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Exercice 1  1966  

Soient f: une fonction continue et T>0. Montrer que la fonction f est T-périodique si, et seulement si, la fonction suivante est constante

g:xxx+Tf(t)dt.
 
Exercice 2  4851   

Soit f:[a;b] une fonction continue.

Montrer qu’il existe une unique primitive F de f vérifiant

abF(t)dt=0.
 
Exercice 3  3380     X (MP)Correction  

Soit f:[0;1] continue vérifiant

01f(t)dt=0.

Montrer qu’il existe x]0;1[ vérifiant

0xtf(t)dt=0.

Solution

Introduisons

F:x0xf(t)dt et G:x0xtf(t)dt.

Par intégration par parties

G(x)=xF(x)-0xF(t)dt=0x(F(x)-F(t))dt.

Cas: F n’est pas de signe constant. Il existe alors a,b]0;1[ tel que

F(a)=min[0;1]F<0 et F(b)=max[0;1]F>0.

Par intégration d’une fonction continue, non nulle et de signe constant sur un intervalle non singulier, on a

G(a)<0 et G(b)>0

et le théorème des valeurs intermédiaires assure que G s’annule.

Cas: F est de signe constant. Quitte à considérer -f, supposons F positive.
Si F est nulle, il en est de même de f et la propriété est immédiate, sinon, on peut introduire b]0;1[ tel que

F(b)=max[0;1]F>0.

On a alors

G(b)>0 et G(1)=-01F(t)dt<0

car F(1) est nul.
À nouveau, le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure.

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Édité le 08-11-2019

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