Exercice 1 3264 Correction

Soient $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ et

B = (\begin{matrix} O_{n} & A \\ I_{n} & O_{n} \end{matrix}) \in ℳ_{2 n} (𝕂) .

(a)

Montrer que $A$ est inversible si, et seulement si, $B$ l’est.
(b)

Calculer $B^{p}$ pour tout $p \in ℕ$ .

Solution

(a)

Si $A$ est inversible alors en posant

$C = (\begin{matrix} O_{n} & I_{n} \\ A^{- 1} & O_{n} \end{matrix}) \in ℳ_{2 n} (𝕂)$

on obtient $B C = I_{2 n}$ et l’on en déduit que $B$ est inversible et que $C$ est son inversible en vertu du théorème d’inversibilité.
Si $A$ n’est pas inversible alors les lignes de $A$ sont liées et les $n$ premières lignes de $B$ sont aussi liées par la même relation linéaire. On en déduit que $B$ n’est pas inversible.
(b)

On obtient

$B^{2 p} = (\begin{matrix} A^{p} & O_{n} \\ O_{n} & A^{p} \end{matrix}) et B^{2 p + 1} = (\begin{matrix} O_{n} & A^{p + 1} \\ A^{p} & O_{n} \end{matrix}) .$

Exercice 2 3702 CCINP (PC)Correction

Soit

A = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix}) .

Calculer $A^{n}$ pour tout $n \in ℤ$ .

Solution

Par blocs, on a

A = (\begin{matrix} M & O_{2} \\ O_{2} & - M \end{matrix}) avec M = (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

Par récurrence, on obtient

\forall n \in ℕ, M^{n} = (\begin{matrix} 1 & - n \\ 0 & 1 \end{matrix})

et on en déduit

\forall n \in ℕ, A^{n} = (\begin{matrix} 1 & - n & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {(- 1)}^{n} & {(- 1)}^{n + 1} n \\ 0 & 0 & 0 & {(- 1)}^{n} \end{matrix}) .

On vérifie que cette relation est encore valable pour $n \in ℤ$ en constatant que cette expression satisfait

A^{n} \times A^{- n} = I_{4} .

Exercice 3 5614 Correction

Soient $A, B \in ℳ_{n} (ℝ)$ vérifiant $A B = B A$ . Exprimer simplement $M^{k}$ pour $k \in ℕ^{*}$ et

M = (\begin{matrix} A & B \\ O_{n} & A \end{matrix}) \in ℳ_{2 n} (ℝ)

Solution

Par produit par blocs,

M^{2} = (\begin{matrix} A^{2} & A B + B A \\ O_{n} & A^{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A^{2} & 2 A B \\ O_{n} & A^{2} \end{matrix}), M^{3} = (\begin{matrix} A^{3} & 3 A^{2} B \\ O_{n} & A^{3} \end{matrix}) .

Par récurrence, montrons que pour tout $k \in ℕ^{*}$

M^{k} = (\begin{matrix} A^{k} & k A^{k - 1} B \\ O_{n} & A^{k} \end{matrix}) .

La propriété est immédiate pour $k = 1$ .

Supposons l’égalité vraie pour $k \in ℕ^{*}$ . Par produit par blocs,

	$M^{k + 1}$	$= M^{k} M = (\begin{matrix} A^{k} & k A^{k - 1} B \\ O_{n} & A^{k} \end{matrix}) (\begin{matrix} A & B \\ O_{n} & A \end{matrix})$
		$= (\begin{matrix} A^{k + 1} & A^{k} B + k A^{k - 1} B A \\ O_{n} & A^{k + 1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A^{k + 1} & (k + 1) A^{k} B \\ O_{n} & A^{k + 1} \end{matrix}) .$

La récurrence est établie.

Exercice 4 5815 Correction

Soient $A, B, C \in ℳ_{n} (𝕂)$ et la matrice par blocs

M = (\begin{matrix} I_{n} & A & B \\ 0 & I_{n} & C \\ 0 & 0 & I_{n} \end{matrix}) .

Montrer que $M$ est inversible et calculer $M^{- 1}$ .

Solution

La matrice $M$ est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous non nuls, elle est inversible. Recherchons l’inverse de $M$ sous la forme

N = (\begin{matrix} I_{n} & A^{'} & B^{'} \\ 0 & I_{n} & C^{'} \\ 0 & 0 & I_{n} \end{matrix}) .

Par produit par blocs,

M N = (\begin{matrix} I_{n} & A^{'} + A & B^{'} + A C^{'} + B \\ 0 & I_{n} & C^{'} + C \\ 0 & 0 & I_{n} \end{matrix}) .

Posons $A^{'} = - A$ , $C^{'} = - C$ et $B^{'} = - (A C^{'} + B) = A C - B$ . On obtient alors $M N = I_{3}$ et donc

M^{- 1} = N = M = (\begin{matrix} I_{n} & - A & A C - B \\ 0 & I_{n} & - C \\ 0 & 0 & I_{n} \end{matrix}) .

Exercice 5 5615 Correction

Soit $M$ la matrice par blocs

M = (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix})

avec $A, B, C, D \in ℳ_{n} (𝕂)$ .

(a)

Décrire par des opérations élémentaires par blocs les résultats des calculs $T M$ et $M T$ pour

$T = (\begin{matrix} I_{n} & P \\ 0 & I_{n} \end{matrix}) avec P \in {GL}_{n} (𝕂) .$
(b)

Par quelle matrice et de quel côté, faut-il multiplier $M$ pour échanger les deux blocs de colonnes?
(c)

Même question avec les blocs de lignes.

Solution

(a)

En posant le produit par blocs,

$M T = (\begin{matrix} A & A P + B \\ C & C P + D \end{matrix}) et T M = (\begin{matrix} A + P C & B + P D \\ C & D \end{matrix}) .$

Ces matrices correspondent aux résultats des transvections par blocs

$C_{2} \leftarrow C_{2} + C_{1} P et L_{1} \leftarrow L_{1} + P L_{2} .$
(b)

Posons

$E = (\begin{matrix} O_{n} & I_{n} \\ I_{n} & O_{n} \end{matrix}) .$

Par produit par blocs,

$M E = (\begin{matrix} B & A \\ D & C \end{matrix})$

est la matrice qui se déduit de $M$ par l’échange des deux blocs de colonnes.
(c)

Pour la même matrice $E$ , on obtient

$E M = (\begin{matrix} C & D \\ A & B \end{matrix}) .$

Exercice 6 747

Soit $M \in ℳ_{n} (𝕂)$ une matrice de rang $r$ que l’on suppose pouvoir écrire par blocs

M = (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) avec A \in {GL}_{r} (𝕂) .

(a)

Montrer que pour tout $X \in ℳ_{n - r,1} (𝕂)$ , il existe $Y \in ℳ_{r,1} (𝕂)$ telle que

$M (\begin{matrix} 0 \\ X \end{matrix}) = M (\begin{matrix} Y \\ 0 \end{matrix})$

où les $0$ désignent des colonnes nulles de tailles appropriées.
(b)

En déduire que $D = C A^{- 1} B$ .

Exercice 7 3137 Correction

Soient $A, B, C, D \in ℳ_{n} (𝕂)$ et

M = (\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}) \in ℳ_{2 n} (𝕂) .

On suppose que les matrices $A, D$ et $M$ sont inversibles.
Exprimer $M^{- 1}$ .

Solution

On peut écrire la matrice $M^{- 1}$ sous la forme

M^{- 1} = (\begin{matrix} A^{'} & B^{'} \\ C^{'} & D^{'} \end{matrix}) .

La relation $M M^{- 1} = I_{2 n}$ donne alors le système

{\begin{matrix} A A^{'} + B C^{'} & = I_{n} \\ C A^{'} + D C^{'} & = O_{n} \\ A B^{'} + B D^{'} & = O_{n} \\ C B^{'} + D D^{'} & = I_{n} \end{matrix}

qui entraîne

{\begin{matrix} (A - B D^{- 1} C) A^{'} & = I_{n} \\ C^{'} & = - D^{- 1} C A^{'} \\ B^{'} & = - A^{- 1} B D^{'} \\ (D - C A^{- 1} B) D^{'} & = I_{n} . \end{matrix}

On en déduit que les matrices $A - B D^{- 1} C$ et $D - C A^{- 1} B$ sont nécessairement inversible et $A^{'}$ et $D^{'}$ sont leurs inverses respectifs.
Au final

M^{- 1} = (\begin{matrix} {(A - B D^{- 1} C)}^{- 1} & A^{- 1} B {(C A^{- 1} B - D)}^{- 1} \\ D^{- 1} C {(B D^{- 1} C - A)}^{- 1} & {(D - C A^{- 1} B)}^{- 1} \end{matrix}) .

Exercice 8 4461

Soit $A \in ℳ_{n} (𝕂)$ . Calculer déterminant et trace de l’endomorphisme $f$ de $ℳ_{n} (𝕂)$ défini par $f (M) = A M$ .

Exercice 9 730 CENTRALE (MP)Correction

Soit $M$ une matrice carrée de taille $n$ à coefficients dans $𝕂 = ℝ$ ou $ℂ$ .

Montrer que si $tr (M) = 0$ , il existe deux matrices $A, B \in ℳ_{n} (𝕂)$ telles que

M = A B - B A .

Solution

Supposons que $M$ soit semblable à une matrice $M^{'}$ via une matrice inversible $P$ c’est-à-dire

M^{'} = P^{- 1} M P .

Si on peut écrire $M^{'} = A^{'} B^{'} - B^{'} A^{'}$ avec $A^{'}, B^{'} \in ℳ_{n} (𝕂)$ alors $M = A B - B A$ avec $A = P A^{'} P^{- 1}$ et $B = P B^{'} P^{- 1}$ .

On peut ainsi transformer la matrice $M$ en une matrice semblable sans changer la nature du problème.

Établissons maintenant le résultat demandé en raisonnant par récurrence sur la taille de la matrice $M$ .

Si $M$ est taille $1$ et de trace nulle, il s’agit de la matrice nulle et la propriété est évidente.

Supposons la propriété établie au rang $n \in ℕ^{*}$ .

Soit $M$ une matrice carrée d’ordre $n + 1$ de trace nulle.

Montrons que $M$ est semblable à une matrice de la forme

(\begin{matrix} 0 & * \\ * & * \end{matrix}) .

Si $M$ est matrice d’une homothétie alors $tr (M) = 0$ permet de conclure $M = O_{n}$ .

Sinon, il existe des vecteurs qui ne sont pas vecteurs propres de l’endomorphisme $f$ canoniquement associé à $M$ . Soit $x \in 𝕂^{n}$ , un tel vecteur. En introduisant une base de $𝕂^{n}$ dont $x$ et $f (x)$ sont les deux premiers vecteurs, la matrice de $f$ dans cette base est de la forme souhaitée et on obtient que la matrice $M$ est lui semblable.

Compte tenu de la remarque préliminaire, on suppose désormais que la matrice $M$ est de la forme

(\begin{matrix} 0 & L \\ C & M^{'} \end{matrix}) avec tr (M^{'}) = 0

Par l’hypothèse de récurrence, on peut écrire

M^{'} = A^{'} B^{'} - B^{'} A^{'} .

Soit $λ \in 𝕂$ qui n’est par valeur propre de la matrice $B^{'}$ .

En posant

A = (\begin{matrix} 1 & L {(B^{'} - λ I_{n})}^{- 1} \\ {(λ I_{n} - B^{'})}^{- 1} C & A^{'} \end{matrix}) et B = (\begin{matrix} 0 \\ 0 & B^{'} \end{matrix})

on obtient

M = A B - B A .

La récurrence est établie.

[>] Rang d'une matrice par blocs

Édité le 29-08-2023

Calcul par blocs