$10\wedge 13=1$ avec la relation de Bézout

$$-9\times 10+7\times 13=1\text{.}$$

Les nombres $x_1=7\times 13=91$ et $x_2=-9\times 10=-90$ sont solutions des systèmes

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x\equiv 1& \left[10\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x\equiv 0& \left[13\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}\text{ et }\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x\equiv 0& \left[10\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x\equiv 1& \left[13\right]\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

On en déduit que

$$x=2\times 91-5\times 90=-268$$

est solution du système dont la solution générale est alors

$$x=-268+130k=122+130\mathrm{\ell }\text{ avec }\mathrm{\ell }\in \mathbb{Z}\text{.}$$

• (a)

  6 et 7 sont premiers entre eux avec la relation de Bézout $(-1)\times 6+7=1$.
  $x_1=7$ et $x_2=-6$ sont solutions des systèmes

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x\equiv 1& \left[6\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x\equiv 0& \left[7\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}\mathit{\hspace{1em}}\text{et}\mathit{\hspace{1em}}\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x\equiv 0& \left[6\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x\equiv 1& \left[7\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  donc $x=1\times 7+2\times (-6)=-5$ est solution du système étudié dont la solution générale est alors

  $$x=37+42k\text{ avec }k\in \mathbb{Z}\text{.}$$

• (b)

  $$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill 3x\equiv 2& \left[5\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill 5x\equiv 1& \left[6\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x\equiv 4& \left[5\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x\equiv 5& \left[6\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

  on poursuit comme ci-dessus. Les solutions sont $29+30k$ avec $k\in \mathbb{Z}$.

Il existe $u,v\in \mathbb{Z}$ tels que $bu+b^{\prime }v=1$.
Soit $x=a^{\prime }bu+a{b}^{\prime }v$.
On a

$$x=a^{\prime }bu+a-abu=a\left[b\right]$$

et

$$x=a^{\prime }-a^{\prime }{b}^{\prime }v+a{b}^{\prime }v=a^{\prime }{\left[b\right]}^{\prime }$$

donc $x$ est solution.
Soit $x^{\prime }$ une autre solution. On a

$$x=x^{\prime }\left[b\right]$$

et

$$x=x^{\prime }{\left[b\right]}^{\prime }$$

donc $b\mid (x^{\prime }-x)$ et $b^{\prime }\mid (x^{\prime }-x)$.
Or $b\wedge b^{\prime }=1$ donc $b{b}^{\prime }\mid (x^{\prime }-x)$.
Inversement, soit $x^{\prime }$ tel que $b{b}^{\prime }\mid x^{\prime }-x$, on a bien

$$x^{\prime }=x=a\left[b\right]$$

et

$$x^{\prime }=x=a^{\prime }{\left[b\right]}^{\prime }\text{.}$$

Notons $x\in \mathbb{N}$ le montant du trésor. De part les hypothèses

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x\equiv 3& \left[17\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x\equiv 4& \left[11\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x\equiv 5& \left[6\right]\text{.}\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

On commence par résoudre le système

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x\equiv 3& \left[17\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x\equiv 4& \left[11\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

$17\wedge 11=1$ avec la relation de Bézout $2\times 17-3\times 11=1$. On a alors la solution particulière

$$x=3\times (-33)+4\times 34=37$$

et donc

$$\{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x\equiv 3& \left[17\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x\equiv 4& \left[11\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x\equiv 5& \left[6\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}\iff \{\begin{array}{ccccccccccccccccccccc}\hfill x\equiv 37& \left[187\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ \hfill x\equiv 5& \left[6\right]\hfill & & & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$$

$187\wedge 6=1$ avec la relation de Bézout $187-31\times 6=1$. On a alors la solution particulière

$$x=37\times (-186)+5\times (187)=-5947\text{.}$$

La solution générale du système est alors

$$x=-5947+1122k=785+1122\mathrm{\ell }\text{ avec }\mathrm{\ell }\in \mathbb{Z}\text{.}$$

Le cuisinier peut espérer empocher au moins 785 pièces d’or.