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Exercice 1  5149   

Trois individus A, B et C se lancent une balle. À chaque instant n:

  • si le joueur A a la balle, il la lance au joueur B avec la probabilité 1/3 ou au joueur C avec la probabilité 2/3;

  • si le joueur B a la balle, il la lance au joueur C avec la probabilité 1/3 ou au joueur A avec la probabilité 2/3;

  • si le joueur C a la balle, il la lance au joueur A avec la probabilité 1/3 ou au joueur B avec la probabilité 2/3.

Les différents lancers sont indépendants et c’est le joueur A qui a la balle à l’instant initial n=0. On note an,bn,cn les probabilités respectives que les joueurs A,B,C aient la balle à l’instant n.

  • (a)

    Exprimer an+1 en fonction de an, bn et cn.

On introduit Xn la colonne de coefficients an,bn,cn.

  • (b)

    Déterminer une matrice M de 3() telle que Xn+1=MXn.

  • (c)

    En déduire les expressions de an, bn et cn en fonction de n.

 
Exercice 2  5110    

Un individu se déplace sur l’axe des . À l’instant n=0, il se positionne en 0 et, à chaque instant n, il se déplace à droite ou à gauche d’une unité, de façon équiprobable et indépendante des mouvements qui précèdent. Soit n*.

  • (a)

    Calculer la probabilité que l’individu soit de nouveau en 0 à l’instant n.

  • (b)

    Calculer la probabilité que l’individu soit de nouveau en 0 pour la première fois à l’instant n.

  • (c)

    Établir que l’individu repasse presque sûrement par 0.

 
Exercice 3  4306    

(Retour à l’origine)

Un individu se déplace sur l’axe des . Il est initialement en 0 et, à chaque instant n, il a la probabilité d]0;1[ de se déplacer sur la droite et g=1-d de se déplacer sur la gauche. Pour n, on pose pn la probabilité que l’individu soit en 0 à l’instant n. Pour n>0, on pose qn la probabilité qu’il soit une première fois de retour en 0 à l’instant n. Enfin, on introduit les fonctions

P:tn=0+pntnetQ:tn=1+qntn.
  • (a)

    Montrer que la fonction P est définie sur [0;1[ et calculer P(t) pour t[0;1[.

    On donne:

    11-x=n=0+122n(2nn)xnpour tout x]-1;1[.
  • (b)

    Montrer que la fonction Q est définie et continue sur [0;1].

  • (c)

    Vérifier que P(t)=1+P(t)Q(t) pour tout t[0;1[.

  • (d)

    Calculer la probabilité de l’événement «  L’individu repasse par 0  ».

  • (e)

    Calculer la probabilité de «  L’individu repasse au moins deux fois par 0  ».

  • (f)

    On suppose d=g. Établir que l’individu repasse presque sûrement une infinité de fois par 0.

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Édité le 08-11-2019

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