[<] Utilisation de primitives [>] Limites d'intégrales

 
Exercice 1  1987  Correction  

Soit f: une fonction continue.
Justifier que les fonctions g: suivantes sont de classe 𝒞1 et exprimer leur dérivée:

  • (a)

    g(x)=2xx2f(t)dt

  • (b)

    g(x)=0xxf(t)dt

  • (c)

    g(x)=0xf(t+x)dt

Solution

On introduit F primitive de f sur .

  • (a)

    g(x)=F(x2)-F(2x) est 𝒞1 par opérations et g(x)=2xf(x2)-2f(2x).

  • (b)

    g(x)=x(F(x)-F(0)) est 𝒞1 par opérations et g(x)=0xf(t)dt+xf(x).

  • (c)

    g(x)=u=t+xx2xf(u)du=F(2x)-F(x) est 𝒞1 par opérations et g(x)=2f(2x)-f(x).

 
Exercice 2  4856  

Pour x>0, on pose

I(x)=1/xxt1+t+t2+t3dt.
  • (a)

    Montrer que la fonction I est définie et de classe 𝒞1 sur ]0;+[.

  • (b)

    Calculer I(x) et en déduire une expression simple de I(x) pour tout x>0.

 
Exercice 3  277  Correction  

Soient f𝒞1(,) et g:* définie par

g(x)=1x0xf(t)dt.
  • (a)

    Prolonger g par continuité en 0.

  • (b)

    Montrer que la fonction ainsi obtenue est de classe 𝒞1 sur .

Solution

  • (a)

    On a

    g(x)-f(0)=1x0xf(t)-f(0)dt.

    Pour ε>0, il existe α>0 vérifiant

    |x|α|f(x)-f(0)|ε.

    Par suite, si |x|α, pour tout t compris entre 0 et x, |f(t)-f(0)|ε puis par intégration, |g(x)-f(0)|ε. Ainsi g(x)x0f(0). On pose g(0)=f(0).

  • (b)

    Par opération, g est de classe 𝒞1 sur *.

    g(x)=-1x20xf(t)dt+f(x)x.

    Procédons à une intégration par parties,

    0xf(t)dt=xf(x)-0xtf(t)dt.

    On a alors

    g(x)=1x20xtf(t)dt.

    De façon semblable à ce qui précède, on obtient

    g(x)x012f(0).

    Ainsi la fonction continue g est de classe 𝒞1 sur et

    g(0)=12f(0).
 
Exercice 4  1991  Correction  

Soient f: de classe 𝒞1 et F:* définie par

x0,F(x)=12x-xxf(t)dt.
  • (a)

    Montrer que F peut être prolongée par continuité en 0. On effectue ce prolongement.

  • (b)

    Montrer que F est dérivable sur * et exprimer F(x) à l’aide d’une intégrale

  • (c)

    Montrer que F est dérivable en 0 et observer F(0)=0.

Solution

  • (a)

    Soit f~ une primitive de f.

    F(x)=f~(x)-f~(-x)2x=f~(x)-f~(0)2x+f~(0)-f~(-x)2xx0f~(0)=f(0).

    On prolonge F par continuité en 0 en posant F(0)=f(0).

  • (b)

    F est dérivable par opérations et

    F(x)=f(x)+f(-x)2x-12x2-xxf(t)dt.

    Par intégration par parties

    -xxf(t)dt=[tf(t)]-xx--xxtf(t)dt

    et l’on peut donc simplifier

    F(x)=12x2-xxtf(t)dt.
  • (c)

    Sachant

    -xxtf(0)dt=0

    on peut écrire

    F(x)=12x2-xxt(f(t)-f(0))dt.

    En posant

    Mx=supt[-x;x]|f(t)-f(0)|

    on a alors

    |F(x)|12x2-xxtMxdt=12Mx.

    Or f est continue en 0, donc Mxx00 puis

    F(x)x00.

    En vertu du théorème du prolongement 𝒞1, on peut affirmer que F est dérivable en 0 et F(0)=0.

 
Exercice 5  1990  

Soient f: une fonction continue et φ: la fonction définie par

φ(x)=0xsin(x-t)f(t)dtpour tout x.
  • (a)

    Montrer que φ est solution sur de l’équation différentielle (E):y′′+y=f(x).

  • (b)

    Déterminer toutes les fonctions réelles solutions de (E) sur .

 
Exercice 6  88     CENTRALE (PC)Correction  

Soit f continue de dans telle que

(x,y)2,f(x)-f(y)=2x+y2y+xf(t)dt.

Montrer que f est de classe 𝒞1 et déterminer f.

Solution

Puisque continue, la fonction f admet une primitive F sur et

(x,y)2,f(x)-f(y)=F(2y+x)-F(2x+y).

Pour y fixé, on obtient

f:xf(y)+F(2y+x)-F(2x+y).

Puisque la fonction F est de classe 𝒞1, on obtient que f est de classe 𝒞1 et

f(x)=f(2y+x)-2f(2x+y).

En dérivant cette relation en la variable y, on obtient

0=2f(2y+x)-2f(2x+y)

et donc

f(2y+x)=f(2x+y).

Puisque pour tout (s,t)2, il existe (x,y)2 vérifiant

{2x+y=sx+2y=t

on peut affirmer que la fonction f est constante.
On en déduit que la fonction f est affine.
Par le calcul, on vérifie que, parmi les fonctions affines, seule la fonction nulle vérifie la relation proposée.

 
Exercice 7  1989   

Soit g:[0;1] continue. On définit F:[0;1] par

F(x)=01min(x,t)g(t)dt.
  • (a)

    Montrer que F est de classe 𝒞2 et calculer F′′(x).

  • (b)

    En déduire

    F(x)=0x(t1g(u)du)dt.
 
Exercice 8  276   Correction  

Pour x]0;1[, on pose

φ(x)=xx2dtln(t).
  • (a)

    Montrer que φ est bien définie et que cette fonction se prolonge par continuité en 0 et en 1.

  • (b)

    En déduire la valeur de

    01x-1ln(x)dx.

Solution

  • (a)

    Soit x]0;1[, [x;x2]]0;1[ et t1ln(t) est définie et continue sur ]0;1[ donc φ(x)=xx2dtln(t) existe.
    Pour t[x2;x],

    1ln(x)1ln(t)1ln(x2)

    donc

    x2-xln(x2)φ(x)x2-xln(x).

    Quand x0+, φ(x)0.
    On a aussi

    φ(x)=xx2tdttln(t)

    donc

    xx2x2dttln(t)φ(x)xx2xdttln(t)

    or

    xx2dttln(t)=[ln(ln(t))]xx2=ln(2).

    Quand x1-, φ(x)ln(2).

    Finalement, φ peut être prolongée par continuité en 0 et en 1.

  • (b)

    Soit F une primitive de 1ln(t) sur ]0;1[.
    On a φ(x)=F(x2)-F(x) ce qui permet de dériver φ et d’obtenir

    φ(x)=x-1ln(x).

    L’intégrale 01x-1ln(x)dx est définie car on vérifie aisément que la fonction intégrée peut être prolongée par continuité en 0 et en 1 et l’on a

    01x-1ln(x)dx=[φ(x)]01=ln(2).
 
Exercice 9  1471   Correction  

Soit f:]0;1[]1;+[ l’application définie par

f(x)=xx2dtln(t).
  • (a)

    Montrer que f est convexe sur ]0;1[ et ]1;+[.

  • (b)

    Montrer que, pour tout x>1,

    xx2xdttln(t)xx2dtln(t)xx2x2dttln(t).

    En déduire que limx1+f(x)=ln(2). De même, établir: limx1-f(x)=ln(2).

  • (c)

    On prolonge f par continuité en 1, en posant f(1)=ln(2).
    Montrer que f ainsi prolongée est de classe 𝒞2 sur ]0;+[.
    Établir la convexité de f sur ]0;+[.

Solution

  • (a)

    Soit G une primitive de la fonction t1/ln(t) sur ]0;1[ (resp. sur ]1;+[).
    Pour tout x]0;1[ (resp. ]1;+[), on a f(x)=G(x2)-G(x). On en déduit que f est de classe 𝒞 sur ]0;1[ (resp. sur ]1;+[) et

    f(x)=2xln(x2)-1ln(x)=x-1ln(x).

    On a alors

    f′′(x)=xln(x)-x+1x(ln(x))2.

    Soit g(x)=xln(x)-x+1 sur +*.
    g est de classe 𝒞 et g(x)=ln(x). Puisque g(1)=0, la fonction g est positive puis f′′0 sur ]0;1[ (resp. ]1;+[).

  • (b)

    Pour x>1,

    t[x;x2],xtln(t)1ln(t)x2tln(t).

    D’où

    xx2xdttln(t)xx2dtln(t)xx2x2dttln(t).

    Comme xx2dttln(t)=ln(2), on obtient

    xln(2)f(x)x2ln(2)

    puis limx1+f(x)=ln(2).
    Pour x<1,

    t[x2;x],xtln(t)1ln(t)x2tln(t).

    D’où

    xx2x2dttln(t)xx2dtln(t)xx2xdttln(t).

    On obtient x2ln(2)f(x)xln(2) puis limx1-f(x)=ln(2).

  • (c)

    f est continue sur ]0;+[, de classe 𝒞1 sur ]0;1[ et ]1;+[ et

    f(1+h)=hln(1+h)h01.

    Par le théorème de prolongement 𝒞1, on a f de classe 𝒞1 et f(1)=1.
    De même, en exploitant

    f′′(1+h)=(1+h)ln(1+h)-h(1+h)(ln(1+h))2h2/2(1+h)h2h012

    on obtient que f est de classe 𝒞2 et f′′(1)=1/2.
    Comme f′′ est positive sur ]0;+[, on peut conclure que f est convexe sur +*.

 
Exercice 10  2444     CENTRALE (MP)Correction  

Soit

f(x)=xx2dtln(t).
  • (a)

    Calculer les limites de f en 0+ et +, la limite en + de f(x)/x et montrer que f(x) tend vers ln(2) quand x tend vers 1.

  • (b)

    Montrer que f est de classe 𝒞 sur +* mais qu’elle ne l’est pas sur +.

  • (c)

    Étudier les variations de f et tracer sa courbe représentative.

Solution

  • (a)

    La fonction f est définie sur ]0;1[]1;+[ car pour chaque x dans ce domaine, la fonction t1/ln(t) est définie et continue sur le segment d’extrémités x et x2 car 1 n’y appartient pas. Pour x]0;1[, on a pour tout t[x2;x], 2ln(x)ln(t)ln(x) puis par encadrement d’intégrales

    x2-x2ln(x)f(x)x2-xln(x)

    et donc f(x)x0+0.
    L’encadrement est identique pour x>1 ce qui permet d’affirmer f(x)x++ et f(x)/xx++.
    On peut aussi écrire

    f(x)=xx2ttln(t)dt

    et par encadrement du t du numérateur par x et x2, on obtient f(x) encadré par xI(x) et x2I(x) avec

    I(x)=xx2dttln(t)=[ln(|ln(t)|)]xx2=ln(2)

    d’où f(x)x1ln(2).

  • (b)

    On introduit H primitive de t1/ln(t) et l’on démontre que f est de classe 𝒞1 sur ]0;1[]1;+[ avec f(x)=x-1ln(x). Cette dérivée étant de classe 𝒞, on conclut que f est 𝒞 sur ]0;1[]1;+[. On prolonge f par continuité en 1 en posant f(1)=ln(2) et puisque f(x)x11, la fonction f est de classe 𝒞1 sur ]0;+[ avec f(1)=1. Par développement en série entière hln(1+h)h est 𝒞 au voisinage de 0 donc xln(x)x-1 est 𝒞 au voisinage de 1 et par passage à l’inverse xf(x) est 𝒞 au voisinage de 1.

    Finalement, f est 𝒞 sur ]0;+[.

    Le calcul de f′′(x) permet de justifier que f′′ n’a pas de limite finie en 0 et donc f ne peut être prolongée en une fonction de classe 𝒞 au voisinage de 0.

  • (c)

    f est croissante, convexe, branche parabolique verticale en +, tangente horizontale en l’origine.

 
Exercice 11  273  Correction  

On introduit sur * la fonction

f:xx2xettdt.
  • (a)

    Prolonger f par continuité en 0.

  • (b)

    Montrer que f est de classe 𝒞1 sur .

Solution

  • (a)

    Quand x0+, on a par croissance de la fonction exponentielle

    t[x;2x],exete2x

    donc

    exln(2)f(x)e2xln(2).

    Par théorème d’encadrement

    f(x)ln(2).

    De même, quand x0-, f(x)ln(2). On prolonge f par continuité en 0 en posant

    f(0)=ln(2).
  • (b)

    Soit F une primitive de tet/t sur +*. F est de classe 𝒞1 et f(x)=F(2x)-F(x) donc f est aussi de classe 𝒞1 et

    f(x)=e2x-exx.

    Il en est de même sur -* et puisque f(x)x01, on peut affirmer que la fonction continue f est de classe 𝒞1 sur et f(0)=1.

 
Exercice 12  4857   

On introduit la fonction f définie sur * par la relation

f(x)=x2xe-t2tdt.
  • (a)

    Montrer que la fonction f est bien définie et étudier sa parité.

  • (b)

    Justifier qu’il est possible de prolonger f par continuité en 0.

On note encore f la fonction ainsi prolongée.

  • (c)

    Montrer que f est dérivable sur .

  • (d)

    Étudier la limite de f en +.

 
Exercice 13  275   Correction  

Soit

f:x*x2xch(t)tdt.
  • (a)

    Étudier la parité de f. On étudie désormais f sur ]0;+[.

  • (b)

    Prolonger f par continuité en 0.

  • (c)

    Montrer que f est de classe 𝒞1 sur +.

  • (d)

    Branches infinies, allure.

Solution

  • (a)

    Par le changement de variable u=-t, on obtient que f est paire.

  • (b)

    Pour tout x>0, on a

    t[x;2x],ch(x)tch(t)tch(2x)t.

    En intégrant, on obtient

    ch(x)ln(2)f(x)ch(2x)ln(2)

    et l’on en déduit

    f(x)x0ln(2).
  • (c)

    La fonction tch(t)/t est continue sur ]0;+[ donc y admet une primitive G et puisque f(x)=G(2x)-G(x), on obtient que f est de classe 𝒞1 sur ]0;+[ et

    f(x)=ch(2x)-ch(x)x.

    De plus,

    f(x)x00

    donc, par le théorème du prolongement 𝒞1, f est de classe 𝒞1 sur +.

  • (d)

    Puisque f(x)ch(x)ln(2), f présente une branche parabolique verticale.

 
Exercice 14  1988   Correction  

Soit φ: la fonction définie par:

φ(t)=sh(t)t pour t0 et φ(0)=1.

Soit f: définie par:

f(x)=x2xφ(t)dt.
  • (a)

    Montrer que f est bien définie et étudier la parité de f.

  • (b)

    Justifier que f est dérivable et calculer f(x).

  • (c)

    Dresser le tableau de variation de f.

Solution

  • (a)

    φ est continue sur donc f(x) existe.

    x*,-x* et f(-x)=-x-2xsh(t)tdt=u=-t-x2xsh(u)udu=-f(x).

    Ainsi f est impaire.

  • (b)

    φ est continue donc possède une primitive F. Comme f(x)=F(2x)-F(x) f est dérivable et

    f(x)=sh(2x)-sh(x)x

    pour x* et f(0)=1.

  • (c)

    Pour tout x0, on a sh(2x)sh(x) donc f(x)0. Ainsi f est croissante sur +.

    Puisque

    f(x)x2xsh(x)tdt=sh(x)ln(2)

    on a f(x)+ quand x+.

    On complète le tableau de variation par parité.

 
Exercice 15  3789     ENSTIM (MP)Correction  

Étude et graphe de la fonction

xx2xdt1+t2+t4.

On précisera le comportement de la fonction quand x0 et quand x±.

Solution

Posons

F(x)=x2xdt1+t2+t4.

On a

F(x)=02xdt1+t2+t4-0xdt1+t2+t4

ce qui assure que F est définie et de classe 𝒞 sur .
Le changement de variable t=-u assure que F est impaire.
Par dérivation de primitive

F(x)=21+(2x)2+(2x)4-11+x2+x4.

En réduisant au même dénominateur et en multipliant par la quantité conjuguée, F(x) est du signe de

4(1+x2+x4)-(1+(2x)2+(2x)4)=3(1-4x4)

F est donc croissante que [0;1/2] puis décroissante sur [1/2;+[
En 0, le graphe de la fonction passe par l’origine avec une tangente d’équation y=x.
Quand x+,

0F(x)x2xdt1+x2+x4=x1+x2+x40

et donc F tend vers 0 en +.

 
Exercice 16  2617     ENSTIM (MP)Correction  

Pour tout x[1;+[, on pose

F(x)=1xtt3-1dt.
  • (a)

    Montrer que la fonction F est bien définie, continue sur [1;+[ et de classe 𝒞 sur ]1;+[.
    Exprimer sa dérivée F(x)

  • (b)

    Étudier la dérivabilité de F en 1. Préciser la tangente au graphe de F en 1.

  • (c)

    Étudier la limite de F en +.

  • (d)

    Justifier que F réalise une bijection de [1;+[ sur un intervalle à préciser.

  • (e)

    Justifier que F-1 est dérivable sur ]0;+[ et solution de l’équation différentielle

    yy=y3-1.
  • (f)

    Étudier la dérivabilité de F-1 en 0.

Solution

  • (a)
    f:ttt3-1=t(t-1)(t2+t+1)

    est définie et continue sur ]1;x] et

    f(t)113t-1

    donc F(x) existe.
    F est primitive de la fonction continue f sur ]1;+[ donc F est 𝒞1 et F(x)=f(x).
    Comme f est 𝒞, F est finalement 𝒞 et sur ]1;+[

    F(x)=xx3-1.
  • (b)

    F est continue en 1 et F(x)x1+. Tangente verticale en 1.

  • (c)

    t3-1t3/2 donc

    F(x)1xdtt=2x-2x++

    donc F(x)++.

  • (d)

    F est continue et strictement croissante sur [1;+[ donc F réalise une bijective de [1;+[ sur [0;+[.
    F réalise une bijection de classe 𝒞 de ]1;+[ sur ]0;+[ avec F(x)0 donc F-1 est 𝒞 sur ]0;+[.

    (F-1)=1FF-1=(F-1)3-1F-1

    donc F-1 est solution de l’équation différentielle considérée.

  • (e)

    F-1 est continue en 0 et F-1(0)=1. En vertu de la relation

    (F-1)=(F-1)3-1F-1

    on obtient

    (F-1)(x)x00

    F-1 est donc dérivable en 0 et (F-1)(0)=0.

 
Exercice 17  4858    

Soient f:[0;+[ une fonction continue et g:]0;+[ la fonction définie par

g(x)=1x0xf(t)dt.
  • (a)

    Montrer que la fonction g est dérivable et solution sur ]0;+[ de l’équation différentielle

    xy+y=f(x).
  • (b)

    Déterminer, si elle existe, la limite de g en 0.

On suppose que f tend vers une limite finie en +.

  • (c)

    Étudier la limite de g en +.

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Édité le 08-11-2019

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