[<] Image et noyau d'une matrice [>] Matrices de rang 1

 
Exercice 1  1604  Correction  

Soient An(𝕂), Bp(𝕂) et M la matrice

M=(AOn,pOp,nB)n+p(𝕂).

Établir

rg(M)=rg(A)+rg(B).

Solution

Posons r=rg(A) et s=rg(B). Les matrices A et B sont respectivement équivalentes aux matrices

Jr=(IrOr,n-rOn-r,tOn-r) et Js=(IsOs,p-sOp-s,tOp-s).

Il existe donc P,QGLn(𝕂) et R,SGLp(𝕂) telles que

PAQ=Jr et RBS=Js.

En opérant par blocs, on a alors

(POOR)(AOOB)(QOOS)=(JrOOJs)

avec les facteurs

(POOR) et (QOOS)

inversibles.
On en déduit

rg(M)=rg(JrOOJs)=r+s.
 
Exercice 2  1649  Correction  

Soient Bn,p(𝕂) et Cp(𝕂).
Montrer

rg(InBOp,nC)=n+rg(C).

Solution

En multipliant par la matrice inversible

(In-BOp,nIp)

on obtient

rg(InBOp,nC)=rg(InOn,pOp,nC).

En posant r=rg(C), on peut écrire PCQ=Jr avec

P,QGLp(𝕂) et Jr=(IrOr,p-rOp-r,rOp-r).

En multipliant à gauche et à droite par les matrices inversibles

(InOn,pOp,nP) et (InOn,pOp,nQ)

on obtient

rg(InBOp,nC)=rg(InOn,pOp,nJr)=n+r.
 
Exercice 3  3101   Correction  

Soient AGLp(), Bp,q(), Cq() et

M=(ABOq,pC)p+q().

Déterminer le rang de M en fonction de celui de C.

Solution

Introduisons la matrice inversible

M=(A-1Op,qOq,pIq).

On a rg(M)=rg(MM) avec

MM=(IpBOq,pC).

Par opérations élémentaires sur les colonnes, la matrice MM a le rang de la matrice

(IpOp,qOq,pC).

Enfin, les opérations élémentaires déterminant le rang de C se transposent à la matrice en cours afin d’en donner le rang. Au final

rg(M)=p+rg(C).
 
Exercice 4  2335   Correction  

Soient An(𝕂), Bp(𝕂), Cn,p(𝕂) et

M=(ACOp,nB)n+p(𝕂).

On suppose B inversible. Établir

rg(M)=pA=On.

Solution

L’implication () est immédiate car rg(B)=p.
Inversement, supposons rg(M)=p.
Puisque B est inversible, les p dernières lignes de M sont indépendantes et donc les autres lignes de M sont combinaisons linéaires de celles-ci puisque rg(M)=p. Puisque les n premières lignes de M sont combinaisons linéaires des p dernières lignes de M, on a

A=On.
 
Exercice 5  4952     MINES (PC)Correction  

Soient A,Bn(𝕂).

  • (a)

    Exprimer le rang de la matrice M décrite par blocs

    M=(AAAB).
  • (b)

    Calculer l’inverse de M lorsque cela est possible.

Solution

  • (a)

    Méthode: Par opérations élémentaires sur les rangées, on peut opérer sur les blocs tout en conservant le rang de la matrice étudiée.

    En retranchant11 1 Ceci revient à effectuer les opérations élémentaires Ln+iLn+i+Li pour i=1,,n. la première ligne de blocs à la deuxième ligne de blocs, on obtient

    rg(M)=rg(AAAB)=rg(AAOnB-A).

    En opérant sur les colonnes de blocs, on poursuit

    rg(M)=rg(AOnOnB-A).

    On en déduit l’égalité

    rg(M)=rg(A)+rg(B-A).

    En effet, les opérations élémentaires qui transforment A et B-A en matrices échelonnées peuvent être adaptées à la matrice en cours. Le nombre total de pivots obtenus est la somme du nombre de pivots pour A et B-A.

  • (b)

    La matrice M est inversible si, et seulement si, A et B-A le sont. Supposons que ce soit le cas.

    Méthode: On résout l’équation MX=Y en écrivant les colonnes X et Y par blocs.

    Posons

    X=(X1X2),Y=(Y1Y2) avec X1,X2,Y1,Y2n,1(𝕂)

    et étudions l’équation MX=Y ce qui correspond au système

    {AX1+AX2=Y1AX1+BX2=Y2.

    En retranchant la première équation à la seconde, on obtient le système équivalent

    {AX1+AX2=Y1(B-A)X2=Y2-Y1.

    Sachant B-A inversible, on exprime X2 en fonction de Y1 et Y2 par la deuxième équation et l’inversibilité de A permet alors d’exprimer X1 par la première équation

    {X1=(A-1+(B-A)-1)Y1+(A-B)-1Y2X2=(A-B)-1Y1+(B-A)-1Y2.

    Finalement, l’inverse de M est22 2 Pour «  simplifier  » l’écriture, on a factorisé A-1+(B-A)-1 en A-1(In+A(B-A)-1) puis en A-1((B-A)+A)(B-A)-1 ce qui donne A-1B(B-A)-1.

    M-1=(A-1+(B-A)-1(A-B)-1(A-B)-1(B-A)-1).
 
Exercice 6  3134   Correction  

Soient A,B,C,Dn(𝕂).

  • (a)

    On note (AB)n,2n(𝕂) la matrice obtenue en accolant les colonnes de B à droite de celles de A.
    Montrer

    rg(AB)=rg(A)Un(𝕂),B=AU.
  • (b)

    On note (AC)2n,n(𝕂) la matrice obtenue en accolant les lignes de C en dessous de celles de A.
    Montrer

    rg(AC)=rg(A)Vn(𝕂),C=VA.
  • (c)

    En déduire

    rg(ABCD)=rg(A)U,V,n(𝕂),(ABCD)=(AAUVAVAU).

Solution

  • (a)

    () Supposons

    rg(AB)=rg(A)=r.

    Rappelons que le rang d’une matrice est le rang de la famille de ses colonnes.
    Puisque rg(A)=r, la matrice A possède r colonnes indépendantes.
    Puisque rg(AB)=r, les colonnes de (AB) sont toutes combinaisons linéaires des colonnes précédentes.
    En particulier les colonnes de B sont combinaisons linéaires des colonnes de A. Ceci permet de former Un(𝕂) vérifiant B=AU.

    () Supposons B=AU.
    Les colonnes de B sont combinaisons linéaires des colonnes de A et donc par opérations sur les colonnes

    rg(AB)=rg(AOn)=rg(A).
  • (b)

    Il suffit de transposer le raisonnement qui précède en raisonnant sur les lignes et en exploitant que le rang d’une matrice est aussi le rang de la famille des ses lignes.

  • (c)

    Supposons

    rg(ABCD)=rg(A).

    Puisque

    rg(A)rg(AB)rg(ABCD)=rg(A)

    on a

    rg(A)=rg(AB)etrg(ABCD)=rg(AB).

    En vertu de a) il existe une matrice Un(𝕂) telle que

    B=AU.

    En raisonnant comme en b), il existe une matrice Vn(𝕂) telle que

    (CD)=(VAVB).

    On en déduit

    (ABCD)=(AAUVAVAU).

    Inversement, supposons

    (ABCD)=(AAUVAVAU).

    Les n dernières lignes étant combinaisons linéaires des n premières, on a

    rg(ABCD)=(AAUOnOn)=rg(AAU)

    puis

    rg(ABCD)=(AAUOnOn)=rg(A).

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Édité le 08-11-2019

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