Exercice 1 3995 Correction

Soient $𝒜$ une tribu sur un ensemble $Ω$ et $Ω^{'}$ une partie de $Ω$ .
Vérifier que $𝒜^{'} = {A \cap Ω^{'} | A \in 𝒜}$ définit une tribu sur $Ω^{'}$ .

Solution

$Ω^{'} = Ω \cap Ω^{'}$ avec $Ω \in 𝒜$ donc $Ω^{'} \in 𝒜^{'}$ .
Soit $B \in 𝒜^{'}$ . On peut écrire $B = A \cap Ω^{'}$ avec $A \in 𝒜$ et alors $Ω^{'} ∖ B = \bar{A} \cap Ω^{'}$ avec $\bar{A} \in 𝒜$ . Ainsi, le complémentaire de $B$ dans $Ω^{'}$ est élément de $𝒜^{'}$ .
Soit $(B_{n})$ une suite d’éléments de $𝒜^{'}$ . On peut écrire $B_{n} = A_{n} \cap Ω^{'}$ avec $A_{n} \in 𝒜$ et alors

⋃_{n = 0}^{+ \infty} B_{n} = (⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n}) \cap Ω^{'} avec ⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} \in 𝒜 .

Ainsi,

⋃_{n = 0}^{+ \infty} B_{n} \in 𝒜^{'} .

Exercice 2 5595 Correction

Soit $𝒜$ une tribu sur $ℝ$ vérifiant

\forall x \in ℝ,] - \infty; x] \in 𝒜 .

Montrer que tout intervalle de $ℝ$ est élément de $𝒜$ .

Solution

Par définition d’une tribu, les intervalles $ℝ$ et $\emptyset$ sont éléments de $𝒜$ .

Par hypothèse, les intervalles $] - \infty; x]$ avec $x \in ℝ$ sont éléments de $𝒜$ .

Par passage au complémentaire, les intervalles $] x; + \infty [$ sont aussi éléments de $𝒜$ .

Aussi, on remarque

] - \infty; x [= ⋃_{n \in ℕ^{*}}] - \infty; x - 1 / n] .

Par stabilité par réunion dénombrable, les intervalles $] - \infty; x [$ avec $x \in ℝ$ sont éléments de $𝒜$ .

Par passage au complémentaire, les intervalles $[x; + \infty [$ sont aussi éléments de $𝒜$ .

Enfin, pour tous $a \leq b \in ℝ$ , les intervalles bornés $[a; b]$ , $[a; b [$ , $] a; b]$ et $] a; b [$ appartiennent à $𝒜$ en tant qu’intersection de deux intervalles de la forme précédente:

	$[a; b] =] - \infty; b] \cap [a; + \infty [,$
	$[a; b [=] - \infty; b [\cap [a; + \infty [,$
	$] a; b] =] - \infty; b] \cap] a; + \infty [,$
	$] a; b [=] - \infty; b [\cap] a; + \infty [.$

Exercice 3 5622 Correction

On note $𝒜$ l’ensemble des parties $A$ de $ℕ$ vérifiant

\forall k \in ℕ, 2 k \in A \Leftrightarrow 2 k + 1 \in A .

Établir que $𝒜$ est une tribu sur $ℕ$ .

Solution

L’ensemble $𝒜$ est constitué de parties de $ℕ$ et $ℕ \in 𝒜$ .

Pour $A \in 𝒜$ , on vérifie que le complémentaire $\bar{A}$ appartient à $𝒜$ . En effet, pour $k \in ℕ$ ,

	$2 k \in \bar{A}$	$\Leftrightarrow 2 k \notin A$
		$\Leftrightarrow 2 k + 1 \notin A$
		$\Leftrightarrow 2 k + 1 \in \bar{A} .$

Soit ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite d’éléments de $𝒜$ . Étudions la réunion de ses termes

A = ⋃_{n \in ℕ} A_{n} .

Pour $k \in ℕ$ ,

	$2 k \in A$	$\Leftrightarrow \exists n \in ℕ, 2 k \in A_{n}$
		$\Leftrightarrow \exists n \in ℕ, 2 k + 1 \in A_{n}$
		$\Leftrightarrow 2 k + 1 \in A .$

Ainsi, $A$ est une partie de $𝒜$ .

On peut conclure que $𝒜$ est une tribu sur $ℕ$ .

Exercice 4 5726 Correction

Soit $B$ un élément d’une tribu $𝒜$ sur un ensemble $Ω$ .

(a)

Montrer que $𝒜_{1} = {A \subset Ω | A \cap B \in 𝒜}$ est une tribu sur $Ω$ .
(b)

Montrer que $𝒜_{2} = {A \subset Ω | A \cup B \in 𝒜}$ est une tribu sur $Ω$ .
(c)

Que dire de $𝒜_{3} = {A \subset Ω | A \cup B \in 𝒜 et A \cap B \in 𝒜}$ ?

Solution

(a)

$𝒜_{1}$ est une partie de $℘ (Ω)$ qui contient $Ω$ puisque $Ω \cap B = B \in 𝒜$ .

Si $A \in 𝒜_{1}$ alors $A \cap B \in 𝒜$ et donc, par passage au complémentaire $\bar{A} \cup \bar{B} \in 𝒜$ puis $(\bar{A} \cup \bar{B}) \cap B \in 𝒜$ . Or

$(\bar{A} \cup \bar{B}) \cap B = (\bar{A} \cap B) \cup (\underset{\begin{matrix} = \emptyset \end{matrix}}{\underset{⏟}{\bar{B} \cap B}}) = \bar{A} \cap B .$

Ainsi, $\bar{A} \cap B \in 𝒜$ : $𝒜_{1}$ est stable par passage au complémentaire.

Enfin, soit ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ est une suite d’éléments de $𝒜_{1}$ . On observe

$(⋃_{n \in ℕ} A_{n}) \cap B = ⋃_{n \in ℕ} (A_{n} \cap B) \in 𝒜$

et donc

$⋃_{n \in ℕ} A_{n} \in 𝒜_{1} .$

Finalement, $𝒜_{1}$ est une tribu sur $Ω$ .
(b)

On peut adapter la démonstration qui précède ou observer

$A \cup B \in 𝒜 \Leftrightarrow \bar{A} \cap \bar{B} \in 𝒜 .$

Par l’étude précédente,

${A \subset Ω | A \cap \bar{B} \in 𝒜}$

est une tribu sur $Ω$ . Celle-ci étant stable par passage au complémentaire,

$A \cap \bar{B} \in 𝒜 \Leftrightarrow \bar{A} \cap \bar{B} \in 𝒜$

et donc

$𝒜_{2} = {A \subset Ω | \bar{A} \cap \bar{B} \in 𝒜} = {A \subset Ω | A \cap \bar{B} \in 𝒜}$

est une tribu sur $Ω$ .
(c)

Pour $A \subset Ω$ , on remarque

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \bar{B}) .$

Si $A \cup B \in 𝒜$ alors $\bar{A} \cup B \in 𝒜$ donc $A \cap \bar{B} \in 𝒜$ . Si de plus $A \cap B \in 𝒜$ , l’égalité précédente assure que $A \in 𝒜$ . Ainsi,

${A \subset Ω | A \cup B \in 𝒜 et A \cap B \in 𝒜} \subset 𝒜 .$

L’inclusion réciproque est immédiate et donc $𝒜_{3} = 𝒜$ .

Exercice 5 4007 Correction

Dans ce sujet dénombrable signifie « au plus dénombrable ».
Soit $Ω$ un ensemble. On introduit

𝒜 = {A \subset Ω | A ou \bar{A} est dénombrable} .

(a)

Vérifier que $𝒜$ est une tribu sur $Ω$ .
(b)

Justifier que $𝒜$ est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) contenant les singletons ${ω}$ pour $ω$ parcourant $Ω$ .
(c)

Vérifier que si $Ω$ est dénombrable alors $𝒜 = ℘ (Ω)$ .

Solution

(a)

$\bar{Ω} = \emptyset$ donc $\bar{Ω}$ est dénombrable et $Ω \in 𝒜$ .
$𝒜$ est évidemment stable par passage au complémentaire.
Soit ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite d’éléments de $𝒜$ .
Cas: Tous les $A_{n}$ sont dénombrables. La réunion $⋃_{n \in ℕ} A_{n}$ est dénombrable en tant qu’union dénombrable de parties dénombrables.
Cas: L’un des $A_{n}$ n’est pas dénombrable. Posons $A_{n_{0}}$ ce vilain canard. On a nécessairement $\bar{A_{n_{0}}}$ dénombrable.
Or

$\bar{⋃_{n \in ℕ} A_{n}} \subset ⋂_{n \in ℕ} \bar{A_{n}} \subset \bar{A_{n_{0}}}$

donc $\bar{⋃_{n \in ℕ} A_{n}}$ est dénombrable car inclus dans une partie qui l’est.
Dans les deux cas, l’union des ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ est élément de $𝒜$ .
(b)

$𝒜$ est une tribu contenant tous les ${ω}$ pour $ω$ parcourant $Ω$ .
Soit $𝒜$ une tribu contenant tous les ${ω}$ pour $ω$ parcourant $Ω$ .
Les parties dénombrables de $Ω$ peuvent se percevoir comme réunion dénombrable de leurs éléments et sont donc éléments de la tribu $A$ .
Les partie dont le complémentaire est dénombrables sont alors aussi éléments de la tribu $A$ .
On en déduit que $𝒜 \subset 𝒜$ .
(c)

Si $Ω$ est dénombrable alors toute partie de $Ω$ peut s’écrire comme réunion dénombrable de parties ${ω}$ et est donc élément de $𝒜$ . On en déduit $℘ (Ω) = 𝒜$ .

Exercice 6 3997 Correction

Soient $f : Ω \to Ω^{'}$ une application et $𝒜^{'}$ une tribu sur $Ω^{'}$ . Vérifier que

𝒜 = {f^{- 1} (A^{'}) | A^{'} \in 𝒜^{'}}

définit une tribu sur $Ω$ .

Solution

$Ω = f^{- 1} (Ω^{'})$ avec $Ω^{'} \in 𝒜^{'}$ donc

Ω \in 𝒜 .

Soit $A \in 𝒜$ . Il existe $A^{'} \in 𝒜^{'}$ tel que $A = f^{- 1} (A^{'})$ . On a alors

\bar{A} = f^{- 1} (\bar{A^{'}}) avec \bar{A^{'}} \in 𝒜^{'}

donc

\bar{A} \in 𝒜^{'} .

Soit ${(A_{n})}_{n \in ℕ} \in 𝒜^{ℕ}$ . Il existe ${(A_{n}^{'})}_{n \in ℕ} \in 𝒜^{', ℕ}$ telle que

\forall n \in ℕ, A_{n} = f^{- 1} (A_{n}^{'}) .

⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} = f^{- 1} (⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n}^{'}) avec ⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n}^{'} \in 𝒜^{'}

donc

⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} \in 𝒜 .

Exercice 7 4008 Correction

Soit une application $f : Ω \to Ω^{'}$ et l’ensemble

𝒜 = {A \subset Ω | A = f^{- 1} (f (A))} .

Vérifier que $𝒜$ est une tribu sur $Ω$ .

Solution

On a $Ω = f^{- 1} (f (Ω))$ donc $Ω \in 𝒜$ .

Soit $A \in 𝒜$ . Vérifions $\bar{A} \in 𝒜$ c’est-à-dire $\bar{A} = f^{- 1} (f (\bar{A}))$ .

L’inclusion directe est toujours vraie. Inversement, soit $x \in f^{- 1} (f (\bar{A}))$ . Il existe $y \in \bar{A}$ tel que $f (x) = f (y)$ . Si par l’absurde $x \in A$ alors $y \in f^{- 1} (f (A)) = A$ . Ceci étant exclu, $x \in \bar{A}$ et donc $f^{- 1} (f (\bar{A})) \subset \bar{A}$ puis égal.

Soit ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite d’éléments de $𝒜$ .

On a

f (⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n}) = ⋃_{n = 0}^{+ \infty} f (A_{n})

puis

f^{- 1} (f (⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n})) = ⋃_{n = 0}^{+ \infty} f^{- 1} (f (A_{n})) = ⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} .

On peut donc conclure

⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} \in 𝒜 .

Exercice 8 4302

(Tribu engendrée par une partie)

Soit $Ω$ un univers.

(a)

Soit ${(𝒜_{i})}_{i \in I}$ une famille de tribus sur $Ω$ . Montrer que $𝒜 = ⋂_{i \in I} 𝒜_{i}$ détermine une tribu sur $Ω$ .
(b)

Soit $𝒮$ une partie de $℘ (Ω)$ . Montrer qu’il existe une unique tribu contenant $𝒮$ et incluse dans toutes les tribus contenant $𝒮$ .

Exercice 9 3999 Correction

Soit ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ une suite d’évènements de l’espace probabilisable $(Ω, 𝒜)$ .

(a)

Vérifier que l’ensemble $A$ suivant est un événement:

$A = ⋃_{p \in ℕ} ⋂_{n \geq p} A_{n}$

Comment exprimer l’événement $A$ en langage naturel?
(b)

Mêmes questions avec

$A^{'} = ⋂_{p \in ℕ} ⋃_{n \geq p} A_{n} .$

Solution

(a)

Pour tout $p \in ℕ$ , $⋂_{n \geq p} A_{n}$ est un évènement car c’est une intersection dénombrable d’évènements. On en déduit que $A$ est un évènement par union dénombrable d’évènements.

L’évènement $A$ sera réalisé si, et seulement si, $⋂_{n \geq p} A_{n}$ est réalisé pour un certain $p$ . Cela signifie que les évènements de la suite $(A_{n})$ sont réalisés à partir d’un certain rang (ou encore que seul un nombre fini de $A_{n}$ ne sont pas réalisés).
(b)

$A^{'}$ est un évènement par des arguments analogues aux précédents.

La non réalisation de $A^{'}$ signifie la réalisation de

$\bar{A^{'}} = ⋃_{p \in ℕ} ⋂_{n \geq p} \bar{A_{n}}$

ce qui revient à signifier que seul un nombre fini de $A_{n}$ sont réalisés.

Par négation, la réalisation de $A^{'}$ signifie qu’une infinité de $A_{n}$ sont réalisés.

Exercice 10 4301

Soit $B$ un événement d’un espace probabilisé $(Ω, 𝒜, P)$ .

Montrer que l’ensemble des événements indépendants de $B$

(a)

contient $Ω$ ,
(b)

est stable par passage au complémentaire,
(c)

est stable par réunion dénombrable d’événements deux à deux incompatibles,
(d)

ne forme généralement pas une tribu sur $Ω$ .

Exercice 11 4006 Correction

Soient $Ω$ un ensemble infini et ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ une famille de parties de $Ω$ vérifiant

n \neq m ⟹ A_{n} \cap A_{m} = \emptyset et ⋃_{n \in ℕ} A_{n} = Ω .

On pose

𝒜 = {⋃_{n \in T} A_{n} | T \in ℘ (ℕ)} .

(a)

Montrer que $𝒜$ est une tribu de $Ω$ .
(b)

On suppose l’ensemble $Ω$ dénombrable.
Montrer que toute tribu infinie sur $Ω$ est de la forme ci-dessus pour une certaine famille ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ .
(c)

Existe-t-il des tribus dénombrables?

Solution

(a)

Considérons l’application $φ : Ω \to ℕ$ qui envoie $ω$ sur l’unique $n \in ℕ$ tel que $ω \in A_{n}$ .
Pour chaque $T \subset ℕ$ , on a $φ^{- 1} (T) = ⋃_{n \in T} A_{n}$ et donc $𝒜$ se comprend comme l’image réciproque de la tribu $℘ (ℕ)$ par l’application $φ$ . C’est donc bien une tribu.
(b)
Soit $𝒜$ une tribu sur l’ensemble dénombrable $Ω$ . On définit une relation d’équivalence $ℛ$ sur $Ω$ en affirmant que deux éléments $ω$ et $ω^{'}$ sont en relation si, et seulement si,

$\forall A \in 𝒜, ω \in A \Leftrightarrow ω^{'} \in A .$

Les classes d’équivalence de la relation $ℛ$ constituent une partition de $Ω$ et puisque l’ensemble $Ω$ est dénombrable, ces classes d’équivalence sont au plus dénombrables.
Par construction

$\forall A \in 𝒜, ω \in A ⟹ C l (ω) \subset A .$

Aussi, si $ω^{'} \notin C l (ω)$ alors il existe $A \in 𝒜$ tel que

$(ω \in A et ω^{'} \notin A) ou (ω \notin A et ω^{'} \in A) .$

Quitte à considérer $\bar{A}$ , on peut supposer $ω \in A$ et $ω^{'} \notin A$ et l’on note $A_{ω^{'}}$ cet ensemble.
On a alors

$C l (ω) = ⋂_{ω^{'} \notin C l (ω)} A_{ω^{'}} \in 𝒜 .$

En effet:
- —
  
  l’intersection est élément de $𝒜$ car il s’agit d’une intersection au plus dénombrable;
- —
  
  la classe est incluse dans l’intersection car $ω$ est élément de cette intersection;
- —
  
  si un élément $ω^{'}$ n’est par dans la classe, il n’est pas non plus dans l’ensemble $A_{ω^{'}}$ figurant dans l’intersection.
De plus, les éléments $A$ de la tribu $𝒜$ se décrivent sous la forme

$A = ⋃_{ω \in A} C l (ω) .$

S’il n’y a qu’un nombre fini de classe d’équivalence, la tribu $𝒜$ est de cardinal fini ce que les hypothèses excluent. Les classes d’équivalences sont donc en nombre dénombrables, on peut les décrire par une suite ${(A_{n})}_{n \in ℕ}$ vérifiant les hypothèses du sujet et les éléments de la tribu $𝒜$ apparaissent comme ceux de la forme

$⋃_{n \in T} A_{n} avec T \in ℘ (ℕ) .$
(c)

L’ensemble $℘ (ℕ)$ n’étant pas dénombrable, ce qui précède assure l’inexistence de tribus dénombrables.

Exercice 12 6122 Correction

On considère $Ω = {0, 1}^{ℤ}$ l’ensemble des suites binaires bi-infinies

ω = (\dots, ω_{- 1}, ω_{0}, ω_{1}, \dots)

et l’on introduit l’application bijective $T : Ω \to Ω$ de décalage définie par

T (ω) = {(ω_{n + 1})}_{n \in ℤ} .

On admet que l’univers peut être muni d’une tribu $𝒜$ et d’une probabilité $P$ vérifiant:

(a)

$\forall n \in ℤ, A_{n} = {ω \in Ω | ω_{n} = 1} \in 𝒜$ et $P (A_{n}) = \frac{1}{2}$ ;
(b)

Les événements $A_{n}$ sont indépendants;
(c)

Pour tout $A \in 𝒜$ , $P (T (A)) = P (A)$ .

Cet espace probabilisé permet d’étudier le processus de lancers de pile ou face équilibré infini dans le passé et le futur. Cet exercice ambitionne d’établir qu’il est existe des sous-ensembles de $Ω$ qui ne sont pas des événements (et qui ne peuvent donc pas être mesurés).

(a)

On définit une relation binaire sur $Ω$ en posant

$ω \sim ω^{'} \Leftrightarrow \exists k \in ℤ, T^{k} (ω) = ω^{'} .$

Vérifier que $\sim$ est une relation d’équivalence sur $Ω$
(b)

Soit $t \in ℕ^{*}$ . Déterminer le cardinal de l’ensemble $𝒫_{k}$ des éléments $ω \in Ω$ vérifiant $T^{k} (ω) = ω$ ?
(c)

Établir que la réunion $𝒫 = ⋃_{k \in ℕ^{*}} 𝒫_{k}$ est un événement négligeable de $(Ω, 𝒜, P)$ .

On considère $Ω^{'} = Ω ∖ 𝒫$ et l’on vérifie sans peine que $\sim$ définit encore une relation d’équivalence sur $Ω^{'}$ . Pour chaque classe d’équivalence, on choisit un unique représentant et l’on note $V \subset Ω^{'}$ l’ensemble des représentants retenus.

Par l’absurde, on suppose que $V$ est un événement de l’espace $(Ω, 𝒜, P)$ et l’on pose $p = P (V)$

Enfin, pour $k \in ℤ$ , on pose $V_{k} = T^{k} (V)$ .

(d)

Établir que les $V_{k}$ sont disjoints deux à deux.
(e)

Conclure.

Solution

(a)

La relation $\sim$ est réflexive puisque $T^{0} = Id$ . Elle est symétrique car, si $T^{k} (ω) = ω^{'}$ , alors $ω = T^{- k} (ω^{'})$ . Elle est transitive car, si $T^{k} (ω) = ω^{'}$ et $T^{ℓ} (ω^{'}) = ω^{''}$ , alors

$T^{k + ℓ} (ω) = ω^{''} .$

Ainsi, $\sim$ est une relation d’équivalence sur $Ω$ .
(b)

Soit $k \in ℕ^{*}$ . Un élément $ω \in Ω$ vérifie $T^{k} (ω) = ω$ si, et seulement si,

$\forall n \in ℤ, ω_{n + k} = ω_{n} .$

La suite $ω$ est donc $k$ -périodique. Elle est entièrement déterminée par les valeurs

$(ω_{0}, ω_{1}, \dots, ω_{k - 1}) \in {0, 1}^{k} .$

Il y a donc exactement $2^{k}$ éléments dans $𝒫_{k}$ .
(c)

Pour chaque $ω \in Ω$ , on a $P ({ω}) = 0$ car

$P ({ω}) = lim_{n \to + \infty} P (⋂_{k = - n}^{n} A_{k}^{ω_{k}}) = lim_{n \to + \infty} \frac{1}{2^{2 n + 1}} = 0$

en adoptant la notation $A_{k}^{1} = A_{k}$ et $A_{k}^{0} = \bar{A_{k}}$ .

Par réunion finie d’événements négligeables, $P (𝒫_{k}) = 0$ pour tout $k \geq 1$ .

La réunion dénombrable

$𝒫 = ⋃_{k ⩾ 1} 𝒫_{k}$

est donc un événement négligeable.
(d)

Soient $k, ℓ \in ℤ$ avec $k \neq ℓ$ . Supposons qu’il existe $ω \in V_{k} \cap V_{ℓ}$ . Alors il existe $ω_{1}, ω_{2} \in V$ telles que

$ω = T^{k} (ω_{1}) = T^{ℓ} (ω_{2}) .$

On a donc $ω_{2} = T^{k - ℓ} (ω_{1})$ , ce qui montre que $ω_{1} \sim ω_{2}$ . Par unicité du représentant choisi dans chaque classe, on obtient $ω_{1} = ω_{2}$ et donc $T^{k - ℓ} (ω_{1}) = ω_{1}$ .

Cela est impossible puisque $ω_{1} \in Ω^{'}$ .

Ainsi, les ensembles $V_{k}$ sont deux à deux disjoints.
(e)

Par invariance de la probabilité par $T$ , on a pour tout $k \in ℤ$ ,

$P (V_{k}) = P (V) = p .$

Comme les $V_{k}$ sont deux à deux disjoints,

$P (⋃_{k \in ℤ} V_{k}) = \sum_{k \in ℤ} P (V_{k}) = \sum_{k \in ℤ} p .$

Cette somme est infinie si $p > 0$ et nulle si $p = 0$ .

Or $⋃_{k \in ℤ} V_{k} = Ω^{'}$ et $P (Ω^{'}) = 1$ .

Il y a contradiction dans tous les cas. Ainsi, $V$ n’est pas un événement.

[<] Ensemble dénombrable [>] Construction d'une probabilité

Édité le 11-03-2026