[<] Calculs de déterminants tridiagonaux [>] Déterminants de Vandermonde et apparentés

 
Exercice 1  2387     CENTRALE (MP)Correction  
  • (a)

    Soient A,Bn(). Montrer que

    det(AB-BA)0.
  • (b)

    Soient A,Bn() telles que AB=BA. Montrer que det(A2+B2)0.

  • (c)

    Trouver un contre-exemple à b) si A et B ne commutent pas.

  • (d)

    Soient A,B,C,Dn() telles que AC=CA. Montrer que

    det(ABCD)=det(AD-CB).

Solution

  • (a)

    En multipliant les n dernières lignes par i et les n dernières colonnes aussi:

    det(AB-BA)=(-1)ndet(AiB-iB-A)

    puis par opérations sur les lignes

    det(AB-BA)=(-1)ndet(AiBA-iB-A+iB)

    et par opérations sur les colonnes

    det(AB-BA)=(-1)ndet(A+iBiB0-A+iB).

    On en déduit

    det(AB-BA)=(-1)ndet(A+iB)det(-A+iB)

    et enfin

    det(AB-BA)=det(A+iB)det(A-iB).

    Les matrices A et B étant réelles, cette écriture est de la forme zz¯=|z|20.

  • (b)

    det(A+iB)det(A-iB)=det(A2+B2) car A et B commutent donc det(A2+B2)0.

  • (c)

    A=(1201) et B=(1021) par exemple.

  • (d)

    Si A est inversible, on remarque

    (IO-CA-1I)(ABCD)=(AB0-CA-1B+D)

    donc det(ABCD)=det(A)det(-CA-1B+D)=det(AD-CB) car A et C commutent.
    On étend cette égalité aux matrices non inversibles par densité:
    Les applications Adet(ABCD) et Adet(AD-CB) sont continues et coïncident sur l’ensemble des matrices inversibles commutant avec C. Or cet ensemble est dense dans l’ensemble des matrices commutant avec C: si A commute avec C alors pour tout λ>0 assez petit A+λIn est inversible et commute avec C). Par coïncidence d’applications continues sur une partie dense, les deux applications sont égales.

 
Exercice 2  1424   

Soient A,Bn().

  • (a)

    Montrer

    |ABBA|=det(A+B)det(A-B).
  • (b)

    Justifier

    |A-BBA|0.
 
Exercice 3  198     CENTRALE (PC)

Soient An() et

M=(InAAIn)2n().
  • (a)

    À quelle condition la matrice A est-elle inversible?

  • (b)

    Donner son inverse quand cela est possible.

 
Exercice 4  3130   

Soit A,B,C,Dn() avec D inversible.

  • (a)

    Établir

    det(ABCD)=det(AD-BD-1CD).
  • (b)

    Comment simplifier cette formule si C et D commutent ou si B et D commutent?

 
Exercice 5  4226   

Soient A,B,C,Dn() telles que C et D commutent.

  • (a)

    On suppose que D est inversible. Établir

    det(ABCD)=det(AD-BC).

On introduit Dt=(1-t)D+tIn avec t.

  • (b)

    Justifier que Dt est inversible sauf pour un nombre fini de valeurs de t.

  • (c)

    Généraliser la formule de la première question au cas où la matrice D n’est plus supposée inversible.

 
Exercice 6  3147   Correction  

Soient A,B,C,Dn().

  • (a)

    On suppose CDt symétrique et D inversible. Montrer que

    det(ABCD)=det(ADt-BCt).
  • (b)

    On suppose toujours CDt symétrique mais on ne suppose plus D inversible.
    Montrer que l’égalité précédente reste vraie.

Solution

  • (a)

    Cas: D inversible. Sachant CDt=DCt, on a

    (ABCD)(DtOn-CtIn)=(ADt-BCtBOnD)

    et, en passant au déterminant, on obtient la relation

    det(ABCD)det(Dt)=det(ADt-BCt)det(D)

    puis la relation voulue sachant det(D)=det(Dt)0

  • (b)

    Cas: D non inversible. Posons r=rg(C). On peut écrire C=PJrQ avec P,Q inversibles et Jr la matrice (symétrique) dont tous les coefficients sont nuls sauf les r premiers de la diagonale qui sont égaux à 1. Considérons alors D=D+λPQ-1t pour λ.
    On peut écrire

    D=P(P-1DQt+λIn)Q-1t.

    Si -λ n’est pas valeur propre de P-1DQt, la matrice D est inversible.
    Puisqu’une matrice n’a qu’un nombre fini de valeurs propres, la matrice D est assurément inversible quand λ0+ avec λ assez petit.
    De plus, CDt est symétrique car

    CDt-DCt=CDt+λPJrQQ-1Pt-DCt-λPQ-1tQtJrtPt=0.

    Par l’étude qui précède, on obtient

    det(ABCD)=det(ADt-BCt)

    et en passant à la limite quand λ0+, on obtient

    det(ABCD)=det(ADt-BCt).
 
Exercice 7  2694      MINES (MP)Correction  

Soient A,B,C,Dn(𝕂) avec AC=CA. Montrer que

det(ACBD)=det(DA-BC).

Solution

Supposons pour commencer la matrice A inversible.
Par opérations par blocs:

(ACBD)(I-A-1C0I)=(A0BD-BA-1C).

On en déduit

|ACBD|=det(D-BA-1C)det(A)=det(DA-BA-1CA).

Or les matrices A et C commutent donc A-1 et C commutent aussi et

|ACBD|=det(DA-BC).

Supposons A non inversible.
Pour p assez grand, la matrice Ap=A+1pI est inversible et commute avec C donc

det(ApCBD)=det(DAp-BC).

En passant à la limite quand p+, la continuité du déterminant donne

det(ACBD)=det(DA-BC).
 
Exercice 8  3288      MINES (MP)Correction  

Soient A,B,C,D des matrices carrées d’ordre n, réelles et commutant deux à deux. Montrer que la matrice

M=(ABCD)

est inversible si, et seulement si, AD-BC l’est.

Solution

Cas: La matrice A inversible. Pour

P=(In-A-1BOnIn)

on a

MP=(AOnC-CA-1B+D).

On en déduit

det(M)=det(MP)=det(A)×det(-CA-1B+D).

Or

det(A)×det(-CA-1B+D)=det(AD-ACA-1B)=det(AD-BC)

car la matrice C commute avec les matrices A et B.
On en déduit

det(M)=det(AD-BC).

Cas général: Pour p* assez grand, la matrice Ap=A+1/pIn est inversible et les matrices Ap,B,C,D commutent deux à deux. Si on pose

Mp=(ApBCD)

l’étude qui précède donne

det(Mp)=det(ApD-BC).

En faisant tendre p vers +, on obtient à la limite

det(M)=det(AD-BC).

Il est alors immédiat de conclure que l’inversibilité de M équivaut à celle de AD-BC.

 
Exercice 9  713   Correction  

On considère une matrice Mn(𝕂) inversible écrite sous la forme

M=(ABCD)

avec Ap(𝕂) et Dn-p(𝕂).
On écrit la comatrice de M sous une forme analogue

Com(M)=(ABCD)

avec Ap(𝕂) et Dn-p(𝕂).
Vérifier

det(A)=det(M)p-1det(D).

Solution

On introduit

N=(AtOp,n-pBtIn-p).

On a

MN=(AAt+BBtBCAt+DBtD).

Or

M(Com(M))t=(AAt+BBtACt+BDtCAt+DBtCCt+DDt)=(det(M))nIp

donc

MN=(det(M)IpBOn-p,pD).

En passant cette relation au déterminant, on obtient

det(M)×det(At)=det(M)pdet(D)

puis facilement la relation proposée sachant det(M)0.

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Édité le 08-11-2019

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