[<] Propriétés d'une probabilité [>] Calculs de probabilités

 
Exercice 1  3397  Correction  

Soit n*.

On repète n fois et indépendamment une expérience qui a la probabilité 1/n de réussite. Établir que la probabilité d’obtenir au moins un succès est supérieure à

1-1e.

Solution

Pour i=1,,n, on introduit l’événement

Ai=«  La i-ème expérience est un succès  ».

L’événement étudié s’exprime

A=A1An.

Par passage à l’événement contraire,

P(A)=1-P(A¯)=1-P(i=1nAi¯)=1-P(i=1nAi¯).

Par indépendance des événements Ai, on a aussi l’indépendance des événements Ai¯ et donc

P(A)=1-i=1nP(Ai¯)=1-(1-1n)n.

Or, sachant ln(1+x)x pour tout x>-1,

(1-1n)n=exp(nln(1-1n))exp(-n1n)=e-1

et donc

P(A)1-1e.
 
Exercice 2  4013   Correction  
  • (a)

    Soit (A1,,An) une famille d’évènements indépendants. Pour chaque i{1,,n}, on pose Ai~=Ai ou Ai¯. Vérifier la famille (A1~,,An~) est constituée d’évènements indépendants.

  • (b)

    Étendre le résultat au cas d’une famille (Ai)iI.

Solution

  • (a)

    Un calcul facile fournit

    P(AB)=P(A)P(B)P(AB¯)=P(A)P(B¯).

    Il est alors immédiat de vérifier que

    A1,,An indépendants A1,,Ai¯,,An indépendants.

    En enchaînant les négations, on obtiendra

    A1,,An indépendants A1~,,An~ indépendants.
  • (b)

    C’est immédiat puisque l’indépendance d’une famille infinie se ramène à celle des sous-familles finies.

 
Exercice 3  4081   Correction  

Soit (An)n une suite d’évènements indépendants.

  • (a)

    Vérifier que, pour tout x réel, 1-xe-x.

  • (b)

    Montrer que la probabilité qu’aucun des An ne soit réalisé est inférieure à

    exp(-n=0+P(An)).

Solution

  • (a)

    La fonction f:xe-x+x-1 est dérivable sur avec f(x)=1-e-x du signe de x. La fonction f présente un minimum en x=0 de valeur f(0)=0. Cette fonction est donc positive ce qui produit l’inégalité voulue.

  • (b)

    On étudie

    P(n=0+An¯)=limN+P(n=0NAn¯).

    Par indépendances des An¯, on a

    P(n=0NAn¯)=n=0N(1-P(An)).

    Or 1-xe-x pour tout x donc

    P(n=0NAn¯)n=0Ne-P(An)=exp(-n=0NP(An)).

    À la limite quand N+

    P(n=0+An¯)exp(-n=0+P(An))

    où l’on comprend l’exponentielle nulle si la série des P(An) diverge.

 
Exercice 4  5843   Correction  

(Loi du zéro-un de Borel)

Soit (An)n une suite d’événements indépendants d’un espace probabilisé (Ω,𝒜,P). On considère l’événement

A*=p(npAn).
  • (a)

    Exprimer l’événement A* en langage naturel.

  • (b)

    Selon la nature de la série P(An), établir que P(A*) vaut 0 ou 1.

    On pourra employer l’inégalité 1xex valable pour tout x réel.

Solution

  • (a)

    Pour p, introduisons

    Bp=npAn.

    L’événement Bp signifie l’existence d’au moins un An réalisé parmi ceux d’indices supérieurs à p. L’intersection définissant A* signifie que cela a lieu pour tout p. L’événement A* signifie donc qu’il y a une infinité de An réalisés.

  • (b)

    Cas: P(An) converge.

    La suite d’événements (Bp) est décroissante car Bp+1Bp pour tout p.

    Par continuité monotone,

    P(A*)=limp+P(Bp).

    Par l’inégalité de Boole,

    P(Bp)n=p+P(An).

    Le majorant est ici le reste d’une série convergente, il est donc de limite nulle lorsque p tend vers l’infini. Par le théorème de convergence par encadrement, on conclut P(A*)=0.

    Notons que l’indépendance des événements An n’a pas été employée ici. En fait, on retrouve ici la lemme de Borel-Cantelli (sujet 4000).

    Cas: P(An) diverge.

    En passant à l’événement contraire,

    P(A*¯)=limp+P(Bp¯) avec Bp¯=npAn¯.

    Par continuité monotone,

    P(Bp¯)=limN+P(n=pNAn¯).

    Soit Np. Par indépendance11 1 L’indépendance des événements entraîne celle des événements contraires: voir le sujet 4585.,

    P(n=pNAn¯)=n=pNP(An¯)=n=pN(1P(An)).

    Par l’inégalité donnée en indication,

    0P(n=pNAn¯)n=pNeP(An)=exp(n=pNP(An)).

    La divergence de la série à termes positifs P(An) donne

    n=pNP(An)N++

    et donc, par théorème de convergence par encadrement, P(Bp¯)=0. On peut alors conclure P(A*¯)=0 puis P(A*)=1.

 
Exercice 5  4082   

Soit s un réel strictement supérieur à 1.

  • (a)

    Pour quelle valeur de λ, existe-t-il une probabilité P sur (*,(*)) telle que

    P({n})=λnspour tout n*?

On munit l’espace (*,(*)) de cette probabilité.

Pour p*, on introduit l’événement Ap={n*|p divise n} et l’on note 𝒫 l’ensemble des nombres premiers.

  • (b)

    Montrer que les événements Ap pour p parcourant 𝒫 sont indépendants.

  • (c)

    En étudiant P({1}), établir

    n=1+1ns=p𝒫(1-1ps)-1.
 
Exercice 6  4109   Correction  

Soient (Ω,𝒜,P) un espace probabilisé et (An)n une suite d’événements indépendants.

  • (a)

    Démontrer

    P(nAn)=1-limn+k=0n(1-P(Ak)).
  • (b)

    On suppose P(An)1 pour tout n. Démontrer

    P(nAn)=1P(An) diverge.

Solution

  • (a)

    On a

    nAn¯=nAn¯.

    Par continuité décroissante,

    P(nAn¯)=limn+P(k=0nAk¯).

    Enfin, par indépendance,

    P(k=0nAk¯)=k=0nP(Ak¯)=k=0n(1-P(Ak)).

    La relation demandée est dès lors immédiate.

  • (b)

    () Supposons P(nAn)=1. On a donc

    k=0n(1-P(Ak))n+0.

    Sachant P(Ak)1, on peut introduire ln(1-P(Ak)) et l’on a

    k=0nln(1-P(Ak))=ln(k=0n(1-P(Ak)))n+-.

    Ainsi, la série ln(1-P(An)) est divergente.

    Distinguons alors deux cas:

    Cas: La suite (P(An)) tend vers 0. On a

    -ln(1-P(An))n+P(An).

    Par équivalence de séries à termes positifs, la série P(An) diverge.

    Cas: La suite (P(An)) ne tend pas vers 0. La série P(An) diverge grossièrement et donc diverge.

    () Supposons la divergence de P(An).

    On sait

    x>-1,ln(1+x)x.

    On en déduit

    n,-ln(1-P(A))P(An).

    Par comparaison de séries à termes positifs, la série -ln(1-P(An)) diverge. Ses sommes partielles croissent alors vers + et donc

    k=0nln(1-P(Ak))n+-.

    Par composition avec la fonction exponentielle,

    k=0n(1-P(Ak))n+0.

    Ce qui nous mène à

    P(nAn)=1.

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Édité le 29-08-2023

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