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Exercice 1  4140  Correction  

Montrer que l’ensemble des parties finies de est dénombrable.

Solution

Notons E l’ensemble des parties finies de et En l’ensemble des parties finies de 0;n. Puisque toute partie finie de est nécessairement majorée, on peut affirmer l’égalité

E=nEn.

Les ensembles En étant finis et la réunion dénombrable, on peut affirmer que E est dénombrable en tant qu’ensemble infini réunion dénombrable de parties au plus dénombrables. On peut aussi propose un dénombrement expliciter. Si l’on note i1,,ik les éléments d’une partie A finie de , on peut lui associer l’entier

n(A)=2i1++2ik.

L’existence et l’unicité de la décomposition d’un entier en somme de puissances de 2 assurant la bijectivité de cette association.

 
Exercice 2  5551  Correction  

Soient E et F sont deux parties dénombrables de . Montrer que

E+F={x+y|xE,yF}

est dénombrable.

Solution

On remarque

E+F={x+y|xE et yF}=xE(x+F).

Or, pour chaque xE, l’ensemble F est en bijection avec x+F via l’application yx+y. L’ensemble x+F est donc dénombrable et, par réunion dénombrable d’ensembles dénombrables, E+F est dénombrable.

 
Exercice 3  245   Correction  

Existe-t-il une fonction continue f de dans envoyant les rationnels dans les irrationnels et les irrationnels dans les rationnels?

Solution

Une telle fonction ne prendre qu’un nombre dénombrable de valeurs, or si celle-ci n’est pas constante, elle prend toutes les valeurs d’un intervalle non singulier ce qui constitue un nombre non dénombrable de valeurs. Une telle fonction ne peut donc exister.

 
Exercice 4  4063   Correction  

On appelle nombre algébrique, tout nombre complexe x solution d’une équation de la forme

anxn++a1x+a0=0 avec a0,a1,,an et an0.

On appelle degré d’un nombre algébrique x, le plus petit n tel que x soit solution d’une équation comme ci-dessus.

  • (a)

    Quels sont les nombres algébriques de degré 1?

  • (b)

    Montrer que l’ensemble des nombres algébriques de degré au plus n est dénombrable.

  • (c)

    L’ensemble de tous les nombres algébriques est-il dénombrable?

Solution

  • (a)

    Ce sont les nombres rationnels.

  • (b)

    Les nombres algébriques de degré au plus n sont les solutions des équations

    anxn++a1x+a0=0 avec a0,a1,,an et an0.

    Puisque *×n est un ensemble dénombrable, ces équations sont en nombre dénombrable. De plus, chacune possède au plus n solutions. On peut donc percevoir l’ensemble des nombres algébriques comme une réunion dénombrable d’ensembles tous finis, c’est donc un ensemble dénombrable.

  • (c)

    L’ensemble des nombres algébriques est la réunion dénombrable des ensembles précédents, c’est donc un ensemble dénombrable.

 
Exercice 5  4005   Correction  

On souhaite établir que l’ensemble () des parties de n’est pas dénombrable.

Pour cela on raisonne par l’absurde et l’on suppose qu’il existe une bijection φ de vers ().
Établir une absurdité en introduisant l’ensemble

A={n|nφ(n)}.

Solution

L’ensemble A est par définition une partie de . Puisque l’application φ est bijective, il existe n tel que A=φ(n). Étudions alors l’appartenance de n à la partie A.

Si nA alors nφ(n) mais A=φ(n): c’est absurde.

Si nA alors nφ(n) et donc nA: c’est à nouveau absurde.

 
Exercice 6  4304   
  • (a)

    Justifier que l’ensemble des parties finies de est dénombrable.

  • (b)

    Montrer que l’ensemble des parties de n’est pas dénombrable.

    On pourra raisonner par l’absurde et introduire {nN|nφ(n)} lorsque φ désigne une bijection de N vers (N).

 
Exercice 7  4305   

Soit (un)n* une suite d’éléments de [0;1]. Pour tout n*, on pose

In=[un-12n+1;un+12n+1].
  • (a)

    Montrer que pour tout entier naturel n1, le segment [0;1] n’est pas inclus dans la réunion I1In.

On peut alors construire une suite (xn)n* d’éléments de [0;1] choisis tels que xn n’appartienne pas à I1In.

  • (b)

    Établir que l’intervalle [0;1] n’est pas dénombrable11 1 A fortiori, la droite réelle n’est pas non plus dénombrable. On peut aussi montrer que est en bijection avec () mais cela n’a rien d’évident..

 
Exercice 8  5666   Correction  

Justifier que l’ensemble des points de discontinuité d’une fonction continue par morceaux de vers est au plus dénombrable.

Solution

Soit f: une fonction continue par morceaux. Par définition, pour tout segment [a;b], il existe une subdivision σ=(a0,a1,,an) de [a;b] telle que f est continue11 1 et présente des limites finies aux bornes. sur chaque intervalle ]ak-1;ak[ pour k=1,,n. En particulier, f ne possède qu’un nombre fini de points de discontinuité dans [a;b].

En notant Δn l’ensemble des points de discontinuité de f dans [n;n+1] pour n, l’ensemble Δ des points de discontinuité de f vérifie

Δ=nΔn.

L’ensemble Δ est une réunion dénombrable d’ensembles finis, c’est un ensemble au plus dénombrable.

 
Exercice 9  5558  Correction  

Soit (ai)iI une famille sommable de réels.

  • (a)

    On fixe ε>0. Montrer que l’ensemble Jε={iI||ai|ε} est fini

  • (b)

    En déduire que l’ensemble11 1 Celui-ci se nomme le support de la famille (ai)iI. S={iI|ai0} est au plus dénombrable.

Solution

  • (a)

    Puisque la famille (ai)iI est sommable, on peut introduire

    M=iI|ai|+

    Puisque les termes sommés sont positifs,

    M=iI|ai|iJε|ai|iJεε=εCard(Jε)

    On en déduit que l’ensemble Jε est fini.

  • (b)

    On peut écrire

    S=ε>0Jε=ε+*Jε

    Cependant, l’ensemble +* n’est pas dénombrable. Écrivons plutôt

    S=n*J1/n.

    S s’exprime alors comme une réunion dénombrable d’ensembles finis, c’est donc un ensemble fini ou dénombrable.

 
Exercice 10  5845   Correction  

Montrer que l’ensemble des racines complexes des polynômes non nuls à coefficients dans est dénombrable.

Solution

L’ensemble [X] des polynômes à coefficients dans est la réunion des ensembles n[X] pour n:

[X]=nn[X]

n[X] est en bijection avec n+1, cet ensemble est donc dénombrable. Par réunion dénombrable d’ensembles dénombrables, [X] est dénombrable. A fortiori, [X]{0} l’est aussi.

Chaque P[X]{0} ne possède qu’un nombre fini de racines dans :

P[X]{0},CardZ(P)deg(P)<+

La réunion Z des racines de polynômes non nuls à coefficients entiers est donc dénombrable en tant que réunion dénombrable d’ensembles finis:

Z=P[X]{0}Z(P).
 
Exercice 11  5552    Correction  

Soit f:[0;1] une fonction croissante.

Montrer que l’ensemble des points de discontinuité de f est au plus dénombrable.

Solution

Puisque la fonction f est croissante, elle admet une limite à droite et une limite à gauche en tout point x de ]0;1[. De plus, en notant f(x+) et f(x-) ces limites, on sait

f(x-)f(x)f(x+).

Par conséquent, la fonction f est continue en x si, et seulement si, f(x-)=f(x+). Les points de discontinuité de f autres que 0 et 1 constituent donc l’ensemble

D={x[0;1]|f(x-)<f(x+)}.

Soit n*. Considérons l’ensemble

En={x]0;1[|f(x+)-f(x-)1n}.

Cet ensemble est fini car, en chaque point de celui-ci, la fonction f progresse d’au moins 1/n mais ne peut varier en tout que de f(0) à f(1). Puisque D est la réunion des ensembles En pour n*, on peut affirmer que D est une réunion dénombrable d’ensembles finis, c’est donc un ensemble au plus dénombrable.

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Édité le 29-08-2023

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