[<] Inégalités [>] Utilisation de primitives

 
Exercice 1  5358   Correction  

Soient a<b deux réels et f:[a;b] une fonction continue.

  • (a)

    On suppose

    abf(t)dt=0.

    Montrer que la fonction f s’annule au moins une fois sur [a;b].

  • (b)

    On suppose

    abtf(t)dt=abf(t)dt=0.

    Montrer que la fonction f s’annule au moins deux fois sur [a;b].

  • (c)

    Généraliser ce qui précède.

Solution

  • (a)

    Soit F une primitive de la fonction continue f. On a F(b)-F(a)=0 et l’on peut appliquer le théorème de Rolle pour affirmer que f s’annule sur [a;b].

  • (b)

    Par l’absurde supposons que la fonction f ne s’annule qu’une fois sur [a;b] en un certain c. Si elle est de signe constant, son intégrale ne peut être nulle et cela est donc exclu: la fonction f change de signe en c. Considérons alors g:t(t-c)f(t). La fonction g est continue, d’intégrale nulle et de signe constant, c’est donc la fonction nulle. C’est absurde.

  • (c)

    On généralise voir sujet 1972.

 
Exercice 2  1971   Correction  

Soit f:[0;π] continue.

  • (a)

    Montrer que si

    0πf(t)sin(t)dt=0

    alors il existe a]0;π[ tel que f s’annule en a.

  • (b)

    Montrer que si

    0πf(t)sin(t)dt=0πf(t)cos(t)dt=0

    alors f s’annule 2 fois sur ]0;π[.

    On pourra regarder 0πf(t)sin(t-a)dt.

Solution

  • (a)

    0πf(t)sin(t)dt=0 et tf(t)sin(t) est continue donc il existe a]0;π[ tel que f(a)sin(a)=0 c’est-à-dire f(a)=0.

  • (b)

    Par l’absurde si f ne s’annule qu’une seule fois alors le tableau de signe de f est de l’une des quatre formes suivantes

    t0aπf(t)0+0+0,t0aπf(t)0-0-0.
    t0aπf(t)0+0-0 ou t0aπf(t)0-0+0.

    Les deux premiers cas sont à exclure car

    0πf(t)sin(t)dt

    est l’intégrale nulle d’une fonction non nulle de signe constant.
    Les deux autres cas sont à exclure car

    0πf(t)sin(t-a)dt=cos(a)0πf(t)sin(t)dt-sin(a)0πf(t)cos(t)dt

    est l’intégrale nulle d’une fonction non nulle de signe constant.
    Absurde.

 
Exercice 3  1972     MINES (PC)

Soient f:[a;b] une fonction continue et n vérifiant

abtkf(t)dt=0pour tout k=0,1,,n.

Montrer que la fonction f s’annule au moins n+1 fois dans l’intervalle [a;b].

 
Exercice 4  5032    

Soit f:[a;b] une fonction continue. On suppose

abf(t)g(t)dt=0

pour toute fonction g:[a;b] continue et s’annulant en a et b.

Montrer que f est la fonction nulle.

 
Exercice 5  3072    Correction  

Résoudre l’équation

2x+4x2=3x+3x2

d’inconnue x.

Solution

L’équation étudiée équivaut à

4x2-3x2=3x-2x.

Or

3x-2x=01x(2+t)x-1dtet4x2-3x2=01x2(3+t)x2-1dt

et donc l’équation étudiée peut se réécrire

01φ(t)dt=0

φ est l’application continue définie par

φ(t)=x(x(3+t)x2-1-(2+t)x-1).

Si x0 ou si x1, il est immédiat d’affirmer que l’application φ est de signe constant.
Si x]0;1[, l’étude est plus délicate et nous allons montrer par étude de fonctions que

x(3+t)x2-1(2+t)x-1

soit encore

ln(x)+(x2-1)ln(3+t)(x-1)ln(2+t).

Soit f:xln(x)+(x2-1)ln(3+t)-(x-1)ln(2+t) définie sur ]0;1]
La fonction f est dérivable et

f(x)=1x+2xln(3+t)-ln(2+t).

Si x1/2 alors f(x)1x+ln(3+t)-ln(2+t)0.
Si x1/2 alors f(x)2-ln(2+t)2-ln(3)0.
Dans tous les cas f(x)0 et donc f est croissante.
Puisque f(1)=0, la fonction f est négative et l’on obtient l’inégalité proposée.
Finalement, l’équation initialement étudiée équivaut à une équation de la forme

01φ(t)dt=0

avec φ une fonction continue de signe constant. L’équation est donc vérifiée si, et seulement si, φ est la fonction nulle.
Pour x0, cette propriété n’est vérifiée que si x=0.
Pour x>0, si la fonction φ est la fonction nulle alors

t[0;1],1x+(x2-1)ln(3+t)-(x-1)ln(2+t)=0

puis en dérivant par rapport à la variable t, on obtient

t[0;1],x2-13+t=x-12+t

ce qui n’est possible que pour x=1.
Inversement, x=0 et x=1 sont solutions de l’équation étudiée.

Finalement,

𝒮={0,1}.

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Édité le 08-11-2019

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