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Exercice 1  2244  

Soit α tel que α, on note

[α]={a+bα|a,b}.

Montrer que [α] est un corps pour les opérations usuelles.

 
Exercice 2  2246   Correction  

Soit F un sous corps de (,+,×). Montrer que F=.

Solution

0 et 1 sont éléments de F.

Par récurrence,

n,nF.

Par passage à l’opposée,

p,pF.

Par passage à l’inverse,

q*, 1/qF.

Par produit,

r=p/q,rF.
 
Exercice 3  4243   

Déterminer les tables d’opérations sur 𝔽4 corps fini11 1 Un théorème hors-programme assure que, à isomorphisme près, il existe un unique corps de cardinal pn pour tout nombre premier p et tout n*. Au surplus, un corps fini a nécessairement un cardinal de cette forme. à 4 éléments.

 
Exercice 4  129   

Soit (A,+,×) un anneau intègre de cardinal fini.

  • (a)

    Soit aA non nul. Montrer que xax définit une permutation de A.

  • (b)

    En déduire que tout élément non nul de (A,+,×) est inversible.

 
Exercice 5  2245   Correction  

Soit A un anneau commutatif fini non nul.
Montrer que A ne possède pas de diviseurs de zéro si, et seulement si, A est un corps.

Solution

() Tout élément non nul d’un corps est symétrisable donc régulier et n’est donc pas diviseurs de zéro.

() Supposons que A n’ait pas de diviseurs de zéros. Soit aA tel que a0. Montrons que a est inversible Considérons l’application φ:AA définie par φ(x)=a.x.
a n’étant pas diviseur de zéro, on démontre aisément que φ est injective, or A est fini donc φ est bijective. Par conséquent, il existe bA tel que φ(b)=1 c’est-à-dire ab=1. Ainsi a est inversible.

Finalement, A est un corps.

 
Exercice 6  2677     MINES (MP)Correction  

Soit 𝕂 un corps, E un espace vectoriel de dimension finie n sur 𝕂 et 𝕃 un sous-corps de 𝕂 tel que 𝕂 est un espace vectoriel de dimension finie p sur 𝕃. Montrer que E est un espace vectoriel de dimension finie q sur 𝕃. Relier n,p,q.

Solution

Il est facile de justifier que E est un 𝕃-espace vectoriel sous réserve de bien connaître la définition des espaces vectoriels et de souligner que qui peut le plus, peut le moins…
Soit (e1,,en) une base de 𝕂-espace vectoriel E et (λ1,,λp) une base du 𝕃-espace vectoriel 𝕂.
Considérons la famille des (λjei)1in,1jp. Il est facile de justifier que celle-ci est une famille libre et génératrice du 𝕃-espace vectoriel E. Par suite, E est de dimension finie q=np.

 
Exercice 7  5421     MINES (MP)Correction  

On considère le polynôme P=X3-X+1.

  • (a)

    Justifier que P est irréductible dans [X].

  • (b)

    Montrer que le polynôme P admet une unique racine réelle x et vérifier que celle-ci n’est pas rationnelle.

  • (c)

    Déterminer la dimension de F=Vect{xk|k}.

  • (d)

    L’espace F est-il un corps pour les opérations usuelles?

Solution

  • (a)

    Par l’absurde, si le polynôme P n’est pas irréductible dans [X], il existe un polynôme de degré 1 à coefficients dans qui le divise et donc P possède une racine rationnelle x. Soit p/q le représentant irréductible de x. L’égalité P(x)=0 donne p3-pq2+q3=0. On en déduit que p divise q3=pq2-p3 et donc p divise 1 car p et q sont premiers entre eux. Aussi, q divise p3=pq2-q3 et donc q divise 1. Ainsi, x=1 ou x=-1. Cependant, ni 1, ni -1 ne sont racines de P. C’est absurde.

  • (b)

    Le polynôme réel P est de degré impair, il possède au moins une racine réelle. L’étude des variations de P assure que celle-ci est unique. De plus, cette racine n’est pas rationnelle comme on l’a vu au-dessus.

  • (c)

    Soit yF. Il existe n et a0,,an tels que

    y=a0+a1x++anxn.

    Considérons alors le polynôme A=a0+a1X++anXn[X] de sorte que y=A(x). Par division euclidienne, on peut écrire

    A=PQ+R avec deg(R)<deg(P)

    et alors

    y=P(x)Q(x)+R(x) avec R=α+βX+γX2[X].

    Ainsi, on peut écrire y=α+βx+γx2 avec α,β,γ.

    De plus, supposons α+βx+γx2=0 avec α,β,γ.

    Introduisons le polynôme B=α+βX+γX2. Par l’absurde, supposons B0. Par division euclidienne, on écrit

    P=BQ+R avec deg(R)1

    et alors

    R(x)=P(x)-B(x)Q(x)=0.

    Or le polynôme R est à coefficients rationnels. Il ne peut être de degré 1 car alors x serait un nombre rationnel. Le polynôme R est donc constant et c’est alors nécessairement le polynôme nul car il possède une racine. Ainsi, B divise P et cela contredit l’irréductibilité de P. On conclut que B=0 et donc α=β=γ=0.

    Finalement, (1,x,x2) est une famille libre et génératrice de F. On peut alors conclure dimF=3.

  • (d)

    L’ensemble F est clairement un sous-anneau du corps (,+,×). Vérifions que c’est un sous-corps.

    Soit yF{0}. Il existe a0,a1,a2 non tous nuls tels que y=a0+a1x+a2x2. Introduisons alors le polynôme R=a0+a1X+a2X2. Puisque P est irréductible et qu’il ne divise pas R, ces deux polynômes sont premiers entre eux. Il existe donc U,V[X] tels que PU+RV=1 et alors R(x)V(x)=1. Ainsi, l’inverse de y est V(x) et c’est un élément de F.

    Finalement, F est un corps pour les opérations usuelles.

 
Exercice 8  2662      MINES (MP)Correction  

Soit K=+2+3+6.

  • (a)

    Montrer que (1,2,3,6) est une -base du -espace vectoriel K.

  • (b)

    Montrer que K est un sous-corps de .

Solution

  • (a)

    Il est clair que K est un sous-espace vectoriel de et que la famille (1,2,3,6) est -génératrice.
    Montrons qu’elle est libre en raisonnant par l’absurde.
    Supposons a+b2+c3+d6=0 avec a,b,c,d non tous nuls.
    Quitte à réduire au même dénominateur, on peut supposer a,b,c,d non tous nuls.
    Quitte à factoriser, on peut aussi supposer pgcd(a,b,c,d)=1.
    On a (a+b2)2=(c3+d6)2 donc

    a2+2ab2+2b2=3c2+6cd2+6d2.

    Par l’irrationalité de 2 on parvient au système

    {a2+2b2=3c2+6d2ab=3cd.

    Par suite, 3ab et 3a2+2b2 donc 3a et 3b.
    Ceci entraîne 3cd et 3c2+2d2 donc 3c et 3d.
    Ceci contredit pgcd(a,b,c,d)=1.
    Ainsi la famille (1,2,3,6) est -libre et c’est donc une -base de K.

  • (b)

    Sans peine, on vérifie que 𝕂 est un sous-anneau de .
    Soit x=a+b2+c3+d6𝕂 avec a,b,c,d non tous nuls.

    1x =1(a+b2)+(c3+d6)
    =a+b2-(c3+d6)(a2+2b2-3c2-6d2)+2(ab-3cd)2
    =a+b2-(c3+d6)α+β2.

    puis

    1x=(a+b2-(c3+d6))(α-β2)α2-2β2K

    et donc K est un sous-corps de .
    Notons que les quantités conjuguées par lesquelles on a ci-dessus multiplié ne sont pas nuls car x est non nul et la famille (1,2,3,6) est -libre.

 
Exercice 9  4244    

(Groupe des inversibles d’un corps fini)

On étudie le groupe (𝔽×,×) des inversibles d’un corps fini 𝔽.

  • (a)

    Soit x un élément de 𝔽× d’ordre d* et y un élément de 𝔽× vérifiant yd=1𝔽. Montrer que y appartient au groupe engendré par x.

    On admettra que l’on peut étendre11 1 En particulier, un polynôme à coefficients dans F ne peut avoir plus de racines dans F que son degré. la théorie des polynômes à ceux dont les coefficients appartiennent au corps F.

  • (b)

    Pour d*, on note N(d) le nombre d’éléments d’ordre d dans 𝔽×. Justifier N(d)φ(d)φ désigne la fonction indicatrice d’Euler.

  • (c)

    En déduire que (𝔽×,×) est un groupe cyclique.

 
Exercice 10  130    Correction  

Soit 𝕂 un corps fini11 1 /p avec p premier est un exemple de tel corps.. Calculer

x𝕂{0}x.

Solution

Méthode: Dans le produit, on regroupe chaque facteur avec son inverse.

Lorsque x est différent de son inverse, les deux facteurs correspondant dans le produit se simplifient. Une fois ces simplifications faites, il ne reste dans le produit que les facteurs égaux à leur inverse:

x𝕂{0}x=x𝕂{0}x=x-1x.

Cependant, la condition x=x-1 équivaut à x2=1𝕂 c’est-à-dire (x-1𝕂)(x+1𝕂)=0. Un corps étant intègre, cette équation a pour seules solutions 1𝕂 et -1𝕂. Que celles-ci soient ou non distinctes22 2 Dans le corps /2, les éléments 1¯ et -1¯ sont confondus., on obtient

x𝕂*x=-1𝕂.

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Édité le 08-11-2019

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