Posons $r=\mathrm{rg}(A)$ et $s=\mathrm{rg}(B)$. Les matrices $A$ et $B$ sont respectivement équivalentes aux matrices

Il existe donc $P,Q\in {\mathrm{GL}}_n(𝕂)$ et $R,S\in {\mathrm{GL}}_p(𝕂)$ telles que

En opérant par blocs, on a alors

avec les facteurs

inversibles.
On en déduit

En multipliant par la matrice inversible

on obtient

En posant $r=\mathrm{rg}(C)$, on peut écrire $PCQ=J_r$ avec

En multipliant à gauche et à droite par les matrices inversibles

on obtient

Introduisons la matrice inversible

On a $\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(M{M}^{\prime })$ avec

Par opérations élémentaires sur les colonnes, la matrice $M{M}^{\prime }$ a le rang de la matrice

Enfin, les opérations élémentaires déterminant le rang de $C$ se transposent à la matrice en cours afin d’en donner le rang. Au final

L’implication $(⟸)$ est immédiate car $\mathrm{rg}(B)=p$.
Inversement, supposons $\mathrm{rg}(M)=p$.
Puisque $B$ est inversible, les $p$ dernières lignes de $M$ sont indépendantes et donc les autres lignes de $M$ sont combinaisons linéaires de celles-ci puisque $\mathrm{rg}(M)=p$. Puisque les $n$ premières lignes de $M$ sont combinaisons linéaires des $p$ dernières lignes de $M$, on a

• (a)

  Méthode: Par opérations élémentaires sur les rangées, on peut opérer sur les blocs tout en conservant le rang de la matrice étudiée.

  En retranchant¹¹ 1 Ceci revient à effectuer les opérations élémentaires $L_{n+i}\leftarrow L_{n+i}+L_i$ pour $i=1,\mathrm{\dots },n$. la première ligne de blocs à la deuxième ligne de blocs, on obtient

  $$\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill A\hfill \\ \hfill A\hfill & \hfill B\hfill \end{array}\right)=\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill A\hfill \\ \hfill {\mathrm{O}}_n\hfill & \hfill B-A\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  En opérant sur les colonnes de blocs, on poursuit

  $$\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill {\mathrm{O}}_n\hfill \\ \hfill {\mathrm{O}}_n\hfill & \hfill B-A\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  On en déduit l’égalité

  $$\mathrm{rg}(M)=\mathrm{rg}(A)+\mathrm{rg}(B-A)\text{.}$$

  En effet, les opérations élémentaires qui transforment $A$ et $B-A$ en matrices échelonnées peuvent être adaptées à la matrice en cours. Le nombre total de pivots obtenus est la somme du nombre de pivots pour $A$ et $B-A$.

• (b)

  La matrice $M$ est inversible si, et seulement si, $A$ et $B-A$ le sont. Supposons que ce soit le cas.

  Méthode: On résout l’équation $MX=Y$ en écrivant les colonnes $X$ et $Y$ par blocs.

  Posons

  $$X=\left(\begin{array}{c}\hfill X_1\hfill \\ \hfill X_2\hfill \end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{c}\hfill Y_1\hfill \\ \hfill Y_2\hfill \end{array}\right)\text{ avec }{X}_1,X_2,Y_1,Y_2\in {ℳ}_{n\mathrm{,1}}(𝕂)$$

  et étudions l’équation $MX=Y$ ce qui correspond au système

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill A{X}_1& +A{X}_2\hfill & =Y_1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill A{X}_1& +B{X}_2\hfill & =Y_2\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  En retranchant la première équation à la seconde, on obtient le système équivalent

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill A{X}_1+A{X}_2& =Y_1\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill (B-A)X_2& =Y_2-Y_1\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  Sachant $B-A$ inversible, on exprime $X_2$ en fonction de $Y_1$ et $Y_2$ par la deuxième équation et l’inversibilité de $A$ permet alors d’exprimer $X_1$ par la première équation

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill X_1& =\left(A^{-1}+{(B-A)}^{-1}\right)Y_1\hfill & +{(A-B)}^{-1}{Y}_2\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill X_2& ={(A-B)}^{-1}{Y}_1\hfill & +{(B-A)}^{-1}{Y}_2\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  Finalement, l’inverse de $M$ est²² 2 Pour «  simplifier  » l’écriture, on a factorisé $A^{-1}+{(B-A)}^{-1}$ en $A^{-1}\left({\mathrm{I}}_n+A{(B-A)}^{-1}\right)$ puis en $A^{-1}\left((B-A)+A\right){(B-A)}^{-1}$ ce qui donne $A^{-1}B{(B-A)}^{-1}$.

  $$M^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\hfill A^{-1}+{(B-A)}^{-1}\hfill & \hfill {(A-B)}^{-1}\hfill \\ \hfill {(A-B)}^{-1}\hfill & \hfill {(B-A)}^{-1}\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

• (a)

  $(⟹)$ Supposons

  $$\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \end{array}\right)=\mathrm{rg}(A)=r\text{.}$$

  Rappelons que le rang d’une matrice est le rang de la famille de ses colonnes.
  Puisque $\mathrm{rg}(A)=r$, la matrice $A$ possède $r$ colonnes indépendantes.
  Puisque $\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \end{array}\right)=r$, les colonnes de $\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \end{array}\right)$ sont toutes combinaisons linéaires des colonnes précédentes.
  En particulier les colonnes de $B$ sont combinaisons linéaires des colonnes de $A$. Ceci permet de former $U\in {ℳ}_n(𝕂)$ vérifiant $B=AU$.
  

  $(⟸)$ Supposons $B=AU$.
  Les colonnes de $B$ sont combinaisons linéaires des colonnes de $A$ et donc par opérations sur les colonnes

  $$\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \end{array}\right)=\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill {\mathrm{O}}_n\hfill \end{array}\right)=\mathrm{rg}(A)\text{.}$$

• (b)

  Il suffit de transposer le raisonnement qui précède en raisonnant sur les lignes et en exploitant que le rang d’une matrice est aussi le rang de la famille des ses lignes.

• (c)

  Supposons

  $$\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \\ \hfill C\hfill & \hfill D\hfill \end{array}\right)=\mathrm{rg}(A)\text{.}$$

  Puisque

  $$\mathrm{rg}(A)\le \mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \end{array}\right)\le \mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \\ \hfill C\hfill & \hfill D\hfill \end{array}\right)=\mathrm{rg}(A)$$

  on a

  $$\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \end{array}\right)\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \\ \hfill C\hfill & \hfill D\hfill \end{array}\right)=\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  En vertu de a) il existe une matrice $U\in {ℳ}_n(𝕂)$ telle que

  $$B=AU\text{.}$$

  En raisonnant comme en b), il existe une matrice $V\in {ℳ}_n(𝕂)$ telle que

  $$\left(\begin{array}{cc}\hfill C\hfill & \hfill D\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill VA\hfill & \hfill VB\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  On en déduit

  $$\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \\ \hfill C\hfill & \hfill D\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill AU\hfill \\ \hfill VA\hfill & \hfill VAU\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  Inversement, supposons

  $$\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \\ \hfill C\hfill & \hfill D\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill AU\hfill \\ \hfill VA\hfill & \hfill VAU\hfill \end{array}\right)\text{.}$$

  Les $n$ dernières lignes étant combinaisons linéaires des $n$ premières, on a

  $$\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \\ \hfill C\hfill & \hfill D\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill AU\hfill \\ \hfill {\mathrm{O}}_n\hfill & \hfill {\mathrm{O}}_n\hfill \end{array}\right)=\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill AU\hfill \end{array}\right)$$

  puis

  $$\mathrm{rg}\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B\hfill \\ \hfill C\hfill & \hfill D\hfill \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill AU\hfill \\ \hfill {\mathrm{O}}_n\hfill & \hfill {\mathrm{O}}_n\hfill \end{array}\right)=\mathrm{rg}(A)\text{.}$$