[<] Continuité uniforme [>] Inégalités
Soit continue. Montrer
Solution
ok
Si alors donne . Or la fonction est continue et positive donc elle est nulle.
Le cas est semblable.
Soient avec et une fonction continue.
À quelle condition portant sur a-t-on l’égalité suivante?
Même question pour une fonction à valeurs complexes.
Soit continue telle que
Montrer que admet un point fixe.
Solution
La fonction est définie, continue sur et
donc s’annule.
Soit une fonction continue telle que
Montrer qu’il existe tel que .
(Égalité de la moyenne11 1 Ce résultat se comprend aussi comme une « version intégrale » du théorème des accroissements finis.)
Soit une fonction continue. Montrer qu’il existe tel que
(Formule de la moyenne11 1 Ce résultat généralise celui du sujet 1969.)
Soient des fonctions continues avec .
Montrer qu’il existe tel que
Soit une fonction réelle de classe positive et décroissante sur .
Soit une fonction continue sur . On définit par la relation
Montrer qu’il existe tel que
Montrer que
En déduire qu’il existe tel que
Solution
La fonction est continue donc l’image d’un segment est un segment.
Il suffit de procéder à une intégration par parties.
Puisque la fonction est positive, on a
et donc
puis
Ainsi, que soit nul ou non, il existe tel que
Soient des fonctions continues.
Montrer qu’il existe tel que
(Seconde formule de la moyenne)
Soient deux fonctions continues avec décroissante et positive.
Pour , on pose
Montrer que
On introduit la primitive de s’annulant en .
Montrer que
En déduire qu’il existe vérifiant
Soient continues avec monotone.
Montrer qu’il existe tel que
Solution
En exploitant la relation de Chasles, on peut écrire
Soit . Puisque est continue sur le segment , elle y est uniformément continue et donc il existe tel que
Pour assez grand, on a et alors pour tout on a donc . On en déduit
Par suite,
En exprimant l’intégrale à l’aide de la primitive
En séparant la somme en deux, puis en procédant à un décalage d’indice sur la première
puis en recombinant les deux sommes
Or et puisque la fonction est décroissante et positive
Enfin par télescopage
De façon symétrique, on a aussi
En passant à la limite ce qui précède, on obtient
Si , le problème est immédiatement résolu, sinon, ce qui précède affirme que
est valeur intermédiaire à deux valeurs prises par et le théorème des valeurs intermédiaires permet de conclure.
Quitte à considérer , ce qui ne change rien au problème posé, on peut supposer que la fonction est croissante. En appliquant le résultat précédent à la fonction décroissante et positive, on peut affirmer qu’il existe tel que
et il suffit de réorganiser les membres de cette identité pour former celle voulue.
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Édité le 29-08-2023
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