Montrer que l’ensemble des parties finies de est dénombrable.
Solution
Notons l’ensemble des parties finies de et l’ensemble des parties finies de . Puisque toute partie finie de est nécessairement majorée, on peut affirmer l’égalité
Les ensembles étant finis et la réunion dénombrable, on peut affirmer que est dénombrable en tant qu’ensemble infini réunion dénombrable de parties au plus dénombrables. On peut aussi propose un dénombrement expliciter. Si l’on note les éléments d’une partie finie de , on peut lui associer l’entier
L’existence et l’unicité de la décomposition d’un entier en somme de puissances de assurant la bijectivité de cette association.
Soient et sont deux parties dénombrables de . Montrer que
est dénombrable.
Solution
On remarque
Or, pour chaque , l’ensemble est en bijection avec via l’application . L’ensemble est donc dénombrable et, par réunion dénombrable d’ensembles dénombrables, est dénombrable.
Existe-t-il une fonction continue de dans envoyant les rationnels dans les irrationnels et les irrationnels dans les rationnels?
Solution
Une telle fonction ne prendre qu’un nombre dénombrable de valeurs, or si celle-ci n’est pas constante, elle prend toutes les valeurs d’un intervalle non singulier ce qui constitue un nombre non dénombrable de valeurs. Une telle fonction ne peut donc exister.
On appelle nombre algébrique, tout nombre complexe solution d’une équation de la forme
On appelle degré d’un nombre algébrique , le plus petit tel que soit solution d’une équation comme ci-dessus.
Quels sont les nombres algébriques de degré 1?
Montrer que l’ensemble des nombres algébriques de degré au plus est dénombrable.
L’ensemble de tous les nombres algébriques est-il dénombrable?
Solution
Ce sont les nombres rationnels.
Les nombres algébriques de degré au plus sont les solutions des équations
Puisque est un ensemble dénombrable, ces équations sont en nombre dénombrable. De plus, chacune possède au plus solutions. On peut donc percevoir l’ensemble des nombres algébriques comme une réunion dénombrable d’ensembles tous finis, c’est donc un ensemble dénombrable.
L’ensemble des nombres algébriques est la réunion dénombrable des ensembles précédents, c’est donc un ensemble dénombrable.
On souhaite établir que l’ensemble des parties de n’est pas dénombrable.
Pour cela on raisonne par l’absurde et l’on suppose qu’il existe une bijection de vers .
Établir une absurdité en introduisant l’ensemble
Solution
L’ensemble est par définition une partie de . Puisque l’application est bijective, il existe tel que . Étudions alors l’appartenance de à la partie .
Si alors mais : c’est absurde.
Si alors et donc : c’est à nouveau absurde.
Justifier que l’ensemble des parties finies de est dénombrable.
Montrer que l’ensemble des parties de n’est pas dénombrable.
On pourra raisonner par l’absurde et introduire lorsque désigne une bijection de vers .
Soit une suite d’éléments de . Pour tout , on pose
Montrer que pour tout entier naturel , le segment n’est pas inclus dans la réunion .
On peut alors construire une suite d’éléments de choisis tels que n’appartienne pas à .
Établir que l’intervalle n’est pas dénombrable11 1 A fortiori, la droite réelle n’est pas non plus dénombrable. On peut aussi montrer que est en bijection avec mais cela n’a rien d’évident..
Justifier que l’ensemble des points de discontinuité d’une fonction continue par morceaux de vers est au plus dénombrable.
Solution
Soit une fonction continue par morceaux. Par définition, pour tout segment , il existe une subdivision de telle que est continue11 1 et présente des limites finies aux bornes. sur chaque intervalle pour . En particulier, ne possède qu’un nombre fini de points de discontinuité dans .
En notant l’ensemble des points de discontinuité de dans pour , l’ensemble des points de discontinuité de vérifie
L’ensemble est une réunion dénombrable d’ensembles finis, c’est un ensemble au plus dénombrable.
Soit une famille sommable de réels.
On fixe . Montrer que l’ensemble est fini
En déduire que l’ensemble11 1 Celui-ci se nomme le support de la famille . est au plus dénombrable.
Solution
Puisque la famille est sommable, on peut introduire
Puisque les termes sommés sont positifs,
On en déduit que l’ensemble est fini.
On peut écrire
Cependant, l’ensemble n’est pas dénombrable. Écrivons plutôt
s’exprime alors comme une réunion dénombrable d’ensembles finis, c’est donc un ensemble fini ou dénombrable.
Montrer que l’ensemble des racines complexes des polynômes non nuls à coefficients dans est dénombrable.
Solution
L’ensemble des polynômes à coefficients dans est la réunion des ensembles pour :
est en bijection avec , cet ensemble est donc dénombrable. Par réunion dénombrable d’ensembles dénombrables, est dénombrable. A fortiori, l’est aussi.
Chaque ne possède qu’un nombre fini de racines dans :
La réunion des racines de polynômes non nuls à coefficients entiers est donc dénombrable en tant que réunion dénombrable d’ensembles finis:
Soit une fonction croissante.
Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de est au plus dénombrable.
Solution
Puisque la fonction est croissante, elle admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point de . De plus, en notant et ces limites, on sait
Par conséquent, la fonction est continue en si, et seulement si, . Les points de discontinuité de autres que et constituent donc l’ensemble
Soit . Considérons l’ensemble
Cet ensemble est fini car, en chaque point de celui-ci, la fonction progresse d’au moins mais ne peut varier en tout que de à . Puisque est la réunion des ensembles pour , on peut affirmer que est une réunion dénombrable d’ensembles finis, c’est donc un ensemble au plus dénombrable.
Édité le 29-08-2023
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