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Exercice 1  1974  Correction  

Soit f:[a;b] continue par morceaux. Montrer que la fonction

xabf(t)sin(xt)dt

est lipschitzienne.

Solution

Posons g(x)=abf(t)sin(xt)dt.

g(x)-g(y)=abf(t)(sin(xt)-sin(yt))dt.

Puisque la fonction sinus est lipschitzienne

|sin(xt)-sin(yt)||x-y||t|

donc

|g(x)-g(y)||x-y|ab|tf(t)|dt.

Ainsi g est lipschitzienne.

 
Exercice 2  1965  Correction  

Soient f:[a;b] une fonction continue par morceaux et c]a;b[.
Montrer que

1b-aabf(t)dtmax(1c-aacf(t)dt,1b-ccbf(t)dt).

Solution

Supposons

1c-aacf1b-ccbf.

On a alors

abf=acf+cbfacf+b-cc-aacf=b-ac-aacf.

Le cas

1c-aacf<1b-ccbf

est semblable et l’on peut conclure.

 
Exercice 3  2966     X (MP)Correction  

Soient f:[0;1] continue telle que

01f(t)dt=0

m le minimum de f et M son maximum.
Prouver

01f2(t)dt-mM.

Solution

La fonction t(M-f(t))(f(t)-m) est positive donc

01(M-f(t))(f(t)-m)dt0.

En développant et par linéarité, on obtient -mM-01f2(t)dt0 sachant 01f(t)dt=0.
On en déduit l’inégalité demandée.

 
Exercice 4  2967     X (MP)

Soient f,g:[0;1] continues et croissantes.

Montrer

(01f(t)dt)(01g(t)dt)01f(t)g(t)dt.
 
Exercice 5  4193  

Soient f,g:[0;1] deux fonctions continues et positives.

On suppose f(t)g(t)1 pour tout t[0;1], montrer

(01f(t)dt)(01g(t)dt)1.
 
Exercice 6  57     CENTRALE (PC)

(Inégalité de Poincaré)

Soit f:[0;1] une fonction de classe 𝒞1 vérifiant f(0)=0.

  • (a)

    Montrer

    01f(t)2dt1201f(t)2dt.
  • (b)

    On suppose f(1)=0. Montrer

    01f(t)2dt1801f(t)2dt.
 
Exercice 7  5033    

(Inégalité de Steffensen)

Soient f:[0;1] une fonction continue décroissante et g:[0;1] une fonction continue prenant ses valeurs dans [0;1]. Montrer

01f(t)g(t)dt0λf(t)dt avec λ=01g(t)dt.

Que devient cette inégalité lorsque f est croissante?

 
Exercice 8  4860    

(Inégalité de Young)

Soit f:[0;a] une fonction de classe 𝒞1 vérifiant f(0)=0 et f(x)>0 pour tout x de [0;a].

  • (a)

    Montrer que pour tout réel x de [0;a],

    0xf(t)dt+0f(x)f-1(t)dt=xf(x).
  • (b)

    En déduire que pour tous réels x et y de [0;a],

    xy0xf(t)dt+0yf-1(t)dt.

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Édité le 08-11-2019

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