Exercice 1 5149

Trois individus $A$ , $B$ et $C$ se lancent une balle. À chaque instant $n \in ℕ$ :

•

si le joueur $A$ a la balle, il la lance au joueur $B$ avec la probabilité $1 / 3$ ou au joueur $C$ avec la probabilité $2 / 3$ ;
•

si le joueur $B$ a la balle, il la lance au joueur $C$ avec la probabilité $1 / 3$ ou au joueur $A$ avec la probabilité $2 / 3$ ;
•

si le joueur $C$ a la balle, il la lance au joueur $A$ avec la probabilité $1 / 3$ ou au joueur $B$ avec la probabilité $2 / 3$ .

Les différents lancers sont indépendants et c’est le joueur $A$ qui a la balle à l’instant initial $n = 0$ . On note $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ les probabilités respectives que les joueurs $A, B, C$ aient la balle à l’instant $n \in ℕ$ .

(a)

Exprimer $a_{n + 1}$ en fonction de $a_{n}$ , $b_{n}$ et $c_{n}$ .

On introduit $X_{n}$ la colonne de coefficients $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ .

(b)

Déterminer une matrice $M$ de $ℳ_{3} (ℝ)$ telle que $X_{n + 1} = M X_{n}$ .
(c)

En déduire les expressions de $a_{n}$ , $b_{n}$ et $c_{n}$ en fonction de $n$ .

Exercice 2 5110

Un individu se déplace sur l’axe $ℤ$ . À l’instant $n = 0$ , il se positionne en $0$ et, à chaque instant $n \in ℕ$ , il se déplace à droite ou à gauche d’une unité, de façon équiprobable et indépendante des mouvements qui précèdent. Soit $n \in ℕ^{*}$ .

(a)

Calculer la probabilité que l’individu soit de nouveau en $0$ à l’instant $n$ .
(b)

Calculer la probabilité que l’individu soit de nouveau en $0$ pour la première fois à l’instant $n$ .
(c)

Établir que l’individu repasse presque sûrement par $0$ .

Exercice 3 4306

(Retour à l’origine)

Un individu se déplace sur l’axe des $ℤ$ . Il est initialement en $0$ et, à chaque instant $n \in ℕ$ , il a la probabilité $d \in] 0; 1 [$ de se déplacer sur la droite et $g = 1 - d$ de se déplacer sur la gauche. Pour $n \in ℕ$ , on pose $p_{n}$ la probabilité que l’individu soit en $0$ à l’instant $n$ . Pour $n > 0$ , on pose $q_{n}$ la probabilité qu’il soit une première fois de retour en $0$ à l’instant $n$ . Enfin, on introduit les fonctions

P : t \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} p_{n} t^{n} et Q : t \mapsto \sum_{n = 1}^{+ \infty} q_{n} t^{n} .

(a)

Montrer que la fonction $P$ est définie sur $[0; 1 [$ et calculer $P (t)$ pour $t \in [0; 1 [$ .

On donne:

$\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{1}{2^{2 n}} (\binom{2 n}{n}) x^{n} pour tout x \in] - 1; 1 [.$
(b)

Montrer que la fonction $Q$ est définie et continue sur $[0; 1]$ .
(c)

Vérifier que $P (t) = 1 + P (t) Q (t)$ pour tout $t \in [0; 1 [$ .
(d)

Calculer la probabilité de l’événement « L’individu repasse par $0$ ».
(e)

Calculer la probabilité de « L’individu repasse au moins deux fois par $0$ ».
(f)

On suppose $d = g$ . Établir que l’individu repasse presque sûrement une infinité de fois par $0$ .

[<] Temps d'attente

Édité le 29-11-2025

Marches aléatoires