[>] Morphismes d'anneaux

 
Exercice 1  2233  Correction  

Montrer qu’un anneau (A,+,×) n’a pas de diviseurs de zéro si, et seulement si, tous ses éléments non nuls sont réguliers

Solution

Supposons que A n’ait pas de diviseurs de zéro.
Soit xA avec x0.

a,bA,xa=xbx(a-b)=0a-b=0

car x0.
Ainsi x est régulier à gauche. Il en est de même à droite.
Supposons que tout élément non nul de A soit régulier.

x,yA,xy=0xy=x.0x=0 ou y=0

(par régularité de x dans le cas où x0).
Par suite, l’anneau A ne possède pas de diviseurs de zéro.

 
Exercice 2  2236  Correction  

Soient a,b deux éléments d’un anneau (A,+,×) tels que ab soit inversible et b non diviseur de 0.
Montrer que a et b sont inversibles.

Solution

Soit x=b(ab)-1. Montrons que x est l’inverse de a.
On a ax=ab(ab)-1=1 et xab=b(ab)-1ab=b donc (xa-1)b=0 puis xa=1 car b n’est pas diviseur de 0. Ainsi a est inversible et x est son inverse.
De plus, b=a-1(ab) l’est aussi par produit d’éléments inversibles.

 
Exercice 3  5422     MINES (MP)Correction  

Soient (A,+,×) un anneau commutatif intègre et G une partie finie non vide de A{0} stable par multiplication.

Montrer que G est un sous-groupe du groupe (A×,×) constitué des éléments inversibles de l’anneau A.

Solution

Soit aG. Pour tout k*, ak est un élément de G car G est stable par produit. Puisque G est un ensemble fini, il existe k,* tels que ak=a avec k. Quitte à échanger, on peut supposer k< et écrire

ak(a-k-1A)=a-ak=0A

Par intégrité de l’anneau (A,+,×), ak0A puis a-k-1A=0A. Ainsi, a-k=1A. En particulier, 1AG et, de plus, a est inversible avec a-1=a-k-1G.

Ainsi, G est une partie de A×, contenant 1A, stable par produit et par passage à l’inverse de ses éléments, c’est un sous-groupe du groupe (A×,×).

 
Exercice 4  4233  

Dans un anneau A, on étudie l’équation x2=1A d’inconnue xA.

  • (a)

    On suppose l’anneau A intègre. Résoudre l’équation introduite.

  • (b)

    Observer que l’équation peut posséder d’autres solutions que les précédentes lorsque l’anneau A est l’un des anneaux non intègres suivants: 2, /8 et 2().

 
Exercice 5  4242   

Montrer que l’ensemble 𝒮 des fonctions de vers développables en série entière sur est un anneau intègre pour les opérations usuelles.

 
Exercice 6  4245    

Soit (A,+,×) un anneau.

  • (a)

    On suppose que 0A est la seule solution à l’équation x2=0A d’inconnue xA. Soit eA vérifiant11 1 On dit que l’élément e est idempotent. 0A et 1A sont des exemples d’éléments idempotents. e2=e. Montrer que e commute avec tout élément de A.

  • (b)

    On suppose x2=x pour tout xA. Montrer que l’anneau A est commutatif.

  • (c)

    On suppose x3=x pour tout xA. Montrer que 3.x+3.x2 est nul puis que l’anneau A est commutatif.

  • (d)

    On suppose x4=x pour tout xA. Montrer que 2.x est nul puis que x+x2 commute avec tout y de A. En déduire que x2 commute avec y et conclure que l’anneau A est commutatif.

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Édité le 08-11-2019

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