[<] Corps [>] Équations modulaires, théorème chinois

 
Exercice 1  142  Correction  

Résoudre les équations suivantes:

  • (a)

    3x+5=0 dans /10

  • (b)

    x2=1 dans /8

  • (c)

    x2+2x+2=0 dans /5.

Solution

  • (a)

    3x+5=0x+5=0x=5 car l’inverse de 3 dans /10 est 7.

  • (b)

    Il suffit de tester les entiers 0,1,2,3,4. 1 et 3 conviennent. Les solutions sont 1,3,5,7.

  • (c)

    x2+2x+2=0x2+2x-3=0(x-1)(x+3)=0 donc les solutions sont 1 et -3.

 
Exercice 2  3915   Correction  

Résoudre le système suivant:

{x+y4[11]xy10[11].

Solution

Les solutions du système sont solutions de l’équation

z2-4z+10=0[11].

Or

z2-4z+10=z2+7z+10=(z+2)(z+5)

donc les solutions sont -2=9 et -5=6. On obtient comme solutions, les couples (9,6) et (6,9).

 
Exercice 3  144  Correction  

(Petit théorème de Fermat)

Soit p un nombre premier. Montrer

a(/p)*,ap-1=1.

Solution

Pour a(/p)*, l’application xax est une permutation de (/p)*.
Le calcul

x(/p)*x=x(/p)*ax=ap-1x(/p)*x

donne alors ap-1=1 car x(/p)*x0.

 
Exercice 4  148   

(Théorème de Wilson)

Soit p un nombre premier.

  • (a)

    Quels sont les éléments de /p qui sont égaux à leurs inverses?

  • (b)

    En déduire que p divise (p-1)!+1.

  • (c)

    Inversement, montrer que si un entier n supérieur à 2 divise (n-1)!+1 alors celui-ci est premier.

 
Exercice 5  145   

Soient p un nombre premier et k un entier naturel premier avec p-1.

Montrer que l’application φ:/p/p définie par φ(x)=xk est bijective.

 
Exercice 6  2660     MINES (MP)Correction  

Si p est un nombre premier, quel est le nombre de carrés dans /p?

Solution

Si p=2: il y a deux carrés dans /2.
Si p3, considérons l’application φ:xx2 dans /p.
Dans le corps /p: φ(x)=φ(y)x=±y.
Dans Im(φ), seul 0 possède un seul antécédent, les autres éléments possèdent deux antécédents distincts. Par suite, Card/p=1+2(CardIm(φ)-1) donc il y p+12 carrés dans /p.

 
Exercice 7  149    

Soit p un nombre premier supérieur à 3.

  • (a)

    Quel est le nombre de carrés dans /p?

  • (b)

    On suppose p1[4]. Justifier que -1¯ est un carré dans /p en calculant de deux façons la classe de congruence de (p-1)!.

  • (c)

    On suppose p3[4]. Montrer que -1¯ n’est pas un carré dans /p.

 
Exercice 8  3218   Correction  

Soit p un nombre premier. Calculer dans /p

k=1pk¯ et k=1pk¯2.

Solution

On a

k=1pk¯=k=1pk¯=p(p+1)2¯.

Si p=2 alors

k=1pk¯=1¯.

Si p3 alors (p+1)/2 est un entier et donc

k=1pk¯=p¯×(p+1)2¯=0¯.

On a

k=1pk¯2=k=1pk2¯=p(p+1)(2p+1)6¯.

Si p=2 alors

k=1pk¯2=1¯.

Si p=3 alors

k=1pk¯2=1¯2+2¯2=2¯.

Si p5 alors (p+1)(2p+1) est divisible par 6.
En effet, p+1 est pair donc (p+1)(2p+1) aussi.
De plus, sur les trois nombres consécutifs

2p,(2p+1),(2p+2)

l’un est divisible par 3. Ce ne peut être 2p et si 2p+2 est divisible par 3 alors p+1 l’est aussi. Par suite, (p+1)(2p+1) est divisible par 3.
Ainsi,

k=1pk¯2=p¯×(p+1)(2p+1)6¯=0¯.
 
Exercice 9  146   

(Sommes de Newton dans Z/pZ)

Soit p un entier premier. On admet que le groupe des inversibles du corps /p est cyclique11 1 Plus généralement, le groupe des inversibles d’un corps fini est cyclique: voir sujet 4244.. En discutant selon la valeur de k, calculer

Sk=x/pxk.
 
Exercice 10  3929    MINES (MP)Correction  
  • (a)

    Déterminer l’ensemble des inversibles de l’anneau /8. De quelle structure peut-on munir cet ensemble?

  • (b)

    Y a-t-il, à isomorphisme près, d’autres groupes de cardinal 4?

Solution

  • (a)

    Les inversibles de /8 sont les k¯ avec k8=1. Ce sont donc les éléments 1¯,3¯,5¯ et 7¯.
    L’ensemble des inversibles d’un anneau est un groupe multiplicatif.

  • (b)

    Le groupe ({1¯,3¯,5¯,7¯},×) vérifie la propriété x2=1 pour tout x élément de celui-ci. Ce groupe n’est donc pas isomorphe au groupe cyclique (/4,+) qui constitue donc un autre exemple de groupe de cardinal 4. En fait le groupe ({1¯,3¯,5¯,7¯},×) est isomorphe à (/2×/2,+).

 
Exercice 11  3780     ENTPECorrection  

Donner l’ensemble G des inversibles de l’anneau /20.
Montrer que (G,×) est isomorphe à (/2×/4,+)

Solution

Les inversibles sont obtenus à partir des nombres premiers avec 20

G={1,3,7,9,11,13,17,19}

3 est un élément d’ordre 4 dans (G,×) avec

3={1,3,9,7}

et 11 est un élément d’ordre 2 n’appartenant pas à 3.
Le morphisme φ:/2×/4G donné par

φ(k,)=11k×3

est bien défini et injectif par les arguments qui précèdent.
Par cardinalité, c’est un isomorphisme.

 
Exercice 12  4202   Correction  

On se propose d’établir qu’il n’existe pas d’entiers n2 tels que n divise 2n-1. On raisonne par l’absurde et l’on suppose qu’un tel entier n existe. On introduit p un facteur premier de n.

  • (a)

    Montrer que la classe de 2 est élément du groupe des inversibles de /p et que son ordre divise n et p-1.

  • (b)

    Conclure

Solution

  • (a)

    L’entier p divise n et donc divise 2n-1. On en déduit 2¯n=1¯ dans /p. L’élément 2¯ est donc inversible dans /p et son ordre divise n. Aussi, le groupe des inversibles du corps /p est de cardinal p-1 et donc 2¯ est d’ordre divisant p-1.

  • (b)

    Considérons p le plus petit facteur premier de n. Les facteurs premiers de l’ordre de 2 divisant n, ils sont tous au moins égaux à p. Or ils divisent aussi p-1 et ils sont donc aussi strictement inférieurs à p. On en déduit que 2¯ est d’ordre 1 dans /p ce qui est absurde.

 
Exercice 13  4246    

Soit n un entier supérieur à 3 et U le groupe des inversibles de l’anneau /2n.

  • (a)

    Montrer que a2n-21[2n] pour tout entier impair a.

  • (b)

    Le groupe (U,×) est-il cyclique?

  • (c)

    Trouver le plus petit entier k>0 tel que 3k1[2n].

  • (d)

    Montrer que U est isomorphe au groupe produit (/2×/2n-2,+).

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Édité le 08-11-2019

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