[<] Tournois [>] Marches aléatoires

 
Exercice 1  4098   Correction  

On lance une pièce avec la probabilité p de faire «  Pile  ». On note An l’événement

«  on obtient pour la première fois deux piles consécutifs lors du n-ième lancer  »

et l’on désire calculer sa probabilité an.

  • (a)

    Déterminer a1,a2 et a3.

  • (b)

    Exprimer an+2 en fonction de an et an+1 pour n1.

  • (c)

    Justifier qu’il est quasi-certain d’obtenir deux piles consécutifs.

  • (d)

    Déterminer le nombre d’essais moyen pour obtenir deux piles consécutifs.

Solution

  • (a)

    a1=0 et a2=p2 et a3=(1-p)p2.

  • (b)

    Considérons les résultats des deux premiers lancers:

    PP,PF,FP et FF

    et le système complet d’événements

    PP,PF et F=FPFF.

    Par translation du problème

    P(An+2PF)=P(An) et P(An+2F)=P(An+1)

    et

    P(An+2PP)=0.

    Par la formule des probabilités totales

    an+2=0×p2+an×p(1-p)+an+1(1-p)

    soit encore

    an+2=(1-p)an+1+p(1-p)an.
  • (c)

    Posons S=n=1+an. En sommant les relations précédentes, on obtient

    S-(a1+a2)=(1-p)(S-a1)+p(1-p)S.

    On en tire S=1 et donc il est quasi-certain que deux piles consécutifs apparaissent.

  • (d)

    Il s’agit de calculer (sous réserve de convergence)

    μ=n=1+nan.

    On exploite la relation

    (n+2)an+2=(1-p)(n+2)an+1+p(1-p)(n+2)an

    et l’on somme

    μ-2a2-a1=(1-p)((μ-a1)+(S-a1))+p(1-p)(μ+2S).

    On en tire

    μ=1+pp2.

    Il ne reste plus qu’à établir la convergence de la série définissant μ. Puisque (an) est une suite récurrente linéaire double, son terme général est combinaison linéaire de suite géométrique de limite nulle car an0. La série des nan est alors convergente par argument de croissance comparée.

 
Exercice 2  4123   

On effectue une suite de lancers indépendants d’une pièce équilibrée et l’on désigne par an la probabilité de ne pas avoir obtenu trois côtés piles consécutifs lors des n premiers lancers.

  • (a)

    Calculer a1,a2 et a3.

  • (b)

    Pour n4, exprimer an en fonction de an-1, an-2 et an-3.

  • (c)

    Déterminer la limite de la suite (an)n1.

 
Exercice 3  5000   Correction  

On répète successivement et indépendamment une expérience qui a la même probabilité de réussir que d’échouer. Pour n2, on introduit les événements:

An =«  On obtient deux succès consécutifs lors des n premières expériences  »,
Bn =«  On obtient le premier couple de succès consécutifs aux rangs n-1 et n ».

Enfin, on pose pn=P(Bn) et p1=0.

  • (a)

    Calculer p2, p3 et p4.

  • (b)

    Pour n2, vérifier

    P(An)=k=1npketpn+3=18(1-k=1npk).
  • (c)

    En déduire une relation entre pn+3, pn+2 et pn valable pour tout n1.

  • (d)

    Exprimer le terme général de la suite (pn)n1.

Solution

  • (a)

    Notons Sn l’événement «  L’expérience au rang n est un succès  ». On sait

    P(Sn)=P(Sn¯)=12.

    On peut exprimer simplement11 1 L’expression de B5 est plus complexe: B5=S3¯S4S5S1S2¯. B2, B3 et B4 en fonctions des événements Sn:

    B2=S1S2,B3=S1¯S2S3etB4=S2¯S3S4.

    Par indépendance des résultats des différentes expériences

    p2=14,p3=18etp4=18.
  • (b)

    L’événement An est la réunion des Bk pour k allant de 2 à n et ces derniers sont deux à deux incompatibles. Par additivité, on a donc

    P(An)=P(k=2nBk)=k=2nP(Bk)=k=1npk car p1=0.

    Étudions ensuite P(Bn+3).

    Méthode: On exprime Bn+3 comme intersection d’événements indépendants.

    L’événement Bn+3 signifie que deux succès consécutifs sont rencontrés aux rangs n+2 et n+3 et que cette situation n’a pas été rencontrée précédemment:

    Bn+3=Sn+2Sn+3An+2¯.

    Cependant, si l’expérience a réussi au rang n+2 mais que l’on n’a pas rencontré deux succès consécutifs avant ce rang, c’est qu’elle a échoué au rang n+1. Ainsi, Sn+2An+2¯Sn+1¯ et donc

    Sn+2An+2¯=Sn+1¯Sn+2An+2¯.

    Aussi, sachant que l’expérience a échoué au rang n+1, affirmer qu’il n’y a pas eu deux succès consécutifs avant le rang n+2 revient à signifier que l’on n’a pas rencontré deux succès consécutifs avant le rang n:

    Sn+1¯An+2¯=Sn+1¯An¯.

    Ainsi, on a l’égalité

    Bn+3=Sn+1¯Sn+2Sn+3An¯.

    Enfin, les différentes expériences étant indépendantes et l’événement An n’étant que fonctions des événements S1,,Sn, les événements de l’intersection précédentes sont indépendants ce qui donne

    pn+3=P(Bn+3)=P(Sn+1¯)P(Sn+2)P(Sn+3)P(An¯)=18(1-k=1npk).
  • (c)

    L’égalité précédente démontrée pour n2 est aussi vraie pour n=1. Pour n2, on peut alors écrire à la fois

    pn+3=18(1-k=1npk)etpn+2=18(1-k=1n-1pk).

    Par différence, on obtient pn+3-pn+2=-18pn et cette égalité est encore vraie pour n=1.

  • (d)

    Méthode: (pn)n1 est une suite récurrente linéaire d’ordre 3: l’expression de son terme général se déduit du calcul des puissances d’une matrice traduisant la relation de récurrence.

    Pour n1, introduisons Xn la colonne de coefficients pn,pn+1 et pn+2. On a

    Xn+1=AXn avec A=(010001-1801).

    Par récurrence, on obtient Xn=An-1X1 pour tout n1. Afin de calculer la puissance de A, on étudie la réduction de cette matrice. Son polynôme caractéristique est

    χA=X3-X2+18=(X-12)(X2-12X-14)

    de racines distinctes:

    α=12,β=1+54etγ=1-54.

    Pour λ valeur propre de A, l’espace propre associé est engendré par la colonne (1λλ2)t et l’on peut donc écrire

    A=PDP-1 avec P=(111αβγα2β2γ2) et D=(α000β000γ).

    Après calculs, on obtient

    P-1=1(β-α)(γ-α)(γ-β)(βγ(γ-β)-(β+γ)(γ-β)γ-β-αγ(γ-α)(α+γ)(γ-α)γ-αβα(β-α)-(β+α)(β-α)β-α)

    soit

    P-1=(12-4-1515-125+215-15-1-25+2).

    Enfin, l’égalité An-1=PDn-1P-1 permet de conclure:

    pn=125((1+54)n-1-(1-54)n-1)pour tout n1.
 
Exercice 4  4307    

(Succès consécutifs)

On effectue une succession de lancers indépendants d’une pièce ayant la probabilité p de tomber du côté pile et 1-p de tomber du côté face. Pour n*, on introduit les événements Pn=«  La pièce tombe du côté 𝑝𝑖𝑙𝑒 au n-ième tirage  » et Fn=Pn¯.

Soit r*. On s’intéresse à l’obtention d’une série de r côtés piles consécutifs. Pour n*, on introduit l’événement An= «  Au n-ième tirage, on obtient pour la première fois une série de r côtés piles consécutifs  » dont on note an la probabilité. On convient que a0 est nul.

  • (a)

    Calculer a1,,ar-1 et ar.

  • (b)

    Soit n*. Exprimer l’événement An+r à l’aide des événements A1,,An-1 et d’événements Fk et Pk d’indices bien choisis. En déduire

    an+r=(1-p)pr(1-k=0n-1ak).

On introduit la série entière anxn dont on note G la somme.

  • (c)

    Montrer que la fonction G est bien définie sur ]-1;1[ et vérifier

    G(x)1-x=n=0+(k=0nak)xnpour tout x]-1;1[.
  • (d)

    Exprimer G(x).

[<] Tournois [>] Marches aléatoires



Édité le 08-11-2019

Bootstrap Bootstrap 3 - LaTeXML [LOGO] - Powered by MathJax Powered by MathJax