[<] Indicatrice d'Euler

 
Exercice 1  4383  

Soit u un endomorphisme d’un espace vectoriel E. On introduit le commutant de u

𝒞u={v(E)|uv=vu}.

Montrer que 𝒞u est une sous-algèbre de l’algèbre (E) des endomorphismes de E.

 
Exercice 2  1265  Correction  

Soit

E={M(a,b,c)=(abccabbca)|(a,b,c)3}.

Montrer que E est une sous-algèbre commutative de 3() dont on déterminera la dimension.

Solution

On peut écrire

M(a,b,c)=aI+bJ+cK

avec

I=M(1,0,0),J=M(0,1,0) et K=M(0,0,1)=J2.

Ainsi, E=Vect(I,J,K) est un sous-espace vectoriel de dimension 3 de 3() (car (I,J,K) est clairement une famille libre).
Aussi

M(a,b,c)M(a,b,c)=(aa+bc+cb)I+(ab+ab+cc)J+(ac+ac+bb)K.

Donc E est une sous algèbre (visiblement commutative) de 3().

 
Exercice 3  4207   

Soit

E={M(a,b)=(a-bba)|(a,b)2}.
  • (a)

    Montrer que E est une algèbre réelle commutative pour les lois usuelles.

  • (b)

    Vérifier que l’algèbre E est isomorphe à .

 
Exercice 4  4218   

(Le «  corps  » des quaternions)

On note l’ensemble des matrices

M(a,b)=(ab-b¯a¯) avec a,b.
  • (a)

    Montrer que est une algèbre réelle de dimension 4 pour les opérations usuelles.

  • (b)

    Vérifier que tout élément non nul de est inversible dans .

 
Exercice 5  5420     MINES (MP)Correction  

Soit A une -algèbre commutative intègre de dimension finie n2.

  • (a)

    Montrer que A est un corps.

  • (b)

    Montrer que pour tout aA, l’ensemble {P[X]|P(a)=0A} est un idéal de [X] et que celui-ci est engendré par un polynôme irréductible.

  • (c)

    Montrer que A est isomorphe à .

Solution

  • (a)

    A est un anneau commutatif non réduit à {0A}.

    Soit a un élément non nul de A. L’application γ:xax est un endomorphisme de l’espace A et celui-ci est injectif car l’anneau A est intègre. L’espace A étant de dimension finie, l’application γ est un automorphisme de A. En particulier, il existe bA tel que γ(b)=1A c’est-à-dire ab=1A. Ainsi, tout élément non nul de l’anneau A est inversible. Finalement, A est un corps.

  • (b)

    L’ensemble I={P[X]|P(a)=0A} contient le polynôme nul, est stable par addition et l’on vérifie aisément que, si PI, alors PQI pour tout Q[X]. Ainsi, I est un idéal de [X]. Il existe donc un polynôme Π[X] tel que I=Π[X].

    Par l’absurde, supposons que le polynôme Π ne soit par irréductible. On peut écrire Π=Π1Π2 avec Π1 et Π2 non constants. Puisque Π(a)=0A, on a Π1(a)Π2(a)=0A. Par intégrité, Π1(a)=0A ou Π2(a)=0A. Quitte à échanger, supposons Π1(a)=0A. Cela signifie Π1I mais alors ΠΠ1 et cela est absurde.

  • (c)

    Soit aA tel que aVect(1A). Un tel élément existe car dimA2. Introduisons alors le polynôme Π comme au-dessus (que l’on choisit unitaire). Celui-ci ne peut être de degré 1 car aVect(1A). Le polynôme Π est donc de degré 2 sans racines réelles. Soit ω=α+iβ (avec (α,β)×*) une racine de Π. On a

    Π=(X-ω)(X-ω¯)=X2-2αX+(α2+β2)

    et donc

    Π(a)=a2-2α.a+(α2+β2).1A=0A.

    Considérons ensuite

    i=1β(a-α.1A)AVect(1A).

    On remarque

    i2=1β2(a2-2α.a+α2.1A)=-1A.

    Montrons ensuite que dimA=2. Par l’absurde, si AVect(1A,i), on peut introduire bEVect(1A,i) et définir comme au-dessus un élément jA tel que j2=-1 avec jVect(1A,i). Or j2=i2 donne (j-i)(j+i)=0A et donc j=i ou j=-i par intégrité. C’est absurde.

    Pour conclure, on introduit l’application -linéaire φ:A déterminée par

    φ(1)=1Aetφ(i)=i.

    Par l’égalité i2=-1A, on vérifie que l’application φ est un morphisme d’anneaux et donc un morphisme d’algèbres. De plus, celle-ci transforme une base en une base, c’est un isomorphisme.

 
Exercice 6  3408     ENS CachanCorrection  

Soit 𝕂 une algèbre intègre sur de dimension finie n2. On assimile à .11 est l’élément de 𝕂 neutre pour le produit.

  • (a)

    Montrer que tout élément non nul de 𝕂 est inversible.

  • (b)

    Soit a un élément de 𝕂 non situé dans . Montrer que la famille (1,a) est libre tandis que le famille (1,a,a2) est liée.

  • (c)

    Montrer l’existence de i𝕂 tel que i2=-1.

  • (d)

    Montrer que si 𝕂 est commutative alors 𝕂 est isomorphe à .

Solution

  • (a)

    Soit a un élément non nul de 𝕂. L’application φ:xax est -linéaire de 𝕂 vers 𝕂 et son noyau est réduit à {0} car l’algèbre 𝕂 est intègre. Puisque 𝕂 est un -espace vectoriel de dimension finie, l’endomorphisme φ est bijectif et il existe donc b𝕂 vérifiant ab=1. Puisque

    φ(ba)=a(ba)=(ab)a=a=φ(1)

    on a aussi ba=1 et donc a est inversible d’inverse b.

  • (b)

    Puisque 10, si la famille (1,a) était liée alors a.1= ce qui est exclu; on peut donc affirmer que la famille (1,a) est libre.
    Puisque la -algèbre a est de dimension n, on peut affirmer que la famille (1,a,a2,,an) est liée car formée de n+1 vecteurs. Il existe donc un polynôme non nul Pn[X] tel que P(a)=0. Or ce polynôme se décompose en un produit de facteurs de degrés 1 ou 2. Puisque les facteurs de degré 1 n’annule pas a et puisque l’algèbre est intègre, il existe un polynôme de degré 2 annulant a. On en déduit que la famille (1,a,a2) est liée.

  • (c)

    Plus exactement avec ce qui précède, on peut affirmer qu’il existe α,β tel que

    a2+αa+β=0 avec Δ=α2-4β<0.

    On a alors

    (a+α2)2=α2-4β4

    et l’on obtient donc i2=-1 en prenant

    i=2a+α4β-α2.
  • (d)

    Par l’absurde, supposons n=dim𝕂>2.
    Il existe a,b𝕂 tels que (1,a,b) soit libre.
    Comme ci-dessus, on peut alors introduire iVect(1,a) et jVect(1,b) tels que

    i2=-1=j2.

    On a alors par commutativité

    (i-j)(i+j)=0

    et l’intégrité de 𝕂 entraîne i=j ou i=-j. Dans un cas comme dans l’autre, on obtient

    1,a,bVect(1,i)

    ce qui contredit la liberté de la famille (1,a,b).
    On en déduit n=2. Il est alors facile d’observer que 𝕂 est isomorphe à .

 
Exercice 7  4230   

Soit (A,+,×) une -algèbre intègre de dimension finie n2 et a un élément de A.

On assimile à .1A1A est l’élément de A neutre pour le produit.

  • (a)

    En observant que l’application xax est un endomorphisme de A, montrer que a est inversible si, et seulement si, a est non nul.

  • (b)

    Montrer qu’il existe des réels λ0,λ1,,λn non tous nuls tels que

    λ0+λ1.a++λn.an=0A.
  • (c)

    Montrer que, à isomorphisme près, est la seule -algèbre commutative intègre de dimension finie n2.

 
Exercice 8  2390     CENTRALE (MP)Correction  

Soit n un entier 2 et 𝒜 un hyperplan de n() stable pour le produit matriciel.

  • (a)

    On suppose que In𝒜. Montrer, si M2𝒜, que M𝒜. En déduire que pour tout i{1,,n} que la matrice Ei,i est dans 𝒜. En déduire une absurdité.

  • (b)

    On prend n=2. Montrer que 𝒜 est isomorphe à l’algèbre des matrices triangulaires supérieures.

Solution

  • (a)

    Supposons M2𝒜. 𝒜 et Vect(In) étant supplémentaires dans n(), on peut écrire M=A+λIn avec A𝒜. On a alors M2=A2+2λAIn+λ2In d’où l’on tire λ2In𝒜 puis λ=0 ce qui donne M𝒜.
    Pour ij, Ei,j2=0𝒜 donc Ei,j𝒜 puis Ei,i=Ei,j×Ej,i𝒜. Par suite, In=E1,1++En,n𝒜. Absurde.

  • (b)

    Formons une équation de l’hyperplan 𝒜 de la forme ax+by+cz+dt=0 en la matrice inconnue M=(xyzt) avec (a,b,c,d)(0,0,0,0). Cette équation peut se réécrire tr(AM)=0 avec A=(acbd).
    Puisque I2𝒜, on a tr(A)=0. Soit λ une valeur propre de A.
    Si λ0 alors -λ est aussi valeur propre de A et donc A est diagonalisable via une matrice P.
    On observe alors que les matrices M de 𝒜 sont celles telles que P-1MP a ses coefficients diagonaux égaux.
    Mais alors pour M=P(1101)P-1 et N=P(1011)P-1 on a M,N𝒜 alors que MN𝒜.
    Si λ=0 alors A est trigonalisable en (0α00) avec α0 via une matrice P.
    On observe alors que les matrices M de 𝒜 sont celles telles que P-1MP est triangulaire supérieure. L’application MP-1MP est un isomorphisme comme voulu.

[<] Indicatrice d'Euler



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax