Exercice 1 4002 Correction

Soit $P$ une probabilité sur $(ℕ, ℘ (ℕ))$ .
Montrer que

P ({n}) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Solution

On a $P (ℕ) = 1$ et $ℕ = ⋃_{n \in ℕ} {n}$ . Par $σ$ -additivité d’une probabilité

\sum_{n = 0}^{+ \infty} P ({n}) = 1 .

Puisque cette série converge, son terme général tend vers 0.
Par considération de reste de série convergente, on a aussi

P ({k} ∣ k \geq n) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 2 4041 MINES (PC)

Soit ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite d’événements deux à deux incompatibles d’un espace probabilisé $(Ω, 𝒜, P)$ . Montrer

lim_{n \to + \infty} P (A_{n}) = 0 .

Exercice 3 5559 Correction

Soient $A$ et $B$ deux événements d’un espace probabilisé $(Ω, 𝒜, P)$ .

Solution

Exercice 4 5147

Soit $(Ω, 𝒜, P)$ un espace probabilisé. Pour $A, B \in 𝒜$ , on pose

d (A, B) = P (A \cup B) - P (A \cap B) .

Exercice 5 5471 Correction

Soit $P$ une probabilité sur un univers $Ω$ .

(a)

Montrer que pour tout événement $A$ , $P (A) P (\bar{A}) \leq 1 / 4$ .
(b)

En déduire que, pour tous événements $A$ et $B$ ,

$| P (A \cap B) - P (A) P (B) | \leq \frac{1}{4} .$

Solution

(a)

Pour $x = P (A)$ , l’inégalité voulue se réécrit $x (1 - x) \leq 1 / 4$ . Une étude de la fonction $x \mapsto x (1 - x)$ sur $[0; 1]$ suffit à valider cette inégalité (classique).

(b)

L’événement $B$ est la réunion des événements incompatibles $A \cap B$ et $\bar{A} \cap B$ et donc

	$P (A \cap B) - P (A) P (B)$	$= P (A \cap B) - P (A) (P (A \cap B) + P (\bar{A} \cap B))$
		$= P (A \cap B) (1 - P (A)) - P (A) P (\bar{A} \cap B)$
		$\leq P (A \cap B) (1 - P (A)) \leq P (A) P (\bar{A}) \leq \frac{1}{4}$

mais aussi

	$P (A \cap B) - P (A) P (B)$	$= P (A \cap B) (1 - P (A)) - P (A) P (\bar{A} \cap B)$
		$\geq - P (A) P (\bar{A} \cap B) \geq - P (A) P (\bar{A}) \geq - \frac{1}{4} .$

On en déduit l’inégalité voulue.

Exercice 6 5146

On considère un espace probabilisé $(Ω, 𝒜, P)$ .

(a)

Montrer qu’une réunion finie ou dénombrable d’événements négligeables est un événement négligeable.
(b)

Que dire d’une intersection dénombrable d’événements presque sûrs?

Exercice 7 4000

(Lemme de Borel-Cantelli)

Soit ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite d’événements d’un espace probabilisé $(Ω, 𝒜, P)$ . On considère l’événement

A^{*} = ⋂_{p \in ℕ} (⋃_{n \geq p} A_{n}) .

(a)

Exprimer l’événement $A^{*}$ en langage naturel.
(b)

On suppose la convergence de la série $\sum P (A_{n})$ . Montrer $P (A^{*}) = 0$ .

Exercice 8 4010

(Inégalités de Fatou)

Soit ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite d’événements de l’espace probabilisé $(Ω, 𝒜, P)$ .
On introduit

A_{*} = ⋃_{p \in ℕ} (⋂_{n \geq p} A_{n}) et A^{*} = ⋂_{p \in ℕ} (⋃_{n \geq p} A_{n}) .

(a)

Vérifier que $A_{*}$ et $A^{*}$ sont des événements. Comment interpréter simplement ceux-ci?
(b)

Montrer $A_{*} \subset A^{*}$ .
(c)

Établir les inégalités

$P (A_{*}) \leq lim_{p \to + \infty} (inf_{n \geq p} P (A_{n})) et lim_{p \to + \infty} (sup_{n \geq p} P (A_{n})) \leq P (A^{*}) .$
(d)

Déterminer un exemple où ces inégalités sont strictes.

Édité le 29-08-2023

Propriétés d'une probabilité