Introduisons

$$F:x\mapsto {\int }_0^{x}f(t)dt\text{ et }G:x\mapsto {\int }_0^{x}tf(t)dt\text{.}$$

Par intégration par parties

$$G(x)=xF(x)-{\int }_0^{x}F(t)dt={\int }_0^x\left(F(x)-F(t)\right)dt\text{.}$$

Cas: $F$ n’est pas de signe constant. Il existe alors $a,b\in ]0;1[$ tel que

$$F(a)=\underset{[0;1]}{\min }F<0\text{ et }F(b)=\underset{[0;1]}{\max }F>0\text{.}$$

Par intégration d’une fonction continue, non nulle et de signe constant sur un intervalle non singulier, on a

$$G(a)<0\text{ et }G(b)>0$$

et le théorème des valeurs intermédiaires assure que $G$ s’annule.

Cas: $F$ est de signe constant. Quitte à considérer $-f$, supposons $F$ positive.
Si $F$ est nulle, il en est de même de $f$ et la propriété est immédiate, sinon, on peut introduire $b\in ]0;1[$ tel que

$$F(b)=\underset{[0;1]}{\max }F>0\text{.}$$

On a alors

$$G(b)>0\text{ et }G(1)=-{\int }_0^{1}F(t)dt<0$$

car $F(1)$ est nul.
À nouveau, le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure.