[<] Ensemble dénombrable [>] Construction d'une probabilité
Soient une tribu sur un ensemble et une partie de .
Vérifier que définit une tribu sur .
Solution
avec donc .
Soit . On peut écrire avec et alors avec . Ainsi, le complémentaire de dans est élément de .
Soit une suite d’éléments de . On peut écrire avec et alors
Ainsi,
Soit une tribu sur vérifiant
Montrer que tout intervalle de est élément de .
Solution
Par définition d’une tribu, les intervalles et sont éléments de .
Par hypothèse, les intervalles avec sont éléments de .
Par passage au complémentaire, les intervalles sont aussi éléments de .
Aussi, on remarque
Par stabilité par réunion dénombrable, les intervalles avec sont éléments de .
Par passage au complémentaire, les intervalles sont aussi éléments de .
Enfin, pour tous , les intervalles bornés , , et appartiennent à en tant qu’intersection de deux intervalles de la forme précédente:
On note l’ensemble des parties de vérifiant
Établir que est une tribu sur .
Solution
L’ensemble est constitué de parties de et .
Pour , on vérifie que le complémentaire appartient à . En effet, pour ,
Soit une suite d’éléments de . Étudions la réunion de ses termes
Pour ,
Ainsi, est une partie de .
On peut conclure que est une tribu sur .
Soit un élément d’une tribu sur un ensemble .
Montrer que est une tribu sur .
Montrer que est une tribu sur .
Que dire de ?
Solution
est une partie de qui contient puisque .
Si alors et donc, par passage au complémentaire puis . Or
Ainsi, : est stable par passage au complémentaire.
Enfin, soit est une suite d’éléments de . On observe
et donc
Finalement, est une tribu sur .
On peut adapter la démonstration qui précède ou observer
Par l’étude précédente,
est une tribu sur . Celle-ci étant stable par passage au complémentaire,
et donc
est une tribu sur .
Pour , on remarque
Si alors donc . Si de plus , l’égalité précédente assure que . Ainsi,
L’inclusion réciproque est immédiate et donc .
Dans ce sujet dénombrable signifie « au plus dénombrable ».
Soit un ensemble. On introduit
Vérifier que est une tribu sur .
Justifier que est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) contenant les singletons pour parcourant .
Vérifier que si est dénombrable alors .
Solution
donc est dénombrable et .
est évidemment stable par passage au complémentaire.
Soit une suite d’éléments de .
Cas: Tous les sont dénombrables.
La réunion est dénombrable en tant qu’union dénombrable de parties dénombrables.
Cas: L’un des n’est pas dénombrable.
Posons ce vilain canard. On a nécessairement dénombrable.
Or
donc est dénombrable car inclus dans une partie qui l’est.
Dans les deux cas, l’union des est élément de .
est une tribu contenant tous les pour parcourant .
Soit une tribu contenant tous les pour parcourant .
Les parties dénombrables de peuvent se percevoir comme réunion dénombrable de leurs éléments et sont donc éléments de la tribu .
Les partie dont le complémentaire est dénombrables sont alors aussi éléments de la tribu .
On en déduit que .
Si est dénombrable alors toute partie de peut s’écrire comme réunion dénombrable de parties et est donc élément de . On en déduit .
Soient une application et une tribu sur . Vérifier que
définit une tribu sur .
Solution
avec donc
Soit . Il existe tel que . On a alors
donc
Soit . Il existe telle que
Or
donc
Soit une application et l’ensemble
Vérifier que est une tribu sur .
Solution
On a donc .
Soit . Vérifions c’est-à-dire .
L’inclusion directe est toujours vraie. Inversement, soit . Il existe tel que . Si par l’absurde alors . Ceci étant exclu, et donc puis égal.
Soit une suite d’éléments de .
On a
puis
On peut donc conclure
(Tribu engendrée par une partie)
Soit un univers.
Soit une famille de tribus sur . Montrer que détermine une tribu sur .
Soit une partie de . Montrer qu’il existe une unique tribu contenant et incluse dans toutes les tribus contenant .
Soit une suite d’évènements de l’espace probabilisable .
Vérifier que l’ensemble suivant est un événement:
Comment exprimer l’événement en langage naturel?
Mêmes questions avec
Solution
Pour tout , est un évènement car c’est une intersection dénombrable d’évènements. On en déduit que est un évènement par union dénombrable d’évènements.
L’évènement sera réalisé si, et seulement si, est réalisé pour un certain . Cela signifie que les évènements de la suite sont réalisés à partir d’un certain rang (ou encore que seul un nombre fini de ne sont pas réalisés).
est un évènement par des arguments analogues aux précédents.
La non réalisation de signifie la réalisation de
ce qui revient à signifier que seul un nombre fini de sont réalisés.
Par négation, la réalisation de signifie qu’une infinité de sont réalisés.
Soit un événement d’un espace probabilisé .
Montrer que l’ensemble des événements indépendants de
contient ,
est stable par passage au complémentaire,
est stable par réunion dénombrable d’événements deux à deux incompatibles,
ne forme généralement pas une tribu sur .
Soient un ensemble infini et une famille de parties de vérifiant
On pose
Montrer que est une tribu de .
On suppose l’ensemble dénombrable.
Montrer que toute tribu infinie sur est de la forme ci-dessus pour une certaine famille .
Existe-t-il des tribus dénombrables?
Solution
Considérons l’application qui envoie sur l’unique tel que .
Pour chaque , on a et donc se comprend comme l’image réciproque de la tribu par l’application . C’est donc bien une tribu.
Soit une tribu sur l’ensemble dénombrable . On définit une relation d’équivalence sur en affirmant que deux éléments et sont en relation si, et seulement si,
Les classes d’équivalence de la relation constituent une partition de et puisque l’ensemble est dénombrable, ces classes d’équivalence sont au plus dénombrables.
Par construction
Aussi, si alors il existe tel que
Quitte à considérer , on peut supposer et et l’on note cet ensemble.
On a alors
En effet:
l’intersection est élément de car il s’agit d’une intersection au plus dénombrable;
la classe est incluse dans l’intersection car est élément de cette intersection;
si un élément n’est par dans la classe, il n’est pas non plus dans l’ensemble figurant dans l’intersection.
De plus, les éléments de la tribu se décrivent sous la forme
S’il n’y a qu’un nombre fini de classe d’équivalence, la tribu est de cardinal fini ce que les hypothèses excluent. Les classes d’équivalences sont donc en nombre dénombrables, on peut les décrire par une suite vérifiant les hypothèses du sujet et les éléments de la tribu apparaissent comme ceux de la forme
L’ensemble n’étant pas dénombrable, ce qui précède assure l’inexistence de tribus dénombrables.
[<] Ensemble dénombrable [>] Construction d'une probabilité
Édité le 29-08-2023
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