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Exercice 1  4013   Correction  
  • (a)

    Soit (A1,,An) une famille d’évènements mutuellement indépendants. Pour chaque i{1,,n}, on pose Ai~=Ai ou Ai¯. Vérifier la famille (A1~,,An~) est constituée d’évènements mutuellement indépendant.

  • (b)

    Étendre le résultat au cas d’une famille (Ai)iI.

Solution

  • (a)

    Un calcul facile fournit

    P(AB)=P(A)P(B)P(AB¯)=P(A)P(B¯).

    Il est alors immédiat de vérifier que

    A1,,An mutuellement indépendants A1,,Ai¯,,An mutuellement indépendants.

    En enchaînant les négations, on obtiendra

    A1,,An mutuellement indépendants A1~,,An~.
  • (b)

    C’est immédiat puisque l’indépendance mutuelle d’une famille infinie se ramène à celle des sous-familles finies.

 
Exercice 2  4081   Correction  

Soit (An)n une suite d’évènements mutuellement indépendants.
Montrer que la probabilité qu’aucun des An ne soit réalisé est inférieure à

exp(-n=0+P(An)).

Solution

On étudie

P(n=0+An¯)=limN+P(n=0NAn¯).

Par indépendances des An¯, on a

P(n=0NAn¯)=n=0N(1-P(An)).

Or 1-xe-x pour tout x donc

P(n=0NAn¯)n=0Ne-P(An)=exp(-n=0NP(An)).

À la limite quand N+

P(n=0+An¯)exp(-n=0+P(An))

où l’on comprend l’exponentielle nulle si la série des P(An) diverge.

 
Exercice 3  4082   

Soit s un réel strictement supérieur à 1.

  • (a)

    Pour quelle valeur de λ, existe-t-il une probabilité P sur l’espace (*,(*)) telle que

    P({n})=λnspour tout n*?

Pour p*, on introduit l’événement Ap={n*|p divise n} et l’on note 𝒫 l’ensemble des nombres premiers.

  • (b)

    Montrer que la famille des événements Ap pour p parcourant 𝒫 est constituée d’événements mutuellement indépendants.

  • (c)

    En étudiant P({1}), établir

    n=1+1ns=p𝒫(1-1ps)-1.
 
Exercice 4  4000   

(Lemme de Borel-Cantelli)

Soit (An)n une suite d’événements d’un espace probabilisé (Ω,𝒯,P). On considère l’événement

A*=p=0+(n=p+An).
  • (a)

    On suppose la convergence de la série P(An). Montrer P(A*)=0.

  • (b)

    Inversement, on suppose la divergence de la série P(An) ainsi que l’indépendance mutuelle des familles (A0,,An) pour tout n. Montrer P(A*)=1.

    On pourra employer l’inégalité11 1 On justifie aisément cette inégalité en étudiant les variations de la fonction obtenue par différence des deux membres. 1-xe-x valable pour tout xR.

 
Exercice 5  4109   Correction  

Soient (Ω,𝒯,P) un espace probabilisé et (An)n une suite d’événements mutuellement indépendants.

  • (a)

    Démontrer

    P(n=0+An)=1-limn+k=0nP(Ak¯).
  • (b)

    On suppose P(An)1 pour tout n. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes:

    • (i)

      P(n=0+An)=1;

    • (ii)

      ln(P(An¯)) diverge;

    • (iii)

      P(An) diverge.

Solution

  • (a)

    On a

    n=0+An¯=n=0+An¯.

    Par continuité décroissante

    P(n=0+An¯)=limn+P(k=0nAk¯).

    Enfin, par mutuelle indépendance

    P(k=0nAk¯)=k=0nP(Ak¯).

    La relation demandée est dès lors immédiate.

  • (b)

    (i)(ii) Supposons (i). On a

    k=0nP(Ak¯)n+0

    et donc

    k=0nln(P(Ak¯))=ln(k=0nP(Ak¯))n+-.

    Ainsi, la série ln(P(An¯)) est divergente.

    (ii)(i) Inversement, si la série ln(P(An¯)) diverge, puisque les termes sommés sont positifs, ses sommes partielles tendent vers -. On peut alors suivre la démonstration précédente à rebours et conclure (i).

    (ii)(iii) Supposons (ii).
    Si (P(An))n ne tend pas vers 0 alors la série P(An) diverge grossièrement.
    Si en revanche (P(An))n tend vers 0 alors

    ln(P(An¯))=ln(1-P(An))n+-P(An)

    et à nouveau la série P(An) diverge, cette fois-ci par équivalence de séries à termes de signe constant.

    (iii)(ii) Supposons (iii).
    Il suffit de reprendre le raisonnement précédent en constatant

    ln(P(An¯))n+0P(An)n+0.

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Édité le 08-11-2019

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