Exercice 1 2816 MINES (MP)Correction

Énoncer et établir la formule de Taylor avec reste intégrale.

Solution

C’est du cours!

Exercice 2 291

Établir que pour tout $x$ dans $[0; π / 2]$ ,

x - \frac{1}{6} x^{3} \leq \sin (x) \leq x - \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{120} x^{5} .

Exercice 3 2003 Correction

Soient $f : ℝ \to ℝ$ de classe $𝒞^{2}$ et $a \in ℝ$ .
Déterminer

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - 2 f (a) + f (a - h)}{h^{2}} .

Solution

En vertu du théorème de Taylor-Young:

f (a + h) = f (a) + h f^{'} (a) + \frac{1}{2} h^{2} f^{''} (a) + o (h^{2})

donc

f (a + h) - 2 f (a) + f (a - h) = h^{2} f^{''} (a) + o (h^{2})

puis

lim_{h \to 0} \frac{f (a + h) - 2 f (a) + f (a - h)}{h^{2}} = f^{''} (a) .

Exercice 4 5071

En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction $x \mapsto \ln (1 + x)$ , établir¹¹ 1 Dans le chapitre suivant, nous dirons que la série $\sum \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k}$ converge et que sa somme vaut $\ln (2)$ .

\sum_{k = 1}^{n} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k} \to_{n \to + \infty}^{} \ln (2) .

Exercice 5 4850

En appliquant la formule de Taylor à la fonction exponentielle, montrer¹¹ 1 Dans le chapitre suivant, nous dirons que la série $\sum \frac{1}{k!}$ converge et que sa somme vaut $e$ .

\sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \to_{n \to + \infty}^{} e .

Exercice 6 2001 Correction

Montrer que pour tout $n \in ℕ$ et tout $x \in ℝ$

| e^{x} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} | \leq \frac{{| x |}^{n + 1} e^{| x |}}{(n + 1)!} .

En déduire

lim_{n \to + \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} .

Solution

En appliquant la formule de Taylor reste intégrale à la fonction $x \mapsto e^{x}$ entre 0 et $x$ on obtient

e^{x} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} + \int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{n}}{n!} e^{x} d t

donc

| e^{x} - \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} | = | \int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{n}}{n!} e^{t} d t | .

Si $x \geq 0$ alors

	$\| \int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{n}}{n!} e^{t} d t \|$	$= \int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{n}}{n!} e^{t} d t$
		$\leq \int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{n}}{n!} e^{x} d t$
		$= \frac{x^{n + 1} e^{x}}{(n + 1)!} = \frac{{\| x \|}^{n + 1} e^{\| x \|}}{(n + 1)!} .$

Si $x \leq 0$ alors

	$\| \int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{n}}{n!} e^{t} d t \|$	$= \int_{x}^{0} \frac{{(t - x)}^{n}}{n!} e^{t} d t \leq \int_{x}^{0} \frac{{(t - x)}^{n}}{n!} d t$
		$= \frac{{\| x \|}^{n + 1}}{(n + 1)!} \leq \frac{{\| x \|}^{n + 1} e^{\| x \|}}{(n + 1)!} .$

On aurait aussi pu appliquer directement l’inégalité de Taylor-Lagrange à la restriction de $f$ sur $[- | x |; | x |]$ .
Quand $n \to + \infty$ ,

\frac{{| x |}^{n + 1} e^{| x |}}{(n + 1)!} \to_{n \to + \infty}^{} 0

donc

lim_{n \to + \infty} \sum_{k = 0}^{n} \frac{x^{k}}{k!} = e^{x} .

Exercice 7 3217

(Égalité de Taylor-Lagrange¹¹ 1 Ce résultat constitue une généralisation de l’égalité des accroissements finis.)

Soient $f : I \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{n + 1}$ et $a \in I$ .

Montrer que pour tout $x \in I$ , il existe un réel $c$ compris entre $a$ et $x$ vérifiant

f (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{f^{(k)} (a)}{k!} {(x - a)}^{k} + \frac{f^{(n + 1)} (c)}{(n + 1)!} {(x - a)}^{n + 1} .

Exercice 8 2000

Soit $g : [0; 1] \to ℝ$ une fonction continue.

Déterminer les fonctions $f : [0; 1] \to ℝ$ deux fois dérivables telles que

f (0) = f (1) = 0 et f^{''} = g .

Exercice 9 297 Correction

Soient $f : [0; 1] \to ℝ$ une application de classe $𝒞^{2}$ et

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{k}{n^{2}}) - n f (0) .

Déterminer la limite de la suite $(S_{n})$ .

Solution

Par l’inégalité de Taylor Lagrange avec $M = \max_{[0; 1]} | f^{''} |$ :

| f (\frac{k}{n^{2}}) - f (0) - \frac{k}{n^{2}} f^{'} (0) | \leq \frac{M}{2} {(\frac{k}{n^{2}})}^{2} .

Par suite,

| S_{n} - \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} f^{'} (0) | \leq \frac{M}{2 n^{4}} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} \leq \frac{M}{2 n} \to 0

\sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} f^{'} (0) = \frac{n + 1}{2 n} f^{'} (0)

donc

S_{n} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{f^{'} (0)}{2} .

Exercice 10 296 ENSTIM (MP)

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{2}$ vérifiant $f^{''} (0) \neq 0$ .

(a)

Montrer que pour chaque $x \in ℝ^{*}$ , il existe $θ_{x} \in] 0; 1 [$ vérifiant la relation

$f (x) = f (0) + x f^{'} (x θ_{x}) .$
(b)

Montrer qu’au voisinage de 0 ce réel $θ_{x}$ est unique.
(c)

Déterminer la limite de $θ_{x}$ quand $x$ tend vers $0$ .

Exercice 11 2817 MINES (MP)Correction

(a)

Montrer, pour tout $x \in] 0; π / 2 [$ , l’existence de $θ_{x} \in] 0; 1 [$ tel que

$\sin (x) = x - \frac{x^{3}}{6} \cos (x θ_{x}) .$
(b)

Étudier la limite de $θ_{x}$ quand $x$ tend vers $0$ par valeur supérieure.

Solution

(a)

Par l’égalité de Taylor-Lagrange (hors-programme),

$\forall x \in] 0; π / 2 [, \exists ξ \in] 0; x [, \sin (x) = x - \frac{1}{6} x^{3} \cos (ξ) .$

Le réel $θ_{x} = ξ / x$ convient alors.

À défaut de connaître l’égalité de Taylor-Lagrange, par l’égalité de Taylor avec reste-intégrale

$\sin (x) = x - \int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{2}}{2!} \cos (t) d t .$

Or pour $t \in [0; x]$ , on a

$\cos (x) \leq \cos (t) \leq 1$

avec inégalité stricte pour $t \in] 0; x [$ donc

$\frac{x^{3}}{6} \cos (x) < \int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{2}}{2!} \cos (t) d t < \frac{x^{3}}{6} .$

Ainsi,

$\int_{0}^{x} \frac{{(x - t)}^{2}}{2!} \cos (t) d t = λ \frac{x^{3}}{6} avec \cos (x) < λ < 1 = \cos (0) .$

Par le théorème des valeurs intermédiaires, on peut écrire

$λ = \cos (x θ_{x}) avec θ_{x} \in] 0; 1 [.$
(b)

Quand $x \to 0$ , $x θ_{x} \to 0$ donc

$\cos (x θ_{x}) = 1 - \frac{1}{2} x^{2} θ_{x}^{2} + o (x^{2})$

puis

$\sin (x) = x - \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{12} x^{5} θ_{x}^{2} + o (x^{5})$

or

$\sin (x) = x - \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{120} x^{5} + o (x^{5})$

donc $θ_{x}^{2} \to 1 / 10$ puis

$θ_{x} \to \frac{1}{\sqrt{10}} .$

Exercice 12 255 Correction

Soient $n \in ℕ^{*}$ et $φ : ℝ \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{n}$ telle que

φ (x) \underset{x \to 0}{=} o (x^{n}) .

(a)

Montrer que

$\forall 0 \leq p \leq n, φ^{(p)} (x) \underset{x \to 0}{=} o (x^{n - p}) .$
(b)

On introduit $ψ : ℝ \to ℝ$ définie par

$ψ (x) = {\begin{matrix} φ (x) / x & si x \neq 0 \\ 0 & sinon. \end{matrix}$

Montrer que

$\forall 0 \leq p < n, ψ^{(p)} (x) \underset{x \to 0}{=} o (x^{n - p - 1}) .$

En déduire que $ψ$ est de classe $𝒞^{n - 1}$ sur $ℝ$ .
(c)

Soient $f : ℝ \to ℝ$ de classe $𝒞^{n}$ et $g : ℝ \to ℝ$ définie par

$g (x) = {\begin{matrix} \frac{f (x) - f (0)}{x} & si x \neq 0 \\ f^{'} (0) & sinon. \end{matrix}$

Montrer que $g$ est de classe $𝒞^{n - 1}$ .
(d)

Soient $f, g : ℝ \to ℝ$ de classe $𝒞^{n}$ telles que

$f (0) = 0, g (x) = 0 \Leftrightarrow x = 0 et g^{'} (0) \neq 0 .$

Montrer que $f / g$ est de classe $𝒞^{n - 1}$ .

Solution

(a)

Par la formule de Taylor Young:

$φ (x) = φ (0) + x φ^{'} (0) + \dots + \frac{x^{n}}{n!} φ^{(n)} (0) + o (x^{n})$

$φ (x) = o (x^{n})$ entraîne alors $φ (0) = φ^{'} (0) = \dots = φ^{(n)} (0) = 0$ .
En appliquant la formule de Taylor Young à $φ^{(p)}$ , on obtient la conclusion.
(b)

$x ψ (x) = φ (x) = o (x^{n})$ donc $ψ (x) = o (x^{n - 1})$ .
$x ψ^{'} (x) + ψ (x) = φ^{'} (x) = o (x^{n - 1})$ donc $ψ^{'} (x) = o (x^{n - 2})$
$x ψ^{''} (x) + 2 ψ^{'} (x) = φ^{''} (x) = o (x^{n - 2})$ donc $ψ^{''} (x) = o (x^{n - 3})$ …
Par le théorème du prolongement $𝒞^{1}$ , la fonction $ψ$ est de classe $𝒞^{n - 1}$ .
(c)

On introduit

$φ (x) = f (x) - (f (0) + x f^{'} (0) + \frac{x^{2}}{2} f^{''} (0) + \dots + \frac{x^{n}}{n!} f^{(n)} (0)) .$

On a $φ (x) = o (x^{n})$ donc $ψ$ est de classe $𝒞^{n - 1}$ puis

$g (x) = ψ (x) + (f^{'} (0) + \dots + \frac{x^{n - 1}}{n!} f^{(n)} (0))$

est de classe $𝒞^{n - 1}$ .
(d)

$\frac{f (x)}{g (x)} = \frac{f (x)}{x} \frac{1}{g (x) / x}$

avec $x \mapsto f (x) / x$ et $x \mapsto g (x) / x$ qui se prolongent en 0 en des fonctions de classe $𝒞^{n - 1}$ .

Exercice 13 293

Soit $f : ℝ \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{n + 1}$ (avec $n \in ℕ$ ) vérifiant

f (x) \to_{x \to + \infty}^{} 0 et f^{(n + 1)} (x) \to_{x \to + \infty}^{} 0 .

Montrer que pour tout entier $k$ compris entre $1$ et $n$ ,

f^{(k)} (x) \to_{x \to + \infty}^{} 0 .

[<] Sommes de Riemann

Édité le 29-08-2023

Formules de Taylor