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Exercice 1  4016  Correction  

Soit (an)n une suite strictement décroissante de réels positifs de limite nulle.
Déterminer λ tel qu’il existe une probabilité P sur (,()) vérifiant

P({n,n+1,})=λan.

Solution

Analyse: Si P est solution alors P()=1 et donc λa0=1. On en déduit λ=1/a0.
De plus,

P({n})=P({n,n+1,})-P({n+1,n+2,})=an-an+1a0

ce qui détermine P.

Synthèse: Posons

pn=an-an+1a0.

Les pn sont des réels positifs car la suite (an)n est décroissante. De plus,

n=0+pn=1a0n=0+(an-an+1)=1

car la suite (an)n est de limite nulle. Il existe donc une probabilité P sur vérifiant

P({n})=pn

et alors, par continuité croissante

P({n,n+1,})=k=n+pk=ana0.
 
Exercice 2  4298  

À quelles conditions sur la suite réelle (an)n existe-t-il une probabilité P sur l’espace probabilisé (,()) vérifiant

P({n,n+1,})=anpour tout n.
 
Exercice 3  4011   

Soit Ω un ensemble. On introduit

𝒯={AΩ|A ou A¯ est au plus dénombrable}.
  • (a)

    Vérifier que 𝒯 est une tribu sur Ω.

  • (b)

    On suppose Ω infini non dénombrable.

    Montrer que l’on définit une probabilité P sur (Ω,𝒯) en posant, pour tout A de 𝒯,

    P(A)={0 si A au plus dénombrable1 si A¯ au plus dénombrable.

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Édité le 08-11-2019

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