[<] Propriétés d'une probabilité [>] Calculs de probabilités
Soit .
On repète fois et indépendamment une expérience qui a la probabilité de réussite. Établir que la probabilité d’obtenir au moins un succès est supérieure à
Solution
Pour , on introduit l’événement
L’événement étudié s’exprime
Par passage à l’événement contraire,
Par indépendance des événements , on a aussi l’indépendance des événements et donc
Or, sachant pour tout ,
et donc
Soit une famille d’évènements indépendants. Pour chaque , on pose ou . Vérifier la famille est constituée d’évènements indépendants.
Étendre le résultat au cas d’une famille .
Solution
Un calcul facile fournit
Il est alors immédiat de vérifier que
En enchaînant les négations, on obtiendra
C’est immédiat puisque l’indépendance d’une famille infinie se ramène à celle des sous-familles finies.
Soit une suite d’évènements indépendants.
Vérifier que, pour tout réel, .
Montrer que la probabilité qu’aucun des ne soit réalisé est inférieure à
Solution
La fonction est dérivable sur avec du signe de . La fonction présente un minimum en de valeur . Cette fonction est donc positive ce qui produit l’inégalité voulue.
On étudie
Par indépendances des , on a
Or pour tout donc
À la limite quand
où l’on comprend l’exponentielle nulle si la série des diverge.
(Loi du zéro-un de Borel)
Soit une suite d’événements indépendants d’un espace probabilisé . On considère l’événement
Exprimer l’événement en langage naturel.
Selon la nature de la série , établir que vaut ou .
On pourra employer l’inégalité valable pour tout réel.
Solution
Pour , introduisons
L’événement signifie l’existence d’au moins un réalisé parmi ceux d’indices supérieurs à . L’intersection définissant signifie que cela a lieu pour tout . L’événement signifie donc qu’il y a une infinité de réalisés.
Cas: converge.
La suite d’événements est décroissante car pour tout .
Par continuité monotone,
Par l’inégalité de Boole,
Le majorant est ici le reste d’une série convergente, il est donc de limite nulle lorsque tend vers l’infini. Par le théorème de convergence par encadrement, on conclut .
Notons que l’indépendance des événements n’a pas été employée ici. En fait, on retrouve ici la lemme de Borel-Cantelli (sujet 4000).
Cas: diverge.
En passant à l’événement contraire,
Par continuité monotone,
Soit . Par indépendance11 1 L’indépendance des événements entraîne celle des événements contraires: voir le sujet 4585.,
Par l’inégalité donnée en indication,
La divergence de la série à termes positifs donne
et donc, par théorème de convergence par encadrement, . On peut alors conclure puis .
Soit un réel strictement supérieur à .
Pour quelle valeur de , existe-t-il une probabilité sur telle que
On munit l’espace de cette probabilité.
Pour , on introduit l’événement et l’on note l’ensemble des nombres premiers.
Montrer que les événements pour parcourant sont indépendants.
En étudiant , établir
Soient un espace probabilisé et une suite d’événements indépendants.
Démontrer
On suppose pour tout . Démontrer
Solution
On a
Par continuité décroissante,
Enfin, par indépendance,
La relation demandée est dès lors immédiate.
Supposons . On a donc
Sachant , on peut introduire et l’on a
Ainsi, la série est divergente.
Distinguons alors deux cas:
Cas: La suite tend vers . On a
Par équivalence de séries à termes positifs, la série diverge.
Cas: La suite ne tend pas vers . La série diverge grossièrement et donc diverge.
Supposons la divergence de .
On sait
On en déduit
Par comparaison de séries à termes positifs, la série diverge. Ses sommes partielles croissent alors vers et donc
Par composition avec la fonction exponentielle,
Ce qui nous mène à
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Édité le 29-08-2023
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