[<] Corps [>] Équations modulaires, théorème chinois
Résoudre les équations suivantes:
dans
dans
dans .
Solution
car l’inverse de dans est .
Il suffit de tester les entiers . et conviennent. Les solutions sont .
donc les solutions sont et .
Résoudre le système suivant:
Solution
Les solutions du système sont solutions de l’équation
Or
donc les solutions sont et . On obtient comme solutions, les couples et .
(Petit théorème de Fermat)
Soit un nombre premier. Montrer
Solution
Pour , l’application est une permutation de .
Le calcul
donne alors car .
Soit un nombre premier supérieur ou égal à .
Montrer que
En déduire que est un morphisme d’anneaux sur .
En déduire le petit théorème de Fermat.
Solution
Pour , on peut écrire
et donc
Cette relation n’engageant que des nombres entiers, on peut affirmer que divise . Or car est premier et donc divise .
L’application est correctement définie de vers .
On vérifie immédiatement .
Soient et deux éléments de . Étudions
Par la formule du binôme de Newton,
Or, pour , donc
ce qui se relit
Enfin, plus directement,
L’application est un morphisme d’anneaux.
Observons qu’il n’y a qu’un seul morphisme de l’anneau vers lui-même à savoir l’identité. Soit un morphisme d’anneaux. Puisque est un morphisme de groupes additifs, on a
Or donc
Ainsi, .
Ici, est un morphisme de l’anneau dans lui-même, c’est donc l’identité. On en déduit le petit théorème de Fermat
(Théorème de Wilson)
Soit un nombre premier.
Quels sont les éléments de égaux à leur inverse?
En déduire que divise .
Inversement, montrer que si un entier supérieur à divise alors celui-ci est premier.
Soient un nombre premier et un entier naturel premier avec .
Montrer que l’application définie par est bijective.
Si est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans ?
Solution
Si : il y a deux carrés dans .
Si , considérons l’application dans .
Dans le corps : .
Dans , seul 0 possède un seul antécédent, les autres éléments possèdent deux antécédents distincts. Par suite, donc il y carrés dans .
Soit un nombre premier supérieur à .
Quel est le nombre de carrés dans ?
On suppose . Justifier que est un carré dans en calculant de deux façons la classe de congruence de .
On suppose . Montrer que n’est pas un carré dans .
Soit un entier naturel impair. Calculer
Solution
Les éléments de sont et donc
Puisque est impair, on peut écrire avec et poursuivre
Soit un nombre premier. Calculer dans
Solution
On a
Si alors
Si alors est un entier et donc
On a
Si alors
Si alors
Si alors est divisible par 6.
En effet, est pair donc aussi.
De plus, sur les trois nombres consécutifs
l’un est divisible par 3. Ce ne peut être et si est divisible par 3 alors l’est aussi. Par suite, est divisible par 3.
Ainsi,
(Sommes de Newton dans )
Soit un entier premier. On admet que le groupe des inversibles du corps est cyclique11 1 Plus généralement, le groupe des inversibles d’un corps fini est cyclique: voir le sujet 4244.. En discutant selon la valeur de , calculer
Déterminer l’ensemble des inversibles de l’anneau . De quelle structure peut-on munir cet ensemble?
Y a-t-il, à isomorphisme près, d’autres groupes de cardinal 4?
Solution
Les inversibles de sont les avec . Ce sont donc les éléments et .
L’ensemble des inversibles d’un anneau est un groupe multiplicatif.
Le groupe vérifie la propriété pour tout élément de celui-ci. Ce groupe n’est donc pas isomorphe au groupe cyclique qui constitue donc un autre exemple de groupe de cardinal 4. En fait le groupe est isomorphe à .
Donner l’ensemble des inversibles de l’anneau .
Montrer que est isomorphe à
Solution
Les inversibles sont obtenus à partir des nombres premiers avec 20
3 est un élément d’ordre 4 dans avec
et 11 est un élément d’ordre 2 n’appartenant pas à .
Le morphisme donné par
est bien défini et injectif par les arguments qui précèdent.
Par cardinalité, c’est un isomorphisme.
On se propose d’établir qu’il n’existe pas d’entiers tels que divise . On raisonne par l’absurde et l’on suppose qu’un tel entier existe. On introduit un facteur premier de .
Montrer que la classe de est élément du groupe des inversibles de et que son ordre divise et .
Conclure
Solution
L’entier divise et donc divise . On en déduit dans . L’élément est donc inversible dans et son ordre divise . Aussi, le groupe des inversibles du corps est de cardinal et donc est d’ordre divisant .
Considérons le plus petit facteur premier de . Les facteurs premiers de l’ordre de divisant , ils sont tous au moins égaux à . Or ils divisent aussi et ils sont donc aussi strictement inférieurs à . On en déduit que est d’ordre dans ce qui est absurde.
Soient un entier supérieur à et le groupe des inversibles de l’anneau .
Montrer que pour tout entier impair .
Le groupe est-il cyclique?
Trouver le plus petit entier tel que .
Montrer que est isomorphe au groupe produit .
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Édité le 26-01-2024
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