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Exercice 1  4097  

Deux archers tirent à tour de rôle sur une cible. Le premier qui touche a gagné. Le joueur qui commence a la probabilité p1 de toucher à chaque tir et le second la probabilité p2 (avec p1,p2]0;1]).

  • (a)

    Quelle est la probabilité que le premier archer gagne?

  • (b)

    Montrer qu’il est quasi certain que le tournoi se termine.

  • (c)

    Pour quelles valeurs de p1 existe-t-il une valeur de p2 pour laquelle le tournoi est équitable?

 
Exercice 2  4031   

Deux joueurs J1 et J2 s’affrontent lors d’un tournoi constitué de parties indépendantes. Initialement, les joueurs possèdent à eux deux N pièces. À chaque tour, le joueur J1 a la probabilité p]0;1[ d’emporter la partie et le joueur J2 la probabilité complémentaire q=1-p. Le joueur perdant cède alors une pièce au vainqueur. La succession de parties continue jusqu’à ce que l’un des deux joueurs ne possède plus de pièces, l’autre est alors déclaré vainqueur du tournoi.

Soit n0;N. On note an la probabilité que le joueur J1 gagne le tournoi lorsqu’il possède initialement n pièces.

  • (a)

    Déterminer a0 et aN et établir an=pan+1+qan-1 pour tout n1;N-1.

  • (b)

    Calculer an en introduisant un=an-an-1 pour n1;N.

  • (c)

    Montrer que le tournoi s’arrête presque sûrement.

 
Exercice 3  5342   Correction  

Deux joueurs s’affrontent dans un tournoi constitué de plusieurs manches indépendantes. À chacune d’elles, le premier joueur a la probabilité p]0;1[ de l’emporter et le tournoi s’arrête lorsque l’un des joueurs à emporter deux parties de plus que son adversaire et est déclaré vainqueur.

  • (a)

    Justifier que le tournoi ne peut s’arrêter qu’après un nombre pair de manches.

  • (b)

    Calculer la probabilité de l’événement

    «  Les joueurs sont à égalité au bout de 2n manches  ».
  • (c)

    Quelle est la probabilité que le premier joueur gagne?

  • (d)

    Montrer que le tournoi s’arrête presque sûrement.

Solution

  • (a)

    Avant de gagner la manche où l’un des joueurs emporte le tournoi, celui-ci avait gagné une manche de plus que son adversaire et, avant celle-ci, les deux joueurs étaient nécessairement à égalité. Ils avaient donc emporter chacun le même nombre n de manches et la partie s’est arrêté au bout de 2n+2 manches.

  • (b)

    Posons un la probabilité de l’événement

    En=«  Les joueurs sont à égalité au bout de 2n manches  ».

    Méthode: On forme une relation de récurrence satisfaite par la suite des P(En) en déduisant l’événement En+1 de l’événement En.

    L’événement E0 est presque sûr et donc u0=1. Aussi, En+1 est inclus dans En car si les joueurs ne sont pas à égalité au bout de 2n manches c’est que l’un des deux a déjà emporté le tournoi. Si, pour k*, on introduit l’événement

    Vk=«  Le premier joueur emporte la manche d’indice k »

    on remarque

    En+1=(EnV2n+1V2n+2¯)(EnV2n+1¯V2n+2).

    Par incompatibilité,

    P(En+1)=P(EnV2n+1V2n+2¯)+P(EnV2n+1¯V2n+2).

    Par l’indépendance des résultats des différentes manches,

    P(En+1)=P(En)P(V2n+1)P(V2n+2¯)+P(En)P(V2n+1¯)P(V2n+2)

    ce qui donne la relation de récurrence géométrique

    un+1=2p(1-p)un.

    On en déduit

    un=(2p(1-p))npour tout n.
  • (c)

    On veut déterminer la probabilité de l’événement

    W=«  Le premier joueur gagne le tournoi  ».

    L’événement W est la réunion disjointe pour n parcourant des événements

    Wn=«  Le premier joueur gagne le tournoi lors de la (2n+2)-ième manche  ».

    Avant de gagner à la (2n+2)-ième manche, les joueurs étaient à égalité lors de la 2n-ième et donc

    Wn=EnV2n+1V2n+2.

    Par indépendance des différentes manches,

    P(Wn)=p2un.

    Par additivité dénombrable11 1 La série de terme général P(Wn) est assurément convergente car les événements Wn sont deux à deux incompatibles. La série géométrique de terme général (2p(1-p))n est donc convergente ce qui assure que sa raison 2p(1-p) est strictement inférieur à 1. On peut aussi retrouver cette affirmation en employant l’inégalité classique p(1-p)1/4.,

    P(W)=P(nWn)=n=0+P(Wn)=p2n=0+(2p(1-p))n=p21-2p(1-p).
  • (d)

    On détermine la probabilité de l’événement contraire

    I=«  Le tournoi ne se termine pas  ».

    On peut percevoir l’événement I comme une succession de situation d’égalités

    I=nEn.

    Les événements En formant une suite décroissante, on obtient par continuité monotone

    P(I)=limn+P(En)=limn+(2p(1-p))n=0<2p(1-p)<10.

    On en déduit que l’événement contraire I¯ est presque sûr.

 
Exercice 4  5338   Correction  

Deux joueurs de tennis s’affrontent au tie-break. À chaque point, le premier joueur a la probabilité p[0;1] de l’emporter et l’autre joueur la probabilité q=1-p. Le premier joueur ayant emporté au moins sept points dont deux de plus que son adversaire gagne le tie-break.

Quelle est la probabilité que ce soit le joueur 1?

Solution

Distinguons deux cas selon que le score de la partie passe par l’égalité six-six ou non.

Affirmer que le premier joueur gagne le tie-break sans passer par le score six-six signifie qu’il l’emporte avec un score du type sept-k avec k0;5. Afin de gagner avec le score sept-k, le premier joueur doit atteindre le score six-k puis l’emporter. La probabilité correspondante et

(6+kk)p6qk×p=(6+kk)p7qk.

La probabilité d’une victoire du premier joueur sans passer par le score six-six vaut donc

p1=p7k=05(6+kk)qk.

Si le premier joueur emporte le tie-break en passant par le score six-six, son score final sera de la forme (k+2)-k avec k6. La probabilité d’atteindre le score de six-six vaut

(126)p6q6.

Avant de gagner (k+2)-k le premier joueur passe par les scores intermédiaires - pour tout 6;k et arbitrairement par les scores (+1)- ou -(+1) pour tout 6;k-1. La probabilité que le premier joueur gagne avec un score de (k+2)-k vaut donc

(126)p6q6×pk-6qk-62k-6×p2=(126)pk+2qk2k-6.

La probabilité de victoire du premier joueur en passant par le score de six-six vaut donc

p2=k=6+(126)pk+2qk2k-6=(126)p8q61-2pq.

Finalement, la probabilité de victoire du premier joueur est

p1+p2=p7k=05(6+kk)qk+(126)p8q61-2pq.
 
Exercice 5  4030    

Trois joueurs J1, J2 et J3 participent à un tournoi selon les règles qui suivent. À chaque partie, deux joueurs entrent en concurrence et chacun peut gagner l’affrontement avec la même probabilité. Le gagnant d’une partie affronte à la partie suivante le joueur n’ayant pas participé. Le tournoi s’arrête lorsque l’un des joueurs gagne deux parties consécutives. Celui-ci est alors déclaré vainqueur.

  • (a)

    Établir que le tournoi s’arrête presque sûrement.

  • (b)

    Les joueurs J1 et J2 s’affrontent en premier. Quelles sont les probabilités de gagner le tournoi de chaque joueur?

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Édité le 08-11-2019

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