[<] Construction d'une probabilité [>] Événements Indépendants

 
Exercice 1  4002  Correction  

Soit P une probabilité sur (,()).
Montrer que

P({n})n+0.

Solution

On a P()=1 et =n{n}. Par σ-additivité d’une probabilité

n=0+P({n})=1.

Puisque cette série converge, son terme général tend vers 0.
Par considération de reste de série convergente, on a aussi

P({k}kn)n+0.
 
Exercice 2  4041  

Soit (An)n une suite d’événements deux à deux incompatibles d’un espace probabilisé (Ω,𝒯,P). Montrer

limn+P(An)=0.
 
Exercice 3  5147   

Soit (Ω,𝒯,P) un espace probabilisé. Pour A,B𝒯, on pose

d(A,B)=P(AB)-P(AB).
  • (a)

    Soient A,B,C𝒯. Vérifier

    d(A,C)d(A,B)+d(B,C).
  • (b)

    En déduire

    |P(A)-P(B)|d(A,B).
 
Exercice 4  5146   

On considère un espace probabilisé (Ω,𝒯,P).

  • (a)

    Montrer qu’une réunion finie ou dénombrable d’événements négligeables est un événement négligeable.

  • (b)

    Que dire d’une intersection dénombrable d’événements presque sûrs?

 
Exercice 5  4010    

(Inégalités de Fatou)

Soit (An)n une suite d’événements de l’espace probabilisé (Ω,𝒯,P).
On introduit

A*=p=0+(n=p+An)etA*=p=0+(n=p+An).
  • (a)

    Vérifier que A* et A* sont des événements. Comment interpréter simplement ceux-ci?

  • (b)

    Montrer A*A*.

  • (c)

    Établir les inégalités

    P(A*)limp+(infnpP(An))etlimp+(supnpP(An))P(A*).
  • (d)

    Déterminer un exemple où ces inégalités sont strictes.

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Édité le 08-11-2019

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