Exercice 1 4235

Soit $A$ un anneau commutatif.

(a)

Que dire d’un idéal de $A$ lorsque celui-ci contient le neutre $1_{A}$ ?
(b)

Quels sont les idéaux d’un corps $K$ ?

Exercice 2 3854

Un idéal d’un anneau commutatif $(A, +, \times)$ est dit principal lorsqu’il est de la forme $x A$ pour un certain $x \in A$ .

Montrer que les idéaux de tous les sous-anneaux de $ℚ$ sont principaux.

Exercice 3 135 Correction

On note

𝔻 = {\frac{p}{10^{n}} | p \in ℤ, n \in ℕ}

l’ensemble des nombres décimaux.

(a)

Montrer que $𝔻$ est un sous-anneau de $(ℚ, +, \times)$ .
(b)

Montrer que les idéaux de $𝔻$ sont principaux (c’est-à-dire de la forme $a 𝔻$ avec $a \in 𝔻$ ).

Solution

(a)

$𝔻$ est une partie de $ℚ$ contenant $1$ car $1 = 1 / 10^{0}$ .

Pour $x, y \in 𝔻$ , on peut écrire

$x = \frac{p}{10^{n}} et y = \frac{q}{10^{m}}$

avec $p, q \in ℤ$ et $n, m \in ℕ$ . On vérifie

$- x$ $= \frac{- p}{10^{n}} \in 𝔻$

$x + y$ $= \frac{p 10^{m} + q 10^{n}}{10^{n + m}} \in 𝔻$

$x y$ $= \frac{p q}{10^{n + m}} \in 𝔻$
(b)

Soit $I$ un idéal de $𝔻$ .

L’intersection $I \cap ℤ$ est un sous-groupe de $(ℤ, +)$ , il existe donc $a \in ℤ$ vérifiant $I \cap ℤ = a ℤ$ .

Puisque $a \in I$ , on a $a 𝔻 \subset I$ .

Inversement, soit $x \in I$ . On peut écrire

$x = \frac{p}{10^{n}} avec p \in ℤ et n \in ℕ .$

On a alors $10^{n} x \in I$ par absorption donc $p \in I \cap ℤ$ . On en déduit $a ∣ p$ puis $x \in a 𝔻$ .

Finalement, $I = a 𝔻$

Exercice 4 136 Correction

(Nilradical d’un anneau)

On appelle nilradical d’un anneau commutatif $(A, +, \times)$ l’ensemble $N$ formé des éléments nilpotents de $A$ , c’est-à-dire des $x \in A$ tels qu’il existe $p \in ℕ^{*}$ vérifiant $x^{p} = 0_{A}$ .

(a)

Montrer que $N$ est un idéal de $(A, +, \times)$ .
(b)

Déterminer $N$ lorsque $A = ℤ / n ℤ$ avec $n \in ℕ^{*}$ .

Solution

(a)

$N$ est une partie de $A$ contenant $0_{A}$ .

Pour $x, y \in N$ , il existe $p, q \in ℕ^{*}$ tel que $x^{p} = y^{q} = 0_{A}$ .

Par la formule du binôme de Newton¹¹ 1 Celle-ci est possible car l’anneau est commutatif.,

${(x + y)}^{p + q - 1} = \sum_{k = 0}^{p + q - 1} (\binom{p + q - 1}{k}) x^{k} y^{p + q - 1 - k} .$

Pour $k \geq p$ , $x^{k} = 0_{A}$ et pour $k \leq p - 1$ , $y^{p + q - 1 - k} = 0_{A}$ .

Dans les deux cas $x^{k} y^{p + q - 1 - k} = 0_{A}$ et donc ${(x + y)}^{p + q - 1} = 0_{A}$ . Par suite, $x + y \in N$ .

Enfin, pour $a \in A$ et $x \in N$ , $a x \in N$ car ${(a x)}^{p} = a^{p} x^{p}$ .
(b)

Un élément nilpotent de $ℤ / n ℤ$ est la classe de congruence d’un entier dont une puissance est divisible par $n$ . Ces entiers sont ceux possédant tous les facteurs premiers que l’on retrouve dans $n$ . Autrement dit, si l’on écrit

$n = p_{1}^{α_{1}} \times \dots p_{N}^{α_{N}}$

avec $p_{1}, \dots, p_{N}$ nombres premiers deux à deux distincts et $α_{1}, \dots, α_{N} \in ℕ^{*}$ , les éléments nilpotents de $ℤ / n ℤ$ sont les multiples de $n^{'} = p_{1} \times \dots \times p_{N}$ .

Exercice 5 4240

(Radical d’un idéal)

Soit $I$ un idéal d’un anneau commutatif $A$ . On appelle radical¹¹ 1 Lorsque $I = {0}$ , le radical de $I$ regroupe les éléments nilpotents de l’anneau $A$ . de l’idéal $I$ l’ensemble $R (I)$ des éléments $x$ de $A$ pour lesquels il existe $q \in ℕ^{*}$ tel que $x^{q} \in I$ .

(a)

Montrer que $R (I)$ est un idéal de $A$ contenant $I$ .
(b)

Soient $I$ et $J$ deux idéaux. Vérifier

$R (I \cap J) = R (I) \cap R (J) .$
(c)

On suppose que $A = ℤ$ . Déterminer le radical de $n ℤ$ pour $n \in ℕ$ .

Exercice 6 5378 ENSTIM (MP)Correction

Soit $(A, +, \times)$ un anneau. On considère

R = {x \in A | \forall a \in A {, 1}_{A} + a x est inversible} .

Montrer que $R$ est un idéal de l’anneau $(A, +, \times)$ .

Solution

$R$ est évidemment une partie de $A$ et celle-ci contient $0_{A}$ .

Soient $x, y \in R$ . Pour tout $a \in A$ ,

1_{A} + a (x + y) = 1_{A} + a x + a y = (1_{A} + a x) (1_{A} + b y) avec b = {(1_{A} + a x)}^{- 1} a \in A .

Par produit d’éléments inversibles, $1_{A} + a (x + y)$ est inversible. Ainsi, $x + y \in R$ .

Soient $x \in R$ et $α \in A$ . Pour tout $a \in A$ ,

1_{A} + a (α x) = 1_{A} + b x avec b = a α \in A .

Ainsi, $α x \in R$ .

Finalement, $R$ est un idéal de $(A, +, \times)$ .

Exercice 7 4239

(Idéaux premiers)

Un idéal $I$ d’un anneau commutatif $(A, +, \times)$ est dit premier lorsque, pour tout $(x, y) \in A^{2}$ ,

x y \in I ⟹ (x \in I ou y \in I) .

(a)

Déterminer les idéaux premiers de $(ℤ, +, \times)$ .
(b)

On suppose que $A$ un anneau commutatif non réduit à ${0_{A}}$ dont tout idéal est premier. Établir que $A$ est intègre puis que $A$ est en fait un corps.

Exercice 8 4234

Vérifier que le noyau d’un morphisme d’anneaux commutatifs est un idéal.

Exercice 9 3843 Correction

Soit $A$ un anneau intègre. On suppose que l’anneau $A$ ne possède qu’un nombre fini d’idéaux.
Montrer que $A$ est un corps.

Solution

Soit $x \in A$ avec $x \neq 0_{A}$ . Il suffit d’établir que $x$ est inversible pour conclure.
Pour chaque $n \in ℕ$ , $x^{n} A$ est un idéal. Puisque l’anneau $A$ ne possède qu’un nombre fini d’idéaux, il existe $p < q \in ℕ$ tels que $x^{p} A = x^{q} A$ . En particulier, puisque $x^{p} \in x^{p} A$ , il existe $a \in A$ tel que

x^{p} = x^{q} a .

On a alors

x^{p} (1_{A} - x^{q - p} a) = 0_{A} .

L’anneau $A$ étant intègre et sachant $x \neq 0_{A}$ , on a nécessairement

x^{q - p} a = 1_{A} .

On en déduit que $x$ est inversible avec

x^{- 1} = x^{q - p - 1} a .

Exercice 10 5625 Correction

(Caractéristique d’un anneau)

Soit $(A, +, \times)$ un anneau.

(a)

Montrer que l’application $φ : ℤ \to A$ définie par $φ (k) = k {.1}_{A}$ est un morphisme d’anneaux.
(b)

Justifier qu’il existe $n \in ℕ$ tel que $Ker (φ) = n ℤ$ .

Cet entier $n$ est appelé caractéristique de l’anneau $A$

Solution

(a)

L’application $φ$ est bien définie de l’anneau $(ℤ, +, \times)$ vers l’anneau $(A, +, \times)$ et l’on vérifie $φ (1) = 1_{A}$ .

Soient $k, ℓ \in ℤ$ . Par opérations sur les itérés additifs,

$φ (k + ℓ) = (k + ℓ) {.1}_{A} = k {.1}_{A} + ℓ {.1}_{A} = φ (k) + φ (ℓ)$

et

$φ (k ℓ) = (k ℓ) {.1}_{A} = k . (ℓ {.1}_{A}) = k . (1_{A} \times (ℓ {.1}_{A})) = (k {.1}_{A}) (ℓ {.1}_{A}) = φ (k) φ (ℓ) .$
(b)

Le noyau du morphisme $φ$ est un idéal de $ℤ$ , il est donc de la forme $n ℤ$ avec $n \in ℕ$ unique.
(c)

Soit $n$ la caractéristique d’un corps $K$ .

Par l’absurde, supposons $n \neq 0$ et $n$ non premier.

Puisque $1_{K} \neq 0_{K}$ , on a nécessairement $n \geq 2$ . L’entier $n$ est donc composé et l’on peut écrire $n = a b$ avec $1 < a, b < n$ . Or $φ (n) = φ (a) φ (b) = 0$ avec $φ (a), φ (b) \neq 0$ . C’est absurde.

Exercice 11 138 Correction

Soient $A$ un anneau commutatif et $e$ un élément idempotent de $A$ (c’est-à-dire $e^{2} = e$ ).

(a)

Montrer que $J = {x \in A | x e = 0}$ est un idéal de $A$ .
(b)

On note $I = A e$ l’idéal principal engendré par $e$ . Déterminer $I + J$ et $I \cap J$ .
(c)

Établir que pour tout idéal $K$ de $A$ :

$(K \cap I) + (K \cap J) = K .$

Solution

(a)

sans difficultés.
(b)

Pour tout $x \in A$ , $x = x e + x (1 - e)$ avec $x e \in I$ et $x - x e \in J$ . Par suite, $I + J = A$ .
Si $x e \in J$ alors $x e = x e^{2} = 0$ donc $I \cap J = {0}$ .
(c)

L’inclusion $(K \cap I) + (K \cap J) \subset K$ est immédiate. L’inclusion réciproque provient de l’écriture $x = x e + x (1 - e)$ .

Exercice 12 2450 Correction

Soit $A$ un sous-anneau d’un corps $K$ vérifiant, pour tout $x \in K$ ,

x \neq 0_{K} ⟹ x \in A ou x^{- 1} \in A .

On forme $I$ l’ensemble des éléments de l’anneau $A$ non inversibles.

(a)

Montrer que $I$ est un idéal de $A$ .
(b)

Montrer que tout idéal de $A$ autre que $A$ est inclus dans $I$ .

Solution

(a)

$I$ est une partie non vide de $A$ puisque $0_{A}$ en est élément. Soient $a \in A$ et $x \in I$
Si $a = 0$ alors $a x = 0 \in I$ .
Pour $a \neq 0$ , supposons ${(a x)}^{- 1} \in A$ .
On a alors $a^{- 1} x^{- 1} \in A$ et donc $x^{- 1} = a (a^{- 1} x^{- 1}) \in A$ ce qui est exclu.
Nécessairement ${(a x)}^{- 1} \notin A$ et donc $a x \in I$ .
Soient $x, y \in I$ . Montrons que $x + y \in I$ .
Si $x = 0$ , $y = 0$ ou $x + y = 0$ , c’est immédiat. Sinon:
On a ${(x + y)}^{- 1} (x + y) = 1$ donc

${(x + y)}^{- 1} (1 + x^{- 1} y) = x^{- 1} et {(x + y)}^{- 1} (1 + x y^{- 1}) = y^{- 1} (*).$

Par l’hypothèse de départ, l’un au moins des deux éléments $x^{- 1} y$ ou $x y^{- 1} = {(x^{- 1} y)}^{- 1}$ appartient à $A$ .
Par opérations dans $A$ à l’aide des relations (*), si ${(x + y)}^{- 1} \in A$ alors $x^{- 1}$ ou $y^{- 1}$ appartient à $A$ ce qui est exclu. Ainsi, ${(x + y)}^{- 1} \notin A$ et donc $x + y \in I$ .

Finalement, $I$ est un idéal de $A$ .
(b)

Soit $J$ un idéal de $A$ distinct de $A$ . Pour tout $x \in J$ , si $x$ est inversible dans l’anneau $A$ , on peut introduire $x^{- 1} \in A$ et alors, par absorption, $1 = x x^{- 1} \in J$ et donc $J = A$ ce qui est exclu.

On en déduit que $x \in I$ . Ainsi, $J \subset I$ .

Exercice 13 141 Correction

( $Z$ est noethérien)

Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de $ℤ$ est stationnaire.
Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de $𝕂 [X]$ ?.

Solution

Une suite croissante $(I_{n})$ d’idéaux de $ℤ$ se détermine par une suite d’entiers naturels $(a_{n})$ vérifiant $I_{n} = a_{n} ℤ$ et $a_{n + 1} ∣ a_{n}$ . Si pour tout $n \in ℕ$ , $I_{n} = {0}$ alors la suite $(I_{n})$ est stationnaire.
Sinon à partir d’un certain rang $I_{n} \neq {0}$ et la relation $a_{n + 1} ∣ a_{n}$ entraîne $a_{n + 1} \leq a_{n}$ . La suite d’entiers naturels $(a_{n})$ est décroissante et donc stationnaire. Il en est de même pour $(I_{n})$ .
Ce résultat se généralise à $𝕂 [X]$ en travaillant avec une suite de polynômes unitaires $(P_{n})$ vérifiant $P_{n + 1} ∣ P_{n}$ ce qui permet d’affirmer en cas de non nullité $\deg (P_{n + 1}) \leq \deg (P_{n})$ puis $(\deg (P_{n}))$ stationnaire, puis encore $(P_{n})$ stationnaire et enfin $(I_{n})$ stationnaire.

Exercice 14 3635

(Description des idéaux de $Z^{2}$ )

Soit $I$ un idéal de l’anneau produit $(ℤ^{2}, +, \times)$ . On introduit

I_{1} = {x \in ℤ | (x,0) \in I} et I_{2} = {y \in ℤ | (0, y) \in I} .

(a)

Montrer que $I_{1}$ et $I_{2}$ sont des idéaux de $(ℤ, +, \times)$ .
(b)

Établir $I = I_{1} \times I_{2}$ .
(c)

Conclure que les idéaux de l’anneau $(ℤ^{2}, +, \times)$ sont de la forme¹¹ 1 Autrement dit, les idéaux de $ℤ^{2}$ sont principaux (voir le sujet 3854). $x ℤ^{2}$ avec $x \in ℤ^{2}$ .

Exercice 15 5813 Correction

On étudie l’ensemble

ℤ [j] = {a + b j | a, b \in ℤ} avec j = e^{2 i π / 3} .

(a)

Montrer que $ℤ [j]$ est un anneau pour les opérations numériques usuelles.
(b)

Prouver qu’un élément $x \in ℤ [j]$ est inversible si, et seulement si, $| x | = 1$ .

Préciser alors quels sont les éléments inversibles de l’anneau $ℤ [j]$ .
(c)

Soient $x, y \in ℤ [j]$ avec $y \neq 0$ .

Prouver l’existence de $(q, r) \in ℤ {[j]}^{2}$ vérifiant $x = q y + r$ et $| r | < | y |$ .
(d)

En déduire que les idéaux de $ℤ [j]$ sont de la forme $x ℤ [j]$ avec $x \in ℤ [j]$ .

Solution

(a)

Vérifions que $ℤ [j]$ est un sous-anneau de l’anneau $(ℂ, +, \times)$ .

On a immédiatement $ℤ [j] \subset ℂ$ et $1 = 1 + 0 j \in ℤ [j]$ .

Soient $x, y \in ℤ [j]$ . On peut écrire $x = a + b j$ et $y = c + d j$ avec $a, b, c, d \in ℤ$ . On a alors

$x - y$ $= (a - c) + (b - d) j \in ℤ [j]$

$x y$ $= a c + (a d + b c) j + b d j^{2} = (a c - b d) + (a d + b c - b d) j \in ℤ [j]$

car $j^{2} = - 1 - j$ .

Ainsi, $ℤ [j]$ est un sous-anneau de $(ℂ, +, \times)$ et c’est donc un anneau pour les opérations numériques usuelles.
(b)

Pour $x = a + b j \in ℤ [j]$ avec $a, b \in ℤ$ , on a

${| x |}^{2} = x \bar{x} = (a + b j) (a + b j^{2}) = a^{2} - a b + b^{2} \in ℕ .$

Si $x$ est inversible dans $ℤ [j]$ alors il existe $y \in ℤ [j]$ vérifiant $x y = 1$ . On a alors ${| x |}^{2} {| y |}^{2} = 1$ avec ${| x |}^{2}, {| y |}^{2} \in ℕ$ . On en déduit ${| x |}^{2} = 1$ soit $| x | = 1$ . Inversement, si $| x | = 1$ alors

$y = \frac{1}{x} = \frac{\bar{x}}{{| x |}^{2}} = \bar{x} \in ℤ [j] .$

On en déduit que $x$ est inversible dans $ℤ [j]$ .

Pour déterminer les $x = a + b j \in ℤ [j]$ inversibles dans $ℤ [j]$ , il suffit alors de résoudre l’équation $a^{2} - a b + b^{2} = 1$ d’inconnue $(a, b) \in ℤ^{2}$ . On remarque

$a^{2} - a b + b^{2} = \frac{1}{2} (a^{2} + b^{2}) + \frac{1}{2} {(a - b)}^{2} .$

Un couple $(a, b) \in ℤ^{2}$ solution de l’équation $a^{2} - a b + b^{2} = 1$ vérifie nécessairement $a^{2} + b^{2} \leq 2$ et donc $a, b \in {- 1, 0, 1}$ . Cela propose $9$ couples $(a, b)$ possibles qu’il suffit de lister pour identifier les solutions. À terme, les éléments inversibles de $ℤ [j]$ sont

$1, - 1, j, - j, 1 + j = - j^{2} et - 1 - j = j^{2} .$

On reconnaît ici la liste des racines $6$ -ièmes de l’unité.
(c)

Considérons $z = x / y \in ℂ$ . On peut écrire $z = α + β j$ avec $(α, β) \in ℝ^{2}$ car $(1, j)$ est une base du $ℝ$ -espace vectoriel $ℂ$ . Posons alors $a$ l’entier le plus proche¹¹ 1 Celui-ci est déterminé de manière unique lorsque $α \notin 1 / 2 + ℤ$ . Sinon, deux entiers sont équidistants de $α$ et l’on choisit n’importe lequel des deux. de $α$ et $b$ celui le plus proche de $β$ . Posons ensuite $q = a + b j$ et enfin $r = x - q y$ . On vérifie $x = q y + r$ avec $q, r \in ℤ [j]$ . De plus,

${| z - q |}^{2}$ $= {| (α - a) + (β - b) j |}^{2} = {(α - a)}^{2} - (α - a) (β - b) + {(β - b)}^{2}$

$= \frac{1}{2} ({(α - a)}^{2} + {(β - b)}^{2}) + \frac{1}{2} {(α - a + β - b)}^{2}$

$\leq \frac{1}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} < 1$

et donc

$| r | = | z - q | | y | < | y | .$
(d)

On sait déjà que pour $x \in ℤ [j]$ , l’ensemble $x ℤ [j]$ est un idéal de l’anneau $ℤ [j]$ . Inversement, soit $I$ un idéal de $ℤ [j]$ .

Si $I = {0}$ alors $I = x ℤ [j]$ avec $x = 0 \in ℤ [j]$ .

Si $I \neq {0}$ , introduisons

$d = \min {| y | | y \in I ∖ {0}}$

et considérons $x \in I$ tel que $d = | x |$ .

On a $x ℤ [j] \subset I$ par absorption de l’idéal $I$ .

Soit $y \in I$ . Par la question précédente (avec des notations inversées), il existe $q, r \in ℤ [j]$ tels que $y = q x + r$ avec $| r | < | x |$ . Or, par opérations dans l’idéal $I$ , $r = y - q x \in I$ avec $| r | < d$ . On en déduit $r = 0$ puis $y = q x \in x ℤ [j]$ . Par double inclusion, $I = x ℤ [j]$ .

Les idéaux de $ℤ [j]$ sont donc les $x ℤ [j]$ avec $x$ parcourant $ℤ [j]$ .

Exercice 16 2661 MINES (MP)

Soit $p$ un nombre premier. On note $Z_{p}$ l’ensemble des nombres rationnels dont le dénominateur n’est pas divisible par $p$ .

(a)

Vérifier que $Z_{p}$ est un sous-anneau de $(ℚ, +, \times)$ . Quels en sont les éléments inversibles?

On introduit $J$ l’ensemble des éléments non inversibles de $Z_{p}$ .

(b)

Montrer que $J$ est un idéal de $Z_{p}$ . Que dire d’un idéal contenant $J$ et distinct de $J$ ?
(c)

Déterminer tous les idéaux de $Z_{p}$ .

Exercice 17 2367 CENTRALE (MP)Correction

Soit $A$ un sous-anneau de $ℚ$ .

(a)

Soient $p$ un entier et $q$ un entier strictement positif premier avec $p$ . Montrer que si $p / q \in A$ alors $1 / q \in A$ .
(b)

Soit $I$ un idéal de $A$ autre que ${0}$ . Montrer qu’il existe $n \in ℕ^{*}$ tel que $I \cap ℤ = n ℤ$ et qu’alors $I = n A$ .
(c)

Soit $p$ un nombre premier. On pose

$Z_{p} = {a / b | a \in ℤ, b \in ℕ^{*}, p \land b = 1} .$

Montrer que si $x \in ℚ^{*}$ alors $x$ ou $1 / x$ appartient à $Z_{p}$ .
(d)

On suppose ici que $x$ ou $1 / x$ appartient à $A$ pour tout $x \in ℚ^{*}$ . On note $I$ l’ensemble des éléments non inversibles de $A$ .
Montrer que $I$ inclut tous les idéaux stricts de $A$ . En déduire que $A = ℚ$ ou $A = Z_{p}$ pour un certain nombre premier $p$ .

Solution

Notons qu’un sous-anneau de $ℚ$ possédant 1 contient nécessairement $ℤ$ .

(a)

Par égalité de Bézout, on peut écrire $p u + q v = 1$ avec $u, v \in ℤ$ . Si $\frac{p}{q} \in A$ alors

$\frac{1}{q} = u \frac{p}{q} + v .1 \in A .$
(b)

$I \cap ℤ$ est un sous-groupe de $(ℤ, +)$ donc il est de la forme $n ℤ$ avec $n \in ℕ$ .
Puisque $I \neq {0}$ , il existe $p / q \in I$ non nul et par absorption, $p = q . p / q \in I \cap ℤ$ avec $p \neq 0$ . Par suite, $I \cap ℤ \neq {0}$ et donc $n \in ℕ^{*}$ .
Puisque $n \in I$ , on peut affirmer par absorption que $n A \subset I$ .
Inversement, pour $p / q \in I$ avec $p \land q = 1$ on a $1 / q \in A$ et $p \in n ℤ$ donc $p / q \in n A$ . Ainsi $I = n A$ .
(c)

On peut vérifier que $Z_{p}$ est un sous-anneau de $ℚ$ .
Pour $x = a / b \in ℚ^{*}$ avec $a \land b = 1$ . Si $p ∣ b$ alors $p \land b = 1$ et $x \in Z_{p}$ . Sinon $p ∣ b$ et donc $p ∣ a$ d’où l’on tire $1 / x \in Z_{p}$ .
(d)

Soit $J$ un idéal strict de $A$ . $J$ ne contient pas d’éléments inversibles de $A$ car sinon il devrait contenir 1 et donc être égal à $A$ .
Ainsi, $J$ est inclus dans $I$ . De plus, on peut montrer que $I$ est un idéal de $A$ .
En effet, $I \subset A$ et $0 \in I$ .
Soient $a \in A$ et $x \in I$ .

Cas: $a = 0$ . $a x = 0 \in I$ .

Cas: $a \neq 0$ . Supposons ${(a x)}^{- 1} \in A$ alors $a^{- 1} x^{- 1} \in A$ et donc $x^{- 1} = a (a^{- 1} x^{- 1}) \in A$ ce qui est exclu. Ainsi, ${(a x)}^{- 1} \notin A$ et donc $a x \in I$ .
Soient $x, y \in I$ . Montrons que $x + y \in I$ .

Cas: $x = 0$ , $y = 0$ ou $x + y = 0$ . C’est immédiat.

Cas: $x \neq 0$ , $y \neq 0$ et $x + y \neq 0$ . On a ${(x + y)}^{- 1} (x + y) = 1$ donc

${(x + y)}^{- 1} (1 + x^{- 1} y) = x^{- 1} et {(x + y)}^{- 1} (1 + x y^{- 1}) = y^{- 1} (*).$

Par l’hypothèse de départ, l’un au moins des deux éléments $x^{- 1} y$ ou $x y^{- 1} = {(x^{- 1} y)}^{- 1}$ appartient à $A$ .
Par opérations dans $A$ à l’aide des relations (*), si ${(x + y)}^{- 1} \in A$ alors $x^{- 1}$ ou $y^{- 1}$ appartient à $A$ ce qui est exclu. Ainsi ${(x + y)}^{- 1} \notin A$ et donc $x + y \in I$ .

Finalement, $I$ est un idéal de $A$ .
Par suite, il existe $n \in ℕ$ , vérifiant $I = n A$ .
Si $n = 0$ alors $I = {0}$ et alors $A = ℚ$ car pour tout $x \in ℚ^{*}$ , $x$ ou $1 / x \in A$ et dans les deux cas $x \in A$ car $I = {0}$ .
Si $n = 1$ alors $I = A$ ce qui est absurde car $1 \in A$ est inversible.
Nécessairement $n \geq 2$ . Si $n = q r$ avec $2 \leq q, r \leq n - 1$ alors puisque $1 / n \notin A$ , au moins l’un des éléments $1 / q$ et $1 / r \notin A$ . Quitte à échanger, on peut supposer $1 / q \notin A$ . $q A$ est alors un idéal strict de $A$ donc $q A \subset I$ . Inversement, $I \subset q A$ puisque $n$ est multiple de $q$ . Ainsi, si $n$ n’est pas premier alors il existe un facteur non trivial $q$ de $n$ tel que $I = n A = q A$ . Quitte à recommencer, on peut se ramener à un nombre premier $p$ .
Finalement, il existe un nombre premier $p$ vérifiant $I = p A$ .
Montrons qu’alors $A = Z_{p}$ .
Soit $x \in A$ . On peut écrire $x = a / b$ avec $a \land b = 1$ . On sait qu’alors $1 / b \in A$ donc si $p ∣ b$ alors $1 / p \in A$ ce qui est absurde car $p \in I$ . Ainsi $p ∣ b$ et puisque $p$ est premier, $p \land b = 1$ . Ainsi $A \subset Z_{p}$ .
Soit $x \in Z_{p}$ , $x = a / b$ avec $b \land p = 1$ . Si $x \notin A$ alors $x \neq 0$ et $1 / x = b / a \in A$ puis $b / a \in I \in p A$ ce qui entraîne, après étude arithmétique, $p ∣ b$ et est absurde.
Ainsi $Z_{p} \subset A$ puis finalement $Z_{p} = A$ .

[<] Calculs dans un anneau [>] Corps

Édité le 08-01-2024

	$- x$	$= \frac{- p}{10^{n}} \in 𝔻$
	$x + y$	$= \frac{p 10^{m} + q 10^{n}}{10^{n + m}} \in 𝔻$
	$x y$	$= \frac{p q}{10^{n + m}} \in 𝔻$

	$x - y$	$= (a - c) + (b - d) j \in ℤ [j]$
	$x y$	$= a c + (a d + b c) j + b d j^{2} = (a c - b d) + (a d + b c - b d) j \in ℤ [j]$

	${\| z - q \|}^{2}$	$= {\| (α - a) + (β - b) j \|}^{2} = {(α - a)}^{2} - (α - a) (β - b) + {(β - b)}^{2}$
		$= \frac{1}{2} ({(α - a)}^{2} + {(β - b)}^{2}) + \frac{1}{2} {(α - a + β - b)}^{2}$
		$\leq \frac{1}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) + \frac{1}{2} = \frac{3}{4} < 1$