Exercice 1 1978 Correction

Déterminer les limites suivantes sans pour autant calculer les intégrales correspondantes:

(a)

${lim}_{x \to 0^{+}} \int_{- x}^{x} \sin (t^{2}) d t$
(b)

${lim}_{x \to + \infty} \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{\ln (t)}$
(c)

${lim}_{x \to + \infty} \int_{x}^{2 x} \frac{\sin (t)}{t} d t$

Solution

(a)

Quand $x \to 0^{+}$ ,

$| \int_{- x}^{x} \sin (t^{2}) d t | \leq \int_{- x}^{x} | \sin (t^{2}) | d t \leq \int_{- x}^{x} 1 . d t = 2 x \to 0$

donc $\int_{- x}^{x} \sin (t^{2}) d t \to 0$ .
(b)

Quand $x \to + \infty$ ,

$\int_{x}^{2 x} \frac{d t}{\ln (2 x)} \leq \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{\ln (t)}$

donc

$\frac{x}{\ln (2 x)} \leq \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{\ln (t)}$

puis

$\int_{x}^{2 x} \frac{d t}{\ln (t)} \to + \infty .$
(c)

Par intégration par parties

$\int_{x}^{2 x} \frac{\sin (t)}{t} d t = {[- \frac{\cos (t)}{t}]}_{x}^{2 x} - \int_{x}^{2 x} \frac{\cos (t)}{t^{2}} d t .$

Or quand $x \to + \infty$ ,

${[- \frac{\cos (t)}{t}]}_{x}^{2 x} \to 0 et | \int_{x}^{2 x} \frac{\cos (t)}{t^{2}} d t | \leq \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{t^{2}} = {[- \frac{1}{t}]}_{x}^{2 x} \to 0$

donc

$\int_{x}^{2 x} \frac{\sin (t)}{t} d t \to 0 .$

Exercice 2 286 Correction

Déterminer les limites suivantes sans pour autant calculer les intégrales correspondantes:

(a)

${lim}_{x \to 0^{+}} \int_{x}^{2 x} \frac{e^{t} d t}{t}$
(b)

${lim}_{x \to + \infty} \int_{x}^{2 x} \frac{e^{1 / t}}{t} d t$
(c)

${lim}_{x \to + \infty} \int_{x}^{2 x} \frac{\cos (1 / t)}{t} d t$

Solution

(a)

Quand $x \to 0^{+}$ , par croissance de la fonction exponentielle

$\int_{x}^{2 x} \frac{e^{x}}{t} d t \leq \int_{x}^{2 x} \frac{e^{t}}{t} d t \leq \int_{x}^{2 x} \frac{e^{2 x}}{t} d t$

donc

$e^{x} \ln (2) \leq \int_{x}^{2 x} \frac{e^{t}}{t} d t \leq e^{2 x} \ln (2)$

puis par encadrement

$\int_{x}^{2 x} \frac{e^{t}}{t} d t \to \ln (2) .$
(b)

Quand $x \to + \infty$ , par décroissance de la fonction $t \mapsto e^{1 / t}$

$\int_{x}^{2 x} \frac{e^{1 / 2 x}}{t} d t \leq \int_{x}^{2 x} \frac{e^{1 / t}}{t} d t \leq \int_{x}^{2 x} \frac{e^{1 / x}}{t} d t$

donc

$e^{1 / x} \ln (2) \int_{x}^{2 x} \frac{e^{1 / t}}{t} d t \leq e^{1 / 2 x} \ln (2)$

puis par encadrement

$\int_{x}^{2 x} \frac{e^{1 / t}}{t} d t \to \ln (2) .$
(c)

Quand $x \to + \infty$ , pour $x$ assez grand, la fonction $t \mapsto \cos (1 / t)$ est croissante sur $[x; 2 x]$ donc

$\int_{x}^{2 x} \frac{\cos (1 / x)}{t} d t \leq \int_{x}^{2 x} \frac{\cos (1 / t)}{t} d t \leq \int_{x}^{2 x} \frac{\cos (1 / 2 x)}{t} d t$

puis

$\cos (\frac{1}{x}) \ln (2) \leq \int_{x}^{2 x} \frac{\cos (1 / t)}{t} d t \leq \cos (\frac{1}{2 x}) \ln (2)$

et par encadrement

$\int_{x}^{2 x} \frac{\cos (1 / t)}{t} d t \to \ln (2) .$

Exercice 3 4855

Étudier les limites suivantes:

(a)

${lim}_{x \to 0^{+}} \int_{0}^{x} \frac{\sin (t)}{1 + t^{2}} d t$
(b)

${lim}_{x \to + \infty} \int_{x}^{x + 1} \arctan (t) d t$
(c)

${lim}_{x \to + \infty} \int_{x}^{2 x} \frac{d t}{\ln (t)}$
(d)

${lim}_{x \to 0^{+}} \int_{x}^{2 x} \frac{e^{t}}{t} d t$
(e)

${lim}_{x \to 1^{+}} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{\ln (t)}$
(f)

${lim}_{x \to 1^{-}} \int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{\ln (t)}$ .

Exercice 4 1977 Correction

Soit $f : ℝ_{+} \to ℝ$ continue. Déterminer

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t .

Solution

On a

| \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t - f (0) | \leq \frac{1}{x} \int_{0}^{x} | f (t) - f (0) | d t .

Par la continuité de $f$ en 0, Pour tout $ε > 0$ , il existe $α > 0$ vérifiant

\forall x \in ℝ_{+}, x \leq α ⟹ | f (x) - f (0) | \leq ε

et donc

| \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t - f (0) | \leq ε .

On peut donc conclure que

lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t = f (0) .

On peut aussi très efficacement obtenir le résultat en introduisant une primitive de $f$ et en exploitant

\frac{1}{x} \int_{0}^{x} f (t) d t = \frac{F (x) - F (0)}{x} \to_{x \to 0}^{} F^{'} (0) = f (0) .

Exercice 5 1976

Soit $f : [0; 1] \to ℝ$ continue. Montrer

\int_{0}^{1} t^{n} f (t) d t \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 6 2977 X (MP)Correction

Soit $f \in 𝒞 ([0; 1], ℝ)$ . Déterminer la limite de la suite

{(\frac{\int_{0}^{1} t^{n} f (t) d t}{\int_{0}^{1} t^{n} d t})}_{n \geq 0} .

Solution

On peut écrire

\frac{\int_{0}^{1} t^{n} f (t) d t}{\int_{0}^{1} t^{n} d t} = \int_{0}^{1} (n + 1) t^{n} f (t) d t .

Par le changement de variable $u = t^{n + 1}$

\frac{\int_{0}^{1} t^{n} f (t) d t}{\int_{0}^{1} t^{n} d t} = \int_{0}^{1} f (u^{1 / (n + 1)}) d u .

Par convergence dominée par ${∥ f ∥}_{\infty}$ , on obtient

\frac{\int_{0}^{1} t^{n} f (t) d t}{\int_{0}^{1} t^{n} d t} \to f (1) .

Exercice 7 278 Correction

Soient $f : ℝ \to ℝ$ une application de classe $𝒞^{1}$ et $a > 0$ . On pose

I (x) = \frac{1}{x^{a + 1}} \int_{0}^{x} t^{a} f (t) d t .

Déterminer la limite de $I (x)$ quand $x$ tend vers 0.

Solution

On a

I (x) - \frac{f (0)}{a + 1} = \frac{1}{x^{a + 1}} (\int_{0}^{x} t^{a} f (t) d t - \int_{0}^{x} t^{a} f (0) d t) = \frac{1}{x^{a + 1}} \int_{0}^{x} t^{a} (f (t) - f (0)) d t .

Pour $ε > 0$ , il existe $α > 0$ vérifiant

| x | \leq α ⟹ | f (x) - f (0) | \leq ε .

Par suite, si $| x | \leq α$ , pour tout $t$ compris entre 0 et $x$ , $| f (t) - f (0) | \leq ε$ puis par intégration

| \frac{1}{x^{a + 1}} \int_{0}^{x} t^{a} (f (t) - f (0)) d t | \leq ε .

Ainsi,

lim_{x \to 0} I (x) = \frac{f (0)}{a + 1} .

Exercice 8 4847

Pour $n \in ℕ$ , on pose

u_{n} = \int_{0}^{1} \ln (1 + t^{n}) d t .

(a)

Montrer que la suite $(u_{n})$ est à termes strictement positifs.
(b)

Montrer que la suite $(u_{n})$ est strictement décroissante.
(c)

Déterminer la limite de la suite $(u_{n})$ .

Exercice 9 4192

Soient $a$ et $b$ deux réels strictement positifs. Pour $f : [0; + \infty [\to ℝ$ une fonction continue dérivable en $0$ , étudier

lim_{x \to 0^{+}} \int_{a x}^{b x} \frac{f (t)}{t} d t .

Exercice 10 1981

(Lemme de Lebesgue)

Soit $f : [a; b] \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ .

Montrer

lim_{n \to + \infty} \int_{a}^{b} f (t) \sin (n t) d t = 0 .

Exercice 11 193

Soit $f : [0; π] \to ℝ$ une fonction de classe $𝒞^{1}$ .

Étudier la limite quand $n$ tend vers l’infini de

\int_{0}^{π} f (t) | \sin (n t) | d t .

[<] Intégrales fonctions des bornes [>] Sommes de Riemann

Édité le 29-08-2023

Limites d'intégrales