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Exercice 1  4235  

Soit A un anneau commutatif.

  • (a)

    Que dire d’un idéal de A qui contient le neutre 1A?

  • (b)

    Quels sont les idéaux d’un corps K?

 
Exercice 2  3854   

Un idéal d’un anneau (A,+,×) est dit principal lorsqu’il est de la forme xA pour un certain xA.

Montrer que les idéaux de tous les sous-anneaux de sont principaux.

 
Exercice 3  135   Correction  

On note

𝔻={p10n|p,n}

l’ensemble des nombres décimaux.

  • (a)

    Montrer que 𝔻 est un sous-anneau de (,+,×).

  • (b)

    Montrer que les idéaux de 𝔻 sont principaux (c’est-à-dire de la forme a𝔻 avec a𝔻).

Solution

  • (a)

    Il suffit de vérifier les axiomes définissant un sous-anneau…

  • (b)

    Soit I un idéal de 𝔻. L’intersection I est un sous-groupe de (,+) donc il existe a vérifiant

    I=a.

    Puisque aI, on a a𝔻I.
    Inversement, soit xI. On peut écrire

    x=p10n avec p et n.

    On a alors 10nxI par absorption donc pI. On en déduit ap puis xa𝔻.
    Finalement, I=a𝔻

 
Exercice 4  136   Correction  

(Nilradical d’un anneau)

On appelle nilradical d’un anneau commutatif (A,+,×) l’ensemble N formé des éléments nilpotents de A c’est-à-dire des xA tels qu’il existe n* vérifiant xn=0A.
Montrer que N est un idéal de A.

Solution

NA, 0AN donc N. Pour x,yN, il existe n,m* tel que xn=ym=0A.
Par la formule du binôme,

(x+y)n+m-1=k=0n+m-1(n+m-1k)xkyn+m-1-k.

Pour kn, xk=0A et pour kn-1, yn+m-1-k=0A. Dans les deux cas xkyn+m-1-k=0A et donc (x+y)n+m-1=0A. Par suite, x+yN.
Enfin pour aA et xN, axN car (ax)n=anxn.

 
Exercice 5  4240   

(Radical d’un idéal)

Soit I un idéal d’un anneau commutatif A. On appelle radical11 1 Lorsque I={0}, le radical de I regroupe les éléments nilpotents de l’anneau A. de l’idéal I l’ensemble R(I) des éléments x de A pour lesquels il existe q* tel que xqI.

  • (a)

    Montrer que R(I) est un idéal de A contenant I.

  • (b)

    Soit I et J deux idéaux. Vérifier

    R(IJ)=R(I)R(J)
  • (c)

    On suppose que A=. Déterminer le radical de n pour n.

 
Exercice 6  5378     ENSTIM (MP)Correction  

Soit (A,+,×) un anneau. On considère

R={xA|aA, 1A+ax est inversible}.

Montrer que R est un idéal de l’anneau (A,+,×).

Solution

R est évidemment une partie de A et celle-ci contient 0A.

Soient x,yR. Pour tout aA,

1A+a(x+y)=1A+ax+ay=(1A+ax)(1A+by) avec b=(1A+ax)-1aA.

Par produit d’éléments inversibles, 1A+a(x+y) est inversible. Ainsi, x+yR.

Soient xR et αA. Pour tout aA,

1A+a(αx)=1A+bx avec b=aαA.

Ainsi, αxR.

Finalement, R est un idéal de (A,+,×).

 
Exercice 7  4239   

(Idéaux premiers)

Un idéal I d’un anneau commutatif (A,+,×) est dit premier lorsque

(x,y)A2,xyIxI ou yI.
  • (a)

    Déterminer les idéaux premiers de .

  • (b)

    On suppose que A un anneau commutatif non réduit à {0A} dont tout idéal est premier. Établir que A est intègre puis que A est un corps.

 
Exercice 8  3843   Correction  

Soit A un anneau intègre. On suppose que l’anneau A ne possède qu’un nombre fini d’idéaux.
Montrer que A est un corps.

Solution

Soit xA avec x0A. Il suffit d’établir que x est inversible pour conclure.
Pour chaque n, xnA est un idéal. Puisque l’anneau A ne possède qu’un nombre fini d’idéaux, il existe p<q tels que xpA=xqA. En particulier, puisque xpxpA, il existe aA tel que

xp=xqa.

On a alors

xp(1A-xq-pa)=0A.

L’anneau A étant intègre et sachant x0A, on a nécessairement

xq-pa=1A.

On en déduit que x est inversible avec

x-1=xq-p-1a.
 
Exercice 9  138  Correction  

Soient A un anneau commutatif et e un élément idempotent de A (c’est-à-dire e2=e).

  • (a)

    Montrer que J={xA|xe=0} est un idéal de A.

  • (b)

    On note I=Ae l’idéal principal engendré par e. Déterminer I+J et IJ.

  • (c)

    Établir que pour tout idéal K de A:

    (KI)+(KJ)=K.

Solution

  • (a)

    sans difficultés.

  • (b)

    Pour tout xA, x=xe+x(1-e) avec xeI et x-xeJ. Par suite, I+J=A.
    Si xeJ alors xe=xe2=0 donc IJ={0}.

  • (c)

    L’inclusion (KI)+(KJ)K est immédiate. L’inclusion réciproque provient de l’écriture x=xe+x(1-e).

 
Exercice 10  2450   Correction  

Soit A un sous-anneau d’un corps K vérifiant, pour tout xK,

x0KxA ou x-1A.

On forme I l’ensemble des éléments de l’anneau A non inversibles.

  • (a)

    Montrer que I est un idéal de A.

  • (b)

    Montrer que tout idéal de A autre que A est inclus dans I.

Solution

  • (a)

    I est une partie non vide de A puisque 0A en est élément. Soient aA et xI
    Si a=0 alors ax=0I.
    Pour a0, supposons (ax)-1A.
    On a alors a-1x-1A et donc x-1=a(a-1x-1)A ce qui est exclu.
    Nécessairement (ax)-1A et donc axI.
    Soient x,yI. Montrons que x+yI.
    Si x=0, y=0 ou x+y=0, c’est immédiat. Sinon:
    On a (x+y)-1(x+y)=1 donc

    (x+y)-1(1+x-1y)=x-1 et (x+y)-1(1+xy-1)=y-1 (*).

    Par l’hypothèse de départ, l’un au moins des deux éléments x-1y ou xy-1=(x-1y)-1 appartient à A.
    Par opérations dans A à l’aide des relations (*), si (x+y)-1A alors x-1 ou y-1 appartient à A ce qui est exclu. Ainsi, (x+y)-1A et donc x+yI.
    Finalement, I est un idéal de A.

  • (b)

    Soit J un idéal de A distinct de A.
    Pour tout xJ, si x-1A alors par absorption 1=xx-1J et donc J=A ce qui est exclu.
    On en déduit que x-1A et donc xI. Ainsi, JI.

 
Exercice 11  141   Correction  

(Z est noethérien)

Montrer que tout suite croissante (pour l’inclusion) d’idéaux de est stationnaire.
Ce résultat se généralise-t-il aux idéaux de 𝕂[X]?.

Solution

Une suite croissante (In) d’idéaux de se détermine par une suite d’entiers naturels (an) vérifiant In=an et an+1an. Si pour tout n, In={0} alors la suite (In) est stationnaire.
Sinon à partir d’un certain rang In{0} et la relation an+1an entraîne an+1an. La suite d’entiers naturels (an) est décroissante et donc stationnaire. Il en est de même pour (In).
Ce résultat se généralise à 𝕂[X] en travaillant avec une suite de polynômes unitaires (Pn) vérifiant Pn+1Pn ce qui permet d’affirmer en cas de non nullité deg(Pn+1)deg(Pn) puis (deg(Pn)) stationnaire, puis encore (Pn) stationnaire et enfin (In) stationnaire.

 
Exercice 12  3635   

(Description des idéaux de Z2)

Soit I un idéal de l’anneau produit (2,+,×). On introduit

I1={x|(x,0)I}etI2={y|(0,y)I}.
  • (a)

    Montrer que I1 et I2 sont des idéaux de (,+,×).

  • (b)

    Établir I=I1×I2.

  • (c)

    Conclure que les idéaux de l’anneau (2,+,×) sont de la forme x2 avec x2.

 
Exercice 13  2661     MINES (MP)

Soit p un nombre premier. On note Zp l’ensemble des nombres rationnels dont le dénominateur n’est pas divisible par p.

  • (a)

    Vérifier que Zp est un sous-anneau de (,+,×). Quels en sont les éléments inversibles?

On introduit J l’ensemble des éléments non inversibles de Zp.

  • (b)

    Montrer que J est un idéal de Zp. Que dire d’un idéal contenant J et distinct de J?

  • (c)

    Déterminer tous les idéaux de Zp.

 
Exercice 14  2367      CENTRALE (MP)Correction  

Soit A un sous-anneau de .

  • (a)

    Soit p un entier et q un entier strictement positif premier avec p. Montrer que si p/qA alors 1/qA.

  • (b)

    Soit I un idéal de A autre que {0}. Montrer qu’il existe n* tel que I=n et qu’alors I=nA.

  • (c)

    Soit p un nombre premier. On pose

    Zp={a/b|a,b*,pb=1}.

    Montrer que si x* alors x ou 1/x appartient à Zp.

  • (d)

    On suppose ici que x ou 1/x appartient à A pour tout x*. On note I l’ensemble des éléments non inversibles de A.
    Montrer que I inclut tous les idéaux stricts de A. En déduire que A= ou A=Zp pour un certain nombre premier p.

Solution

Notons qu’un sous-anneau de possédant 1 contient nécessairement .

  • (a)

    Par égalité de Bézout, on peut écrire pu+qv=1 avec u,v. Si pqA alors

    1q=upq+v.1A.
  • (b)

    I est un sous-groupe de (,+) donc il est de la forme n avec n.
    Puisque I{0}, il existe p/qI non nul et par absorption, p=q.p/qI avec p0. Par suite, I{0} et donc n*.
    Puisque nI, on peut affirmer par absorption que nAI.
    Inversement, pour p/qI avec pq=1 on a 1/qA et pn donc p/qnA. Ainsi I=nA.

  • (c)

    On peut vérifier que Zp est un sous-anneau de .
    Pour x=a/b* avec ab=1. Si pb alors pb=1 et xZp. Sinon pb et donc pa d’où l’on tire 1/xZp.

  • (d)

    Soit J un idéal strict de A. J ne contient pas d’éléments inversibles de A car sinon il devrait contenir 1 et donc être égal à A.
    Ainsi, J est inclus dans I. De plus, on peut montrer que I est un idéal de A.
    En effet, IA et 0I.
    Soient aA et xI.

    Cas: a=0. ax=0I.

    Cas: a0. Supposons (ax)-1A alors a-1x-1A et donc x-1=a(a-1x-1)A ce qui est exclu. Ainsi, (ax)-1A et donc axI.
    Soient x,yI. Montrons que x+yI.

    Cas: x=0, y=0 ou x+y=0. C’est immédiat.

    Cas: x0, y0 et x+y0. On a (x+y)-1(x+y)=1 donc

    (x+y)-1(1+x-1y)=x-1 et (x+y)-1(1+xy-1)=y-1 (*).

    Par l’hypothèse de départ, l’un au moins des deux éléments x-1y ou xy-1=(x-1y)-1 appartient à A.
    Par opérations dans A à l’aide des relations (*), si (x+y)-1A alors x-1 ou y-1 appartient à A ce qui est exclu. Ainsi (x+y)-1A et donc x+yI.

    Finalement, I est un idéal de A.
    Par suite, il existe n, vérifiant I=nA.
    Si n=0 alors I={0} et alors A= car pour tout x*, x ou 1/xA et dans les deux cas xA car I={0}.
    Si n=1 alors I=A ce qui est absurde car 1A est inversible.
    Nécessairement n2. Si n=qr avec 2q,rn-1 alors puisque 1/nA, au moins l’un des éléments 1/q et 1/rA. Quitte à échanger, on peut supposer 1/qA. qA est alors un idéal strict de A donc qAI. Inversement, IqA puisque n est multiple de q. Ainsi, si n n’est pas premier alors il existe un facteur non trivial q de n tel que I=nA=qA. Quitte à recommencer, on peut se ramener à un nombre premier p.
    Finalement, il existe un nombre premier p vérifiant I=pA.
    Montrons qu’alors A=Zp.
    Soit xA. On peut écrire x=a/b avec ab=1. On sait qu’alors 1/bA donc si pb alors 1/pA ce qui est absurde car pI. Ainsi pb et puisque p est premier, pb=1. Ainsi AZp.
    Soit xZp, x=a/b avec bp=1. Si xA alors x0 et 1/x=b/aA puis b/aIpA ce qui entraîne, après étude arithmétique, pb et est absurde.
    Ainsi ZpA puis finalement Zp=A.

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Édité le 08-11-2019

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