . e_{2} λ_{3} . e_{3} = 0_{E} .

En appliquant $a$ aux deux membres de cette égalité, on obtient

λ_{1} . e_{2} + λ_{2} . e_{3} = 0_{E} .

En appliquant à nouveau $a$ , il vient

λ_{1} . e_{3} = 0_{E} .

On a donc $λ_{1} = 0$ car $e_{3}$ n’est pas le vecteur nul. En revenant sur les équations précédentes, on obtient ensuite $λ_{2} = 0$ puis $λ_{3} = 0$ . La famille $e$ est donc libre.

Finalement, la famille $e = (e_{1}, e_{2}, e_{3})$ est une base de $E$ dans laquelle l’endomorphisme $a$ est figuré par $B$ : les matrices $A$ et $B$ sont semblables.

Exercice 4 4210

Soit $A \in ℳ_{3} (ℝ)$ une matrice non nulle vérifiant $A^{2} = O_{3}$ . Établir que $A$ est semblable à la matrice

B = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Exercice 5 1322 CENTRALE (MP)Correction

Soit $A \in ℳ_{3} (ℝ)$ une matrice non nulle vérifiant $A^{2} = O_{3}$ . Déterminer la dimension de l’espace

𝒞 = {M \in ℳ_{3} (ℝ) | A M - M A = O_{3}} .

Solution

On vérifie aisément que $𝒞$ est un sous-espace vectoriel de $ℳ_{3} (ℝ)$ car c’est le noyau de l’endomorphisme $M \mapsto A M - M A$ .
Puisque $A^{2} = O_{3}$ , on a $Im (A) \subset Ker (A)$ .
Puisque $A \neq O_{3}$ , la formule du rang et l’inclusion précédente montre

rg (A) = 1 et dim Ker (A) = 2 .

Soient $X_{1} \in Im (A)$ non nul, $X_{2}$ tel que $(X_{1}, X_{2})$ soit base de $Ker (A)$ et $X_{3}$ un antécédent de $X_{1}$ . En considérant la matrice de passage $P$ formée des colonnes $X_{1}, X_{2}, X_{3}$ , on a

P^{- 1} A P = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) = B .

En raisonnant par coefficients inconnus, on obtient que les matrices $N$ vérifiant $B N = N B$ sont de la forme

N = (\begin{matrix} a & b & c \\ 0 & b^{'} & c^{'} \\ 0 & 0 & a \end{matrix}) .

Par suite, les matrices $M$ vérifiant $A M = M B$ sont celle de la forme

M = P (\begin{matrix} a & b & c \\ 0 & b^{'} & c^{'} \\ 0 & 0 & a \end{matrix}) P^{- 1} .

L’espace $𝒞$ est donc de dimension 5 et l’on en forme une base à l’aide des matrices

M_{1} = P (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) P^{- 1}, M_{2} = P (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) P^{- 1}, M_{3} = P (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) P^{- 1} .

M_{4} = P (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) P^{- 1} et M_{5} = P (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) P^{- 1} .

Exercice 6 4222

Soit $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ vérifiant

A^{n - 1} \neq O_{n} et A^{n} = O_{n} .

Établir que $A$ est semblable à la matrice

B = (\begin{matrix} 0 & (0) \\ 1 & ⋱ \\ ⋱ & ⋱ \\ (0) & 1 & 0 \end{matrix}) .

Exercice 7 724 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ une matrice telle que $A^{2} = 0$ et de rang $r > 0$ .

Montrer que $A$ est semblable à

B = (\begin{matrix} 0 & I_{r} \\ 0 & 0 \end{matrix}) .

Solution

Soient $E$ un $𝕂$ -espace vectoriel de dimension $n$ muni d’une base $ℬ$ et $f \in ℒ (E)$ de matrice $A$ dans $ℬ$ .

On observe $r = rg (f)$ , $f \neq 0$ et $f^{2} = 0$ de sorte que $Im (f) \subset Ker (f)$ . On a

dim Im (f) = r et dim Ker (f) = n - r .

Soit $(e_{1}, \dots, e_{r})$ une base de $Im (f)$ . On complète celle-ci en une famille $(e_{1}, \dots, e_{n - r})$ base de $Ker (f)$ . Aussi, chaque vecteur $e_{i}$ pour $i = 1, \dots, r$ possède un antécédent par $f$ . On introduit $e_{1}^{'}, \dots, e_{r}^{'}$ des vecteurs tels que

e_{i} = f (e_{i}^{'}) pour i = 1, \dots, r .

Considérons alors la famille $(e_{1}, \dots, e_{n - r}, e_{1}^{'}, \dots, e_{r}^{'})$ . Celle-ci est formée de $n$ vecteurs de $E$ . Montrons que c’est une famille libre.

Soit $(λ_{1}, \dots, λ_{n - r}, μ_{1}, \dots, μ_{r}) \in 𝕂^{n}$ . Supposons

λ_{1} . e_{1} + \dots + λ_{r} . e_{r} + λ_{r + 1} . e_{r + 1} + \dots + λ_{n - r} . e_{n - r} + μ_{1} . e_{1}^{'} + \dots + μ_{r} . e_{r}^{'} = 0_{E} .

(1)

En appliquant $f$ à la relation (1), on obtient

μ_{1} . e_{1} + \dots + μ_{r} . e_{r} = 0_{E} .

On en déduit $μ_{1} = \dots = μ_{r} = 0$ car la famille $(e_{1}, \dots, e_{r})$ est libre.

La relation (1) se simplifie alors en

λ_{1} . e_{1} + \dots + λ_{r} . e_{r} + λ_{r + 1} . e_{r + 1} + \dots + λ_{n - r} . e_{n - r} = 0_{E}

et donc $λ_{1} = \dots = λ_{n - r} = 0$ car la famille $(e_{1}, \dots, e_{n - r})$ est libre puisque c’est une base de $Ker (f)$ .

La famille $(e_{1}, \dots, e_{n})$ est libre et formée de $n = dim E$ vecteurs de $E$ , c’est donc une base de $E$ . La matrice de $f$ dans celle-ci est égale à $B$ et l’on peut conclure que les matrices $A$ et $B$ sont semblables.

Exercice 8 723

Soit $A \in ℳ_{n} (ℝ)$ une matrice non nulle telle que les espaces $Im (A)$ et $Ker (A)$ sont supplémentaires. Montrer que la matrice $A$ est semblable à une matrice de la forme

(\begin{matrix} A^{'} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) avec A^{'} \in {GL}_{r} (ℝ)

(où les $0$ désignent des blocs nuls de tailles appropriées).

Exercice 9 725

Soit $A \in ℳ_{3} (ℝ)$ une matrice non nulle vérifiant $A^{3} + A = O_{3}$ . Montrer que $A$ est semblable à la matrice

B = (\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .

Exercice 10 726 Correction

Soit $M \in ℳ_{4} (ℝ)$ telle que $M^{2} + I_{4} = O_{4}$ .

Montrer que $M$ est semblable à la matrice

(\begin{matrix} 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{matrix}) .

Solution

Soit $f \in ℒ (ℝ^{4})$ l’endomorphisme canoniquement associé à la matrice $M$ .

Analyse: Cherchons une base $(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4})$ telle que: $f (e_{1}) = e_{2}, f (e_{2}) = - e_{1}, f (e_{3}) = e_{4}$ et $f (e_{4}) = - e_{3}$ .
La connaissance de $e_{1}$ et $e_{3}$ suffit pour former $e_{2}$ et $e_{4}$ avec les quatre relations voulues.

Synthèse: Prenons $e_{1} \neq 0$ , $e_{2} = f (e_{1})$ , $e_{3} \notin Vect (e_{1}, e_{2})$ et $e_{4} = f (e_{3})$ .
Supposons $λ_{1} e_{1} + λ_{2} e_{2} + λ_{3} e_{3} + λ_{4} e_{4} = 0$ c’est-à-dire

λ_{1} e_{1} + λ_{2} f (e_{1}) + λ_{3} e_{3} + λ_{4} f (e_{3}) = 0 .

En appliquant l’endomorphisme $f$ :

λ_{1} f (e_{1}) - λ_{2} e_{1} + λ_{3} f (e_{3}) - λ_{4} e_{3} = 0

$λ_{3} (1) - λ_{4} (2)$ donne

(λ_{3} λ_{1} + λ_{2} λ_{4}) e_{1} + (λ_{3} λ_{2} - λ_{4} λ_{1}) f (e_{1}) + (λ_{3}^{2} + λ_{4}^{2}) e_{3} = 0 .

Puisque $e_{3} \notin Vect (e_{1}, e_{2})$ , on a $λ_{3}^{2} + λ_{4}^{2} = 0$ d’où $λ_{3} = λ_{4} = 0$ .

$(1)$ et $(2)$ donne alors $λ_{1} e_{1} + λ_{2} f (e_{1}) = 0$ et $λ_{1} f (e_{1}) - λ_{2} e_{1} = 0$ .

Comme ci-dessus on parvient à $λ_{1}^{2} + λ_{2}^{2} = 0$ d’où $λ_{1} = λ_{2} = 0$ .

Finalement, $(e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4})$ est une base convenable. On peut conclure que $M$ est semblable à la matrice proposée.

Exercice 11 3778 ENSTIM (MP)Correction

Les matrices suivantes sont-elles semblables?

A = (\begin{matrix} 3 & 6 & - 5 & - 2 \\ - 1 & - 6 & 5 & - 2 \\ - 1 & - 10 & 8 & - 3 \\ 0 & - 3 & 2 & 0 \end{matrix}) et B = (\begin{matrix} 1 & 2 & 6 & 21 \\ 0 & 2 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{matrix}) .

Solution

$tr (A) \neq tr (B)$ dont $A$ et $B$ ne sont pas semblables.

Exercice 12 4349

Deux matrices de $ℳ_{n} (𝕂)$ ayant même polynôme caractéristique et même rang sont-elles nécessairement semblables?

Exercice 13 2382 CENTRALE (MP)Correction

Quelles sont les matrices carrées réelles d’ordre $n$ qui commutent avec $diag (1,2, \dots, n)$ et lui sont semblables?

Solution

Posons $D = diag (1,2, \dots, n)$ . L’étude, coefficient par coefficient, de la relation $M D = D M$ donne que les matrices commutant avec $D$ sont les matrices diagonales. Parmi les matrices diagonales, celles qui sont semblables à $D$ sont celles qui ont les mêmes coefficients diagonaux

Exercice 14 3136 Correction

Soit $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ une matrice de rang $1$ .

(a)

Montrer que $A$ est semblable à une matrice dont les $n - 1$ premières colonnes sont nulles.
(b)

En déduire

$A^{2} = tr (A) . A et \det (I_{n} + A) = 1 + tr (A) .$

Solution

(a)

Soit $f$ l’endomorphisme de $𝕂^{n}$ canoniquement associé à $A$ . On a

$rg (f) = rg (A) = 1$

et donc par la formule du rang

$dim Ker (f) = n - 1 .$

Si $ℬ$ est une base adaptée à $Ker (f)$ , la matrice de $f$ dans cette base a ses $n - 1$ premières colonnes nulles.
(b)

On peut écrire $A = P B P^{- 1}$ avec $P$ matrice inversible et $B$ une matrice de la forme

$(\begin{matrix} 0 & \dots & 0 & * \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ ⋮ & ⋮ & * \\ 0 & \dots & 0 & λ \end{matrix}) .$

On a alors

$λ = tr (B) = tr (A) .$

Puisque $B^{2} = λ B$ , on a

$P^{- 1} A^{2} P = tr (A) . P^{- 1} A P$

puis

$A^{2} = tr (A) . A .$

Puisque $\det (I_{n} + B) = 1 + λ$ , on a

$\det (P^{- 1}) \det (I_{n} + A) \det (P) = 1 + tr (A)$

puis

$\det (I_{n} + A) = 1 + tr (A) .$

Exercice 15 5125

Dans ce sujet, on considère des matrices de $ℳ_{n} (𝕂)$ avec $n \geq 2$ .

(a)

Montrer que deux matrices de rang $1$ sont semblables si, et seulement si, elles ont la même trace.
(b)

À quelle condition deux matrices élémentaires sont-elles semblables?

Exercice 16 2691 MINES (MP)

Soient $A$ et $B$ dans $ℳ_{n} (ℝ)$ telles qu’il existe $P \in {GL}_{n} (ℂ)$ vérifiant $A = P B P^{- 1}$ .

Montrer¹¹ 1 Les matrices réelles $A$ et $B$ sont semblables sur $ℂ$ , il s’agit ici de montrer qu’elles sont aussi semblables sur $ℝ$ . qu’il existe $Q \in {GL}_{n} (ℝ)$ telle que $A = Q B Q^{- 1}$ .

Exercice 17 4953

Soit $A \in ℳ_{2} (ℂ)$ . Les matrices $A$ et $A^{⊤}$ sont-elles semblables?

Exercice 18 5679 Correction

Soit $A$ une matrice de $ℳ_{3} (ℂ)$ .

(a)

On suppose que $A$ est semblable à $- A$ . Établir $tr (A) = \det (A) = 0$ .

Inversement, on suppose $tr (A) = \det (A) = 0$ .

(b)

On suppose que $A$ possède au moins une valeur propre non nulle. Montrer que $A$ est diagonalisable puis que $A$ est semblable à $- A$ .
(c)

On suppose que $A$ ne possède pas de valeurs propres non nulles. Montrer que $A$ est nilpotente puis que $A$ est semblable à $- A$ .

Solution

(a)

Puisque $A$ est semblable à $- A$ , ces deux matrices ont la même trace et le même déterminant. On en déduit

$tr (A) = tr (- A) = - tr (A) donc tr (A) = 0$

et

$\det (A) = \det (- A) = {(- 1)}^{3} \det (A) donc \det (A) = 0 .$
(b)

Commençons par souligner que $A$ possède trois valeurs propres comptées avec multiplicité et que $0$ est valeur propre car la matrice $A$ n’est pas inversible.

La trace de $A$ étant nulle, la somme des valeurs propres est nulle. Puisque l’on suppose qu’il existe une valeur propre non nulle $λ$ , la matrice $A$ possède trois valeurs propres distinctes $λ$ , $- λ$ et $0$ . On en déduit que $A$ est diagonalisable semblable à

$D = (\begin{matrix} λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

Or, par échange des deux premiers vecteurs de base, c’est-à-dire par l’intermédiaire de la matrice de passage

$P = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$

la matrice $D$ est semblable à $- D$ et $A$ est donc semblable à $- A$ .
(c)

La matrice $A$ est nilpotente car $0$ est sa seule valeur propre. On a donc $A^{3} = O_{3}$ .

Sachant $A^{3} = O_{3}$ , on va montrer que $A$ est semblable à l’une des matrices

$O_{3}, (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) ou (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

Notons $a$ l’endomorphisme de $ℂ^{3}$ canoniquement associé à la matrice $A$ .

Si $A^{2} \neq O_{3}$ , on peut introduire un vecteur $x$ de $ℂ^{3}$ qui n’annule pas $a^{2}$ . On vérifie¹¹ 1 On peut trouver une étude analogue dans le sujet 4222. alors que $(a^{2} (x), a (x), x)$ est une base de $ℂ^{3}$ dans laquelle la matrice de $a$ est

$T_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

La matrice $A$ est donc semblable à $T_{1}$ . Aussi, $- A$ vérifie ${(- A)}^{3} = O_{3}$ et ${(- A)}^{2} \neq O_{3}$ donc $- A$ est semblable²² 2 On peut aussi remarquer que $T_{1}$ est semblable à $- T_{1}$ via renversement des vecteurs de base et passage à l’opposé du vecteur du milieu, c’est-à-dire via la matrice de passage $P_{1} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ . à $T_{1}$ donc à $A$ .

Si $A^{2} = O_{3}$ et $A \neq O_{3}$ , l’image de $a$ est incluse dans le noyau de $a$ et le rang de $a$ est alors nécessairement égal à $1$ . On introduit un vecteur $x$ de $ℂ^{3}$ qui n’annule pas $a$ . Le vecteur $a (x)$ est un vecteur non nul de $Ker (a)$ que l’on complète en une base du plan $Ker (a)$ à l’aide d’un vecteur $y$ . On vérifie alors que $(a (x), y, x)$ est une base de $ℂ^{3}$ dans laquelle la matrice de $a$ est

$T_{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) .$

La matrice $A$ est donc semblable à $T_{2}$ . Aussi, $- A$ vérifie ${(- A)}^{2} = O_{3}$ et $- A \neq O_{3}$ donc $- A$ est semblable³³ 3 On peut aussi remarquer que $T_{2}$ est semblable à son opposé via échange des premier et dernier vecteurs de base et passage à l’opposé de l’un deux, c’est-à-dire via la matrice $P_{2} = (\begin{matrix} 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix})$ . à $T_{2}$ donc à $A$ .

Enfin, si $A = O_{3}$ , la conclusion est immédiate.

Exercice 19 4999

Soient $D \in ℳ_{n} (ℝ)$ une matrice diagonale à coefficients diagonaux deux à deux distincts et $φ$ l’endomorphisme de $ℳ_{n} (ℝ)$ défini par $φ (X) = D X - X D$ .

(a)

Déterminer le noyau et l’image de l’endomorphisme $φ$ .
(b)

Soit $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ de trace nulle. Montrer que $M$ est semblable à une matrice de diagonale nulle.
(c)

En déduire que toute matrice $M \in ℳ_{n} (ℝ)$ de trace nulle peut s’écrire

$M = A B - B A avec A, B \in ℳ_{n} (ℝ) .$

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Édité le 14-10-2023

Matrices semblables