[<] Structures constituées de matrices [>] Matrice d'une application linéaire

 
Exercice 1  3264  Correction  

Soient An(𝕂) et

B=(OnAInOn)2n(𝕂).
  • (a)

    Montrer que A est inversible si, et seulement si, B l’est.

  • (b)

    Calculer Bp pour tout p.

Solution

  • (a)

    Si A est inversible alors en posant

    C=(OnInA-1On)2n(𝕂)

    on obtient BC=I2n et l’on en déduit que B est inversible et que C est son inversible en vertu du théorème d’inversibilité.
    Si A n’est pas inversible alors les lignes de A sont liées et les n premières lignes de B sont aussi liées par la même relation linéaire. On en déduit que B n’est pas inversible.

  • (b)

    On obtient

    B2p=(ApOnOnAp)etB2p+1=(OnAp+1ApOn).
 
Exercice 2  3702    CCP (PC)Correction  

Soit

A=(1-100010000-11000-1).

Calculer An pour tout n.

Solution

Par blocs, on a

A=(MO2O2-M) avec M=(1-101).

Par récurrence, on obtient

n,Mn=(1-n01)

et on en déduit

n,An=(1-n00010000(-1)n(-1)n+1n000(-1)n).

On vérifie que cette relation est encore valable pour n en constatant que cette expression satisfait

An×A-n=I4.
 
Exercice 3  747   

Soit Mn(𝕂) une matrice de rang r que l’on suppose pouvoir écrire par blocs

M=(ABCD) avec AGLr(𝕂).
  • (a)

    Montrer que, pour tout Xn-r,1(𝕂), il existe Yr,1(𝕂) telle que

    M(0X)=M(Y0)

    où les 0 désignent des colonnes nulles de tailles appropriées.

  • (b)

    En déduire que D=CA-1B.

 
Exercice 4  3137   Correction  

Soient A,B,C,Dn(𝕂) et

M=(ABCD)2n(𝕂).

On suppose que les matrices A,D et M sont inversibles.
Exprimer M-1.

Solution

On peut écrire la matrice M-1 sous la forme

M-1=(ABCD).

La relation MM-1=I2n donne alors le système

{AA+BC=InCA+DC=OnAB+BD=OnCB+DD=In

qui entraîne

{(A-BD-1C)A=InC=-D-1CAB=-A-1BD(D-CA-1B)D=In.

On en déduit que les matrices A-BD-1C et D-CA-1B sont nécessairement inversible et A et D sont leurs inverses respectifs.
Au final

M-1=((A-BD-1C)-1A-1B(CA-1B-D)-1D-1C(BD-1C-A)-1(D-CA-1B)-1).

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Édité le 08-11-2019

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