Sous réserve d’existence, recherchons une fonction $\phi$ comme suggérée. En réorganisant les membres, il s’agit de déterminer $\phi$ vérifiant

$${\int }_0^{\pi }2\phi f^{\prime }f={\int }_0^{\pi }\left(1+{\phi }^2\right)f^2\text{.}$$

(1)

Par intégration par parties,

$${\int }_0^{\pi }2\phi f^{\prime }f={\left[\phi f^2\right]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }{\phi }^{\prime }{f}^2=-{\int }_0^{\pi }{\phi }^{\prime }{f}^2\text{.}$$

La condition (1) se relit

$$-{\int }_0^{\pi }{\phi }^{\prime }{f}^2={\int }_0^{\pi }(1+{\phi }^2)f^2\text{.}$$

Considérons alors une fonction $\phi$ vérifiant $-{\phi }^{\prime }=1+{\phi }^2$ soit encore

$$\frac{{\phi }^{\prime }}{1+{\phi }^2}=-1\text{.}$$

En intégrant,

$$\arctan \left(\phi (t)\right)=C^{te}-t$$

puis

$$\phi (t)=\tan \left(C^{te}-t\right)\text{.}$$

Afin d’introduire une fonction $\phi$ convenablement définie entre $0$ et $\pi$, considérons

$$\phi (t)=\tan \left(\frac{\pi }{2}-t\right)=\frac{\cos (t)}{\sin (t)}\text{ pour }t\in ]0;\pi [\text{.}$$

La fonction $f\phi$ peut être prolongée par continuité en $0$ car

$$f(t)\phi (t)\underset{t\to 0^{+}}{=}\left(f(0)+f^{\prime }(0)t+\mathrm{o}(t)\right)\times \frac{1+\mathrm{o}(t)}{t+\mathrm{o}(t)}\underset{t\to 0^{+}}{\overset{}{\to }}{f}^{\prime }(0)\text{.}$$

De façon analogue, $f\phi$ peut être prolongée par continuité en $\pi$.

Avec existence des intégrales et en adaptant les calculs qui précèdent, on observe

$${\int }_{]0;\pi [}{f}^{\prime 2}-f^2={\int }_{]0;\pi [}{(f^{\prime }-\phi f)}^2$$

car $-{\phi }^{\prime }=1+{\phi }^2$ sur $]0;\pi [$. On en déduit

$${\int }_{]0;\pi [}{f}^{\prime 2}-f^2\ge 0$$

et donc

$${\int }_0^{\pi }{f}^{\prime 2}\ge {\int }_0^{\pi }{f}^2\text{.}$$

De plus, il y a égalité si, et seulement si, $f^{\prime }-\phi f$ est la fonction identiquement nulle sur $]0;\pi [$. La résolution sur $]0;\pi [$ de cette équation différentielle linéaire d’ordre $1$ donne $f(t)=\lambda \sin (t)$ sur $]0;\pi [$ puis sur $[0;\pi ]$ avec $\lambda \in ℝ$.