[<] Événements Indépendants [>] Tournois

 
Exercice 1  4299  

On lance indéfiniment un dé équilibré à six faces et l’on admet qu’il existe un espace probabilisé (Ω,𝒯,P) qui permet d’étudier la succession des valeurs obtenues.

  • (a)

    Déterminer la probabilité d’obtenir un six pour la première fois lors du n-ième lancer.

  • (b)

    Montrer qu’il est presque sûr d’obtenir un six.

  • (c)

    Montrer qu’il est presque sûr d’obtenir une infinité de six.

 
Exercice 2  4300  

Une urne contient une boule blanche. Un joueur lance un dé équilibré à six faces. S’il obtient un six, il tire une boule dans l’urne. Sinon, il rajoute une boule rouge dans l’urne et répète la manipulation. On admet l’existence d’un espace probabilisé (Ω,𝒯,P) permettant l’étude de cette expérience.

  • (a)

    Quelle est la probabilité que le joueur tire la boule blanche?

    On donne

    n=1+1nxn=-ln(1-x)pour tout x]-1;1[.
  • (b)

    On suppose que le joueur a tiré la boule blanche. Quelle est la probabilité qu’il n’y ait pas d’autres boules dans l’urne?

 
Exercice 3  5336  Correction  

On lance indéfiniment un dé équilibré. On sait qu’il est presque certain d’obtenir un six. Quelle est la probabilité que tous les lancers qui ont précédé le premier six soient distincts de un?

Solution

Pour n*, on introduit les événements

An =«  On obtient un premier 𝑠𝑖𝑥 lors du n-ième lancer  »
Bn =«  On n’obtient pas de 𝑢𝑛 avant le n-ième lancer  ».

On veut déterminer la probabilité de l’événement

E=n*P(AnBn).

Les événements AnBn sont deux à deux incompatibles et donc, par σ-additivité,

P(E)=n=1+P(AnBn).

Or, puisque le dé est équilibré,

P(An)=16(56)n-1etP(BnAn)=(45)n-1.

Par la formule des probabilités composées,

P(E)=n=1+P(An)P(BnAn)=n=1+4n-16n=1611-2/3=12.
 
Exercice 4  4303   

Une urne contient une boule blanche et une boule rouge. On tire dans cette urne une boule, on note sa couleur et on la remet dans l’urne accompagnée de deux autres boules de la même couleur. On répète cette opération indéfiniment.

  • (a)

    Quelle est la probabilité que les n premières boules tirées soient rouges?

  • (b)

    Justifier qu’il est presque sûr que la boule blanche initiale sera tirée.

 
Exercice 5  5148  

Dans une population, la probabilité qu’une famille ait n enfants est

pn=a2nn! avec a>0.
  • (a)

    Déterminer la valeur de a.

  • (b)

    Une famille comporte au moins un enfant. Quelle est la probabilité que la famille ait exactement deux enfants?

On suppose qu’il est équiprobable qu’un enfant soit une fille ou un garçon et l’indépendance des sexes des enfants à l’intérieur d’une même famille.

  • (c)

    Calculer la probabilité qu’une famille comporte au moins une fille.

  • (d)

    On suppose qu’une famille a au moins une fille. Quelle est la probabilité que la famille soit constituée de deux enfants exactement?

 
Exercice 6  5337   Correction  

Un étudiant passe une épreuve constituée par une série illimitée de questions numérotées 1,2,3,. Ces questions lui sont posées dans cet ordre et sont ordonnées en difficulté croissante de sorte que la probabilité que l’étudiant réponde correctement à la question d’indice k* est égale à 1/k. L’épreuve s’arrête dès que l’étudiant se trompe.

Soit n*.

  • (a)

    Quelle est la probabilité que l’étudiant réponde correctement à au moins n questions.

  • (b)

    Quelle est la probabilité que l’étudiant réponde correctement à exactement n questions.

  • (c)

    Quelle est la probabilité que l’étudiant réponde indéfiniment aux questions posées?

Solution

  • (a)

    Pour n*, on introduit les événements

    An =«  L’étudiant répond correctement à la n-ième question  »,
    Bn =«  L’étudiant répond correctement aux n premières questions  »

    On remarque Bn=A1An. Par indépendance (présupposée),

    P(Bn)=P(A1)××P(An)=1n!
  • (b)

    On étudie ici la probabilité de BnBn+1. Puisque Bn+1 est inclus dans Bn,

    P(BnBn+1)=1n!-1(n+1)!=n(n+1)!
  • (c)

    La probabilité de Bn est de limite nulle: la probabilité que l’étudiant réponde indéfiniment aux questions posées est nulle.

 
Exercice 7  5341   Correction  

On étudie la descendance d’une variété de fleurs. À l’instant 0, on dispose d’une fleur et celle-ci peut engendrer pour l’instant suivant deux fleurs avec la probabilité p]0;1[ ou aucune avec la probabilité q=1-p. Après cela, cette première fleur disparaît et les suivantes, s’il y en a, se perpétuent dans les mêmes conditions et indépendemment les unes des autres.

On admet l’existence d’un espace probabilisé (Ω,𝒜,P) permettant l’étude de cette expérience. Pour n, on introduit un la probabilité de l’événement

En=«  La ligne de la fleur initiale est éteinte à l’instant n ».
  • (a)

    Calculer u0 et u1.

  • (b)

    Établir que la suite (un) converge. On note L sa limite.

  • (c)

    Montrer que, pour tout n, un+1=pun2+q.

  • (d)

    En déduire

    L=min(1,qp).

Solution

  • (a)

    À l’instant initiale, il y a une fleur et donc u0=0. À l’instant suivant, il y a deux fleurs avec la probabilité p ou aucune avec la probabilité q. On a donc u1=q.

  • (b)

    Les événements En constituent une suite croissante et donc unun+1. La suite (un+1) est croissante et majorée (par 1), elle admet donc une limite finie L.

  • (c)

    Méthode: On applique la formule des probabilités totales en discutant selon le début du processus.

    On introduit le système complet d’événement (A,A¯) avec

    A=«  La fleur initiale a généré deux fleurs  ».

    Soit n. Par la formule des probabilités totales,

    un+1=P(En+1)=P(A)P(En+1A)+P(A¯)P(En+1A¯)=pP(En+1A)+q×1.

    Lorsque la fleur initiale a généré deux fleurs, il faut et il suffit que les générations d’ordre n de ces deux-ci soient éteintes pour que la génération d’ordre n+1 de la fleur initiale le soit. Par indépendance des deux lignées,

    P(En+1A¯)=P(En)2=un2.

    On forme ainsi la relation de récurrence attendue un+1=pun2+q pour tout nN..

  • (d)

    Méthode: On passe la relation de récurrence à la limite.

    Les suites (un) et (un+1) étant de limite L, la relation précédente donne à la limite

    L=pL2+q.

    Cette équation possède deux solutions: 1 et q/p. Poursuivons en comparant celles-ci.

    Cas: q/p1. Les termes de la suite (un) appartiennent à [0;1] et donc la limite L aussi. On en déduit L=1 car 1 est la seule limite possible.

    Cas: q/p<1. On vérifie par récurrence que les termes de la suite (un) sont tous inférieurs à q/p. En effet, cela est vrai pour le terme d’indice 0 et si unq/p alors

    un+1=pun2+qpq2p2+q=q2+pqp=q(q+p)pqp.

    La suite (un) est alors croissante et majorée par L: elle ne peut pas tendre vers 1 et q/p est donc sa limite.

 
Exercice 8  5086    

On suppose disposer d’une pièce dont la probabilité p]0;1[ de donner pile n’est pas connue.

Proposer une expérience employant cette pièce permettant de définir un événement de probabilité 1/2.

[<] Événements Indépendants [>] Tournois



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax