[<] Ensemble dénombrable [>] Construction d'une probabilité

 
Exercice 1  3995  Correction  

Soient 𝒯 une tribu sur un ensemble Ω et Ω une partie de Ω.
Vérifier que 𝒯={AΩ|A𝒯} définit une tribu sur Ω.

Solution

Ω=ΩΩ avec Ω𝒯 donc Ω𝒯.
Soit B𝒯. On peut écrire B=AΩ avec A𝒯 et alors ΩB=A¯Ω avec A¯𝒯. Ainsi, le complémentaire de B dans Ω est élément de 𝒯.
Soit (Bn) une suite d’éléments de 𝒯. On peut écrire Bn=AnΩ avec An𝒯 et alors

n=0+Bn=(n=0+An)Ω avec n=0+An𝒯.

Ainsi,

n=0+Bn𝒯.
 
Exercice 2  4007   Correction  

Dans ce sujet dénombrable signifie «  au plus dénombrable   ».
Soit Ω un ensemble. On introduit

𝒯={AΩ|A ou A¯ est dénombrable}.
  • (a)

    Vérifier que 𝒯 est une tribu sur Ω.

  • (b)

    Justifier que 𝒯 est la plus petite tribu (au sens de l’inclusion) contenant les singletons {ω} pour ω parcourant Ω.

  • (c)

    Vérifier que si Ω est dénombrable alors 𝒯=(Ω).

Solution

  • (a)

    Ω¯= donc Ω¯ est dénombrable et Ω𝒯.
    𝒯 est évidemment stable par passage au complémentaire.
    Soit (An)n une suite d’éléments de 𝒯.
    Cas: Tous les An sont dénombrables. La réunion nAn est dénombrable en tant qu’union dénombrable de parties dénombrables.
    Cas: L’un des An n’est pas dénombrable. Posons An0 ce vilain canard. On a nécessairement An0¯ dénombrable.
    Or

    nAn¯nAn¯An0¯

    donc nAn¯ est dénombrable car inclus dans une partie qui l’est.
    Dans les deux cas, l’union des (An)n est élément de 𝒯.

  • (b)

    𝒯 est une tribu contenant tous les {ω} pour ω parcourant Ω.
    Soit 𝒜 une tribu contenant tous les {ω} pour ω parcourant Ω.
    Les parties dénombrables de Ω peuvent se percevoir comme réunion dénombrable de leurs éléments et sont donc éléments de la tribu A.
    Les partie dont le complémentaire est dénombrables sont alors aussi éléments de la tribu A.
    On en déduit que 𝒯𝒜.

  • (c)

    Si Ω est dénombrable alors toute partie de Ω peut s’écrire comme réunion dénombrable de parties {ω} et est donc élément de 𝒯. On en déduit (Ω)=𝒯.

 
Exercice 3  3997   Correction  

Soient f:ΩΩ une application et 𝒯 une tribu sur Ω. Vérifier que

𝒯={f-1(A)|A𝒯}

définit une tribu sur Ω.

Solution

Ω=f-1(Ω) avec Ω𝒯 donc

Ω𝒯.

Soit A𝒯. Il existe A𝒯 tel que A=f-1(A). On a alors

A¯=f-1(A¯) avec A¯𝒯

donc

A¯𝒯.

Soit (An)n𝒯. Il existe (An)n𝒯 telle que

n,An=f-1(An).

Or

n=0+An=f-1(n=0+An) avec n=0+An𝒯

donc

n=0+An𝒯.
 
Exercice 4  4008   Correction  

Soit une application f:ΩΩ et l’ensemble

𝒯={AΩ|A=f-1(f(A))}.

Vérifier que 𝒯 est une tribu sur Ω.

Solution

On a Ω=f-1(f(Ω)) donc Ω𝒯.
Soit A𝒯. Vérifions A¯𝒯 c’est-à-dire A¯=f-1(f(A¯)).
L’inclusion directe est toujours vraie. Inversement, soit xf-1(f(A¯)). Il existe yA¯ tel que f(x)=f(y). Si par l’absurde xA alors yf-1(f(A))=A. Ceci étant exclu, xA¯ et donc f-1(f(A¯))A¯ puis égal.
Soit (An)n une suite d’éléments de 𝒯.
On a

f(n=0+An)=n=0+f(An)

puis

f-1(f(n=0+An))=n=0+f-1(f(An))=n=0+An.

On peut donc conclure

n=0+An𝒯.
 
Exercice 5  4302   

Soit Ω un univers.

  • (a)

    Soit (𝒜i)iI une famille de tribus sur Ω. Montrer que 𝒜=iI𝒜i détermine une tribu sur Ω.

  • (b)

    Soit 𝒮 une partie de (Ω). Montrer qu’il existe une unique tribu contenant 𝒮 et incluse dans toutes les tribus contenant 𝒮.

 
Exercice 6  3999  Correction  

Soit (An)n une suite d’évènements de l’espace probabilisable (Ω,𝒯).

  • (a)

    Vérifier que

    A=pnpAn

    est un évènement. À quelle condition simple sur la suite d’évènements (An)n l’évènement A sera-t-il réalisé?

  • (b)

    Même question avec

    A=pnpAn.

Solution

  • (a)

    Pour tout p, npAn est un évènement car intersection dénombrable d’évènements. On en déduit que A est un évènement par union dénombrable d’évènements.
    L’évènement A sera réalisé si, et seulement si, npAn est réalisé pour un certain p. Cela signifie que les évènements de la suite (An) sont réalisés à partir d’un certain rang (ou encore que seul un nombre fini de An ne sont pas réalisés).

  • (b)

    A est un évènement par des arguments analogues aux précédents.
    La non réalisation de A signifie la réalisation de

    A¯=pnpAn¯

    ce qui revient à signifier que seul un nombre fini de An sont réalisés.
    Par négation, la réalisation de A signifie qu’une infinité de An sont réalisés.

 
Exercice 7  4301   

Soit B un événement d’un espace probabilisé (Ω,𝒯,P).

Montrer que l’ensemble des événements indépendants de B

  • (a)

    contient Ω,

  • (b)

    est stable par passage au complémentaire,

  • (c)

    est par réunion dénombrable d’événements deux à deux incompatibles,

  • (d)

    ne forme généralement pas une tribu sur Ω.

 
Exercice 8  4006    Correction  

Soient Ω un ensemble infini et (An)n une famille de parties de Ω vérifiant

nmAnAm=etnAn=Ω.

On pose

𝒜={nTAn|T()}.
  • (a)

    Montrer que 𝒜 est une tribu de Ω.

  • (b)

    On suppose l’ensemble Ω dénombrable.
    Montrer que toute tribu infinie sur Ω est de la forme ci-dessus pour une certaine famille (An)n.

  • (c)

    Existe-t-il des tribus dénombrables?

Solution

  • (a)

    Considérons l’application φ:Ω qui envoie ω sur l’unique n tel que ωAn.
    Pour chaque T, on a φ-1(T)=nTAn et donc 𝒜 se comprend comme l’image réciproque de la tribu () par l’application φ. C’est donc bien une tribu.

  • (b)

    Soit 𝒜 une tribu sur l’ensemble dénombrable Ω. On définit une relation d’équivalence sur Ω en affirmant que deux éléments ω et ω sont en relation si, et seulement si,

    A𝒜,ωAωA.

    Les classes d’équivalence de la relation constituent une partition de Ω et puisque l’ensemble Ω est dénombrable, ces classes d’équivalence sont au plus dénombrables.
    Par construction

    A𝒜,ωACl(ω)A.

    Aussi, si ωCl(ω) alors il existe A𝒜 tel que

    (ωA et ωA) ou (ωA et ωA).

    Quitte à considérer A¯, on peut supposer ωA et ωA et l’on note Aω cet ensemble.
    On a alors

    Cl(ω)=ωCl(ω)Aω𝒜.

    En effet:

    • l’intersection est élément de 𝒜 car il s’agit d’une intersection au plus dénombrable;

    • la classe est incluse dans l’intersection car ω est élément de cette intersection;

    • si un élément ω n’est par dans la classe, il n’est pas non plus dans l’ensemble Aω figurant dans l’intersection.

    De plus, les éléments A de la tribu 𝒜 se décrivent sous la forme

    A=ωACl(ω).

    S’il n’y a qu’un nombre fini de classe d’équivalence, la tribu 𝒜 est de cardinal fini ce que les hypothèses excluent. Les classes d’équivalences sont donc en nombre dénombrables, on peut les décrire par une suite (An)n vérifiant les hypothèses du sujet et les éléments de la tribu 𝒜 apparaissent comme ceux de la forme

    nTAn avec T().
  • (c)

    L’ensemble () n’étant pas dénombrable, ce qui précède assure l’inexistence de tribus dénombrables.

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Édité le 08-11-2019

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