Soit un endomorphisme d’un espace vectoriel . On introduit le commutant de
Montrer que est une sous-algèbre de l’algèbre des endomorphismes de .
Soit . Montrer que l’application est un morphisme bijectif de la -algèbre dans elle-même.
Solution
est une -algèbre et l’application est bien définie de vers .
Pour et , on vérifie
L’application est donc linéaire. De plus,
et
L’application est donc un morphisme d’algèbres.
De plus, pour tous ,
L’application est donc bijective.
Soit
Montrer que est une sous-algèbre commutative de dont on déterminera la dimension.
Solution
On peut écrire
avec
Ainsi, est un sous-espace vectoriel de dimension 3 de (car est clairement une famille libre).
Aussi
Donc est une sous algèbre (visiblement commutative) de .
Soit
Montrer que est une algèbre réelle commutative pour les lois usuelles.
Vérifier que l’algèbre est isomorphe à .
(Le « corps » des quaternions)
On note l’ensemble des matrices
Montrer que est une algèbre réelle de dimension pour les opérations usuelles.
Vérifier que tout élément non nul de est inversible dans .
Soient une sous-algèbre de l’algèbre . On souhaite établir que l’inverse de toute matrice inversible élément de est aussi un élément de .
Soit une matrice inversible. Montrer que l’application
définit un isomorphisme de l’espace vers lui-même.
Conclure.
Solution
L’application est correctement définie car la sous-algèbre est stable par produit. L’application est linéaire car, avec des notations entendues,
Enfin, l’application est injective car, si ,
Puisque est un espace de dimension finie, l’application est un isomorphisme de vers lui-même (autrement dit un automorphisme de ).
Par surjectivité de l’application et sachant , il existe tel que . On vérifie alors
Soient un -espace vectoriel de dimension finie et une sous-algèbre de . On souhaite établir que l’inverse de tout automorphisme de appartenant à est encore élément de .
Soit . Montrer que l’application
définit un isomorphisme de l’espace vers lui-même.
Conclure.
Solution
L’application est correctement définie car la sous-algèbre est stable par composition. L’application est linéaire car, avec des notations entendues,
Enfin, l’application est injective car, si ,
Puisque est un espace de dimension finie, l’application est un isomorphisme de vers lui-même (autrement dit un automorphisme de ).
Par surjectivité de l’application et sachant , il existe tel que . On vérifie alors
Soit une -algèbre commutative intègre de dimension finie .
Montrer que est un corps.
Montrer que pour tout , l’ensemble est un idéal de et que celui-ci est engendré par un polynôme irréductible.
Montrer que est isomorphe à .
Solution
est un anneau commutatif non réduit à .
Soit un élément non nul de . L’application est un endomorphisme de l’espace et celui-ci est injectif car l’anneau est intègre. L’espace étant de dimension finie, l’application est un automorphisme de . En particulier, il existe tel que c’est-à-dire . Ainsi, tout élément non nul de l’anneau est inversible. Finalement, est un corps.
L’ensemble contient le polynôme nul, est stable par addition et l’on vérifie aisément que, si , alors pour tout . Ainsi, est un idéal de . Il existe donc un polynôme tel que .
Par l’absurde, supposons que le polynôme ne soit par irréductible. On peut écrire avec et non constants. Puisque , on a . Par intégrité, ou . Quitte à échanger, supposons . Cela signifie mais alors et cela est absurde.
Soit tel que . Un tel élément existe car . Introduisons alors le polynôme comme au-dessus (que l’on choisit unitaire). Celui-ci ne peut être de degré car . Le polynôme est donc de degré sans racines réelles. Soit (avec ) une racine de . On a
et donc
Considérons ensuite
On remarque
Montrons ensuite que . Par l’absurde, si , on peut introduire et définir comme au-dessus un élément tel que avec . Or donne et donc ou par intégrité. C’est absurde.
Pour conclure, on introduit l’application -linéaire déterminée par
Par l’égalité , on vérifie que l’application est un morphisme d’anneaux et donc un morphisme d’algèbres. De plus, celle-ci transforme une base en une base, c’est un isomorphisme.
Soit une algèbre intègre sur de dimension finie . On assimile à où est l’élément de neutre pour le produit.
Montrer que tout élément non nul de est inversible.
Soit un élément de non situé dans . Montrer que la famille est libre tandis que le famille est liée.
Montrer l’existence de tel que .
Montrer que si est commutative alors est isomorphe à .
Solution
Soit un élément non nul de . L’application est -linéaire de vers et son noyau est réduit à car l’algèbre est intègre. Puisque est un -espace vectoriel de dimension finie, l’endomorphisme est bijectif et il existe donc vérifiant . Puisque
on a aussi et donc est inversible d’inverse .
Puisque , si la famille était liée alors ce qui est exclu; on peut donc affirmer que la famille est libre.
Puisque la -algèbre est de dimension , on peut affirmer que la famille est liée car formée de vecteurs. Il existe donc un polynôme non nul tel que . Or ce polynôme se décompose en un produit de facteurs de degrés 1 ou 2. Puisque les facteurs de degré 1 n’annule pas et puisque l’algèbre est intègre, il existe un polynôme de degré 2 annulant . On en déduit que la famille est liée.
Plus exactement avec ce qui précède, on peut affirmer qu’il existe tel que
On a alors
et l’on obtient donc en prenant
Par l’absurde, supposons .
Il existe tels que soit libre.
Comme ci-dessus, on peut alors introduire et tels que
On a alors par commutativité
et l’intégrité de entraîne ou . Dans un cas comme dans l’autre, on obtient
ce qui contredit la liberté de la famille .
On en déduit . Il est alors facile d’observer que est isomorphe à .
Soient une -algèbre intègre de dimension finie et un élément de .
On assimile la droite réelle à l’ensemble où est l’élément de neutre pour le produit.
En observant que l’application est un endomorphisme de , montrer que est inversible si, et seulement si, est non nul.
Montrer qu’il existe des réels non tous nuls tels que
Montrer que, à isomorphisme près, est la seule -algèbre commutative intègre de dimension finie .
Soit un entier et un hyperplan de stable pour le produit matriciel.
On suppose que . Montrer, si , que . En déduire que pour tout que la matrice est dans . En déduire une absurdité.
On prend . Montrer que est isomorphe à l’algèbre des matrices triangulaires supérieures.
Solution
Supposons . et étant supplémentaires dans , on peut écrire avec . On a alors d’où l’on tire puis ce qui donne .
Pour , donc puis . Par suite, . Absurde.
Formons une équation de l’hyperplan de la forme en la matrice inconnue avec . Cette équation peut se réécrire avec .
Puisque , on a . Soit une valeur propre de .
Si alors est aussi valeur propre de et donc est diagonalisable via une matrice .
On observe alors que les matrices de sont celles telles que a ses coefficients diagonaux égaux.
Mais alors pour et on a alors que .
Si alors est trigonalisable en avec via une matrice .
On observe alors que les matrices de sont celles telles que est triangulaire supérieure. L’application est un isomorphisme comme voulu.
Édité le 29-08-2023
Bootstrap 3 - LaTeXML - Powered by MathJax