[<] Sommes de Riemann

 
Exercice 1  2816    MINES (MP)Correction  

Énoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégrale.

Solution

C’est du cours!

 
Exercice 2  291  

Établir que pour tout x dans [0;π/2],

x-16x3sin(x)x-16x3+1120x5.
 
Exercice 3  2003  Correction  

Soient f: de classe 𝒞2 et a.
Déterminer

limh0f(a+h)-2f(a)+f(a-h)h2.

Solution

En vertu du théorème de Taylor-Young:

f(a+h)=f(a)+hf(a)+12h2f′′(a)+o(h2)

donc

f(a+h)-2f(a)+f(a-h)=h2f′′(a)+o(h2)

puis

limh0f(a+h)-2f(a)+f(a-h)h2=f′′(a).
 
Exercice 4  5071  

En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction xln(1+x), établir11 1 Dans le chapitre suivant, nous dirons que la série (-1)k-1k converge et que sa somme vaut ln(2).

k=1n(-1)k-1kn+ln(2).
 
Exercice 5  4850  

En appliquant la formule de Taylor à la fonction exponentielle, montrer11 1 Dans le chapitre suivant, nous dirons que la série 1k! converge et que sa somme vaut e.

k=0n1k!n+e.
 
Exercice 6  2001   Correction  

Montrer que pour tout n et tout x

|ex-k=0nxkk!||x|n+1e|x|(n+1)!.

En déduire

limn+k=0nxkk!.

Solution

En appliquant la formule de Taylor reste intégrale à la fonction xex entre 0 et x on obtient

ex=k=0nxkk!+0x(x-t)nn!exdt

donc

|ex-k=0nxkk!|=|0x(x-t)nn!etdt|.

Si x0 alors

|0x(x-t)nn!etdt| =0x(x-t)nn!etdt
0x(x-t)nn!exdt
=xn+1ex(n+1)!=|x|n+1e|x|(n+1)!.

Si x0 alors

|0x(x-t)nn!etdt| =x0(t-x)nn!etdtx0(t-x)nn!dt
=|x|n+1(n+1)!|x|n+1e|x|(n+1)!.

On aurait aussi pu appliquer directement l’inégalité de Taylor-Lagrange à la restriction de f sur [-|x|;|x|].
Quand n+,

|x|n+1e|x|(n+1)!n+0

donc

limn+k=0nxkk!=ex.
 
Exercice 7  3217   

(Égalité de Taylor-Lagrange11 1 Ce résultat constitue une généralisation de l’égalité des accroissements finis ().)

Soient f:I une fonction de classe 𝒞n+1 et aI.

Montrer que pour tout xI, il existe un réel c compris entre a et x vérifiant

f(x)=k=0nf(k)(a)k!(x-a)k+f(n+1)(c)(n+1)!(x-a)n+1.
 
Exercice 8  2000   

Soit g:[0;1] une fonction continue.

Déterminer les fonctions f:[0;1] deux fois dérivables telles que

f(0)=f(1)=0etf′′=g.
 
Exercice 9  297   Correction  

Soient f:[0;1] une application de classe 𝒞2 et

Sn=k=1nf(kn2)-nf(0).

Déterminer la limite de la suite (Sn).

Solution

Par l’inégalité de Taylor Lagrange avec M=max[0;1]|f′′|:

|f(kn2)-f(0)-kn2f(0)|M2(kn2)2.

Par suite,

|Sn-k=1nkn2f(0)|M2n4k=1nk2M2n0

or

k=1nkn2f(0)=n+12nf(0)

donc

Snn+f(0)2.
 
Exercice 10  296     ENSTIM (MP)

Soit f: une fonction de classe 𝒞2 vérifiant f′′(0)0.

  • (a)

    Montrer que pour chaque x*, il existe θx]0;1[ vérifiant la relation

    f(x)=f(0)+xf(xθx).
  • (b)

    Montrer qu’au voisinage de 0 ce réel θx est unique.

  • (c)

    Déterminer la limite de θx quand x tend vers 0.

 
Exercice 11  2817     MINES (MP)Correction  
  • (a)

    Montrer, pour tout x]0;π/2[, l’existence de θx]0;1[ tel que

    sin(x)=x-x36cos(xθx).
  • (b)

    Étudier la limite de θx quand x tend vers 0 par valeur supérieure.

Solution

Par l’égalité de Taylor-Lagrange (hors-programme),

x]0;π/2[,ξ]0;x[,sin(x)=x-16x3cos(ξ).

Le réel θx=ξ/x convient alors
À défaut de connaître l’égalité de Taylor-Lagrange, par l’égalité de Taylor avec reste-intégrale

sin(x)=x-0x(x-t)22!cos(t)dt.

Or pour t[0;x], on a

cos(x)cos(t)1

avec inégalité stricte pour t]0;x[ donc

x36cos(x)<0x(x-t)22!cos(t)dt<x36.

Ainsi,

0x(x-t)22!cos(t)dt=λx36 avec cos(x)<λ<1=cos(0).

Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut écrire

λ=cos(xθx) avec θx]0;1[.

Quand x0, xθx0 donc

cos(xθx)=1-12x2θx2+o(x2)

puis

sin(x)=x-16x3+112x5θx2+o(x5)

or

sin(x)=x-16x3+1120x5+o(x5)

donc θx21/10 puis

θx110.
 
Exercice 12  255   Correction  

Soient n* et φ: une fonction de classe 𝒞n telle que

φ(x)=x0o(xn).
  • (a)

    Montrer que

    0pn,φ(p)(x)=x0o(xn-p).
  • (b)

    On introduit ψ: définie par

    ψ(x)={φ(x)/x si x00 sinon.

    Montrer que

    0p<n,ψ(p)(x)=x0o(xn-p-1).

    En déduire que ψ est de classe 𝒞n-1 sur .

  • (c)

    Soient f: de classe 𝒞n et g: définie par

    g(x)={f(x)-f(0)x si x0f(0) sinon.

    Montrer que g est de classe 𝒞n-1.

  • (d)

    Soient f,g: de classe 𝒞n telles que

    f(0)=0,g(x)=0x=0 et g(0)0.

    Montrer que f/g est de classe 𝒞n-1.

Solution

  • (a)

    Par la formule de Taylor Young:

    φ(x)=φ(0)+xφ(0)++xnn!φ(n)(0)+o(xn)

    φ(x)=o(xn) entraîne alors φ(0)=φ(0)==φ(n)(0)=0.
    En appliquant la formule de Taylor Young à φ(p), on obtient la conclusion.

  • (b)

    xψ(x)=φ(x)=o(xn) donc ψ(x)=o(xn-1).
    xψ(x)+ψ(x)=φ(x)=o(xn-1) donc ψ(x)=o(xn-2)
    xψ′′(x)+2ψ(x)=φ′′(x)=o(xn-2) donc ψ′′(x)=o(xn-3)
    Par le théorème du prolongement 𝒞1, la fonction ψ est de classe 𝒞n-1.

  • (c)

    On introduit

    φ(x)=f(x)-(f(0)+xf(0)+x22f′′(0)++xnn!f(n)(0)).

    On a φ(x)=o(xn) donc ψ est de classe 𝒞n-1 puis

    g(x)=ψ(x)+(f(0)++xn-1n!f(n)(0))

    est de classe 𝒞n-1.

  • (d)
    f(x)g(x)=f(x)x1g(x)/x

    avec xf(x)/x et xg(x)/x qui se prolongent en 0 en des fonctions de classe 𝒞n-1.

 
Exercice 13  293    

Soit f: une fonction de classe 𝒞n+1 (avec n) vérifiant

f(x)x+0etf(n+1)(x)x+0.

Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et n,

f(k)(x)x+0.

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Édité le 08-11-2019

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