Exercice 1 5553 Correction

Soit $ω$ un élément d’un ensemble $Ω$ muni d’une tribu $𝒜$ . Montrer que l’on définit une probabilité $P$ sur $(Ω, 𝒜)$ en posant, pour tout $A \in 𝒜$ ,

P (A) = {\begin{matrix} 0 & si ω \notin A \\ 1 & si ω \in A . \end{matrix}

Solution

L’application $P$ est correctement définie de $𝒜$ vers $[0; 1]$ .

On vérifie immédiatement $P (Ω) = 1$ .

Soit ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite d’événements deux à deux incompatibles et $A$ la réunion de ceux-ci.

Cas: $ω \notin A$ . L’élément $ω$ n’appartient à aucun $A_{n}$ et alors

\underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{P (A)}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{P (A_{n})}} .

Cas: $ω \in A$ . Il existe $n_{0} \in ℕ$ tel que $ω \in A_{n_{0}}$ et l’élément $ω$ n’appartient à aucun autre $A_{n}$ car les événements $A_{n}$ sont incompatibles. On vérifie alors

\underset{\begin{matrix} = 1 \end{matrix}}{\underset{⏟}{P (A)}} = \underset{\begin{matrix} = 1 \end{matrix}}{\underset{⏟}{P (A_{n_{0}})}} + \sum_{\binom{n = 0}{n \neq n_{0}}}^{+ \infty} \underset{\begin{matrix} = 0 \end{matrix}}{\underset{⏟}{P (A_{n})}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} P (A_{n}) .

Exercice 2 4016 Correction

Soit ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite strictement décroissante de réels positifs de limite nulle.

Déterminer $λ \in ℝ$ tel qu’il existe une probabilité $P$ sur $(ℕ, ℘ (ℕ))$ vérifiant

\forall n \in ℕ, P ({n, n + 1, \dots}) = λ a_{n} .

Solution

On remarque $a_{0} > 0$ car $(a_{n})$ est une suite strictement décroissante de limite nulle.

Analyse: Si $P$ est solution alors $P (ℕ) = 1$ et donc $λ a_{0} = 1$ . On en déduit $λ = 1 / a_{0}$ .

De plus,

	$P ({n})$	$= P ({n, n + 1, \dots} ∖ ({n + 1, n + 2, \dots})$
		$= P ({n, n + 1, \dots}) - P ({n + 1, n + 2, \dots}) = \frac{a_{n} - a_{n + 1}}{a_{0}} .$

Cela détermine $P$ .

Synthèse: Posons

p_{n} = \frac{a_{n} - a_{n + 1}}{a_{0}} pour tout n \in ℕ .

Les $p_{n}$ sont des réels positifs car la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ est décroissante. De plus,

\sum_{n \in ℕ} p_{n} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} p_{n} = \frac{1}{a_{0}} \sum_{n = 0}^{+ \infty} (a_{n} - a_{n + 1}) = 1

car la suite ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ est de limite nulle. La famille ${(p_{n})}_{n \in ℕ}$ est donc une distribution de probabilités discrètes sur $ℕ$ . Il existe donc une probabilité $P$ sur $(ℕ, ℘ (ℕ))$ vérifiant

\forall n \in ℕ, P ({n}) = p_{n} .

Au surplus,

P ({n, n + 1, \dots}) = \sum_{k \in {n, n + 1, \dots}} p_{k} = \sum_{k = n}^{+ \infty} p_{k} = \frac{a_{n}}{a_{0}} = λ a_{n} avec λ = \frac{1}{a_{0}} .

La probabilité $P$ résout le problème posé.

Exercice 3 4298

À quelles conditions sur la suite réelle ${(a_{n})}_{n \in ℕ}$ existe-t-il une probabilité $P$ sur l’espace probabilisé $(ℕ, ℘ (ℕ))$ vérifiant

P ({n, n + 1, \dots}) = a_{n} pour tout n \in ℕ .

Exercice 4 4011

Soit $Ω$ un ensemble. On introduit

𝒜 = {A \subset Ω | A ou \bar{A} est au plus dénombrable} .

(a)

Vérifier que $𝒜$ est une tribu sur $Ω$ .
(b)

On suppose l’ensemble $Ω$ infini et non dénombrable.

Montrer que l’on définit une probabilité $P$ sur $(Ω, 𝒜)$ en posant, pour tout $A$ de $𝒜$ ,

$P (A) = {\begin{matrix} 0 & si A au plus dénombrable \\ 1 & si \bar{A} au plus dénombrable. \end{matrix}$

Exercice 5 3009 MINES (MP)Correction

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ à valeurs positives. Pour tout $n \in ℕ$ , on pose

p_{n} = \int_{0}^{1} t^{n} f (t) d t .

À quelles conditions sur $f$ existe-t-il une probabilité $P$ sur $(ℕ, ℘ (ℕ))$ pour laquelle

P ({n}) = p_{n} pour tout n \in ℕ ?

Solution

Une telle probabilité existe si, et seulement si, les $p_{n}$ forment une famille de réels positifs de somme égale à $1$ , c’est-à-dire une distribution de probabilités discrètes. Il est immédiat d’affirmer que les $p_{n}$ sont positifs. Étudions à quelles conditions sur $f$ ils forment une famille sommable de somme égale à $1$ .

Pour $N \in ℕ$ ,

\sum_{n = 0}^{N} p_{n} = \int_{0}^{1} (\sum_{n = 0}^{N} t^{n} f (t)) d t = \int_{0}^{1} \frac{1 - t^{N + 1}}{1 - t} f (t) d t .

On écrit astucieusement

f (t) = f (1) + f (t) - f (1)

et l’on obtient la décomposition

\sum_{n = 0}^{N} p_{n} = \int_{0}^{1} \frac{1 - t^{N + 1}}{1 - t} f (1) d t + \int_{[0; 1 [} \frac{f (t) - f (1)}{1 - t} d t + \int_{0}^{1} t^{N + 1} \frac{f (t) - f (1)}{t - 1} d t .

où l’intégrale intermédiaire existe car la fonction intégrée se prolonge par continuité avec la valeur $f^{'} (1)$ en $1$ .

À rebours des calculs précédents,

\int_{0}^{1} \frac{1 - t^{N + 1}}{1 - t} f (1) d t = \sum_{k = 0}^{N} \int_{0}^{1} t^{k} f (1) d t = f (1) \sum_{k = 0}^{N} \frac{1}{k + 1} \to_{N \to + \infty}^{} {\begin{matrix} 0 & si f (1) = 0 \\ \pm \infty & si f (1) \neq 0 . \end{matrix}

Aussi,

| \int_{0}^{1} t^{N + 1} \frac{f (t) - f (1)}{t - 1} d t | \leq \int_{0}^{1} M t^{N + 1} d t = \frac{M}{n + 2} \to_{N \to + \infty}^{} 0

avec

M = sup_{t \in [0; 1 [} | \frac{f (t) - f (1)}{t - 1} | \in ℝ

On en déduit que la famille ${(p_{n})}_{n \in ℕ}$ est sommable de somme égale à $1$ si, et seulement si,

f (1) = 0 et \int_{0}^{1} \frac{f (t)}{1 - t} d t = 1

[<] Tribu [>] Propriétés d'une probabilité

Édité le 29-08-2023

Construction d'une probabilité