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Exercice 1  246    CENTRALE (MP)Correction  

La fonction tsin(1t) si t>0 et 0 si t=0 est-elle continue par morceaux sur [0;1]?

Solution

Cette fonction n’a pas de limite en 0, elle n’est donc pas continue par morceaux.

 
Exercice 2  2642   Correction  

Soit f:[a;b] une fonction en escalier.
Montrer qu’il existe une subdivision σ du segment [a;b] adaptée à f telle que toute autre subdivision adaptée à f soit plus fine que σ.

Solution

Soit A l’ensemble des n tel qu’il existe une subdivision σ=(a0,,an) adaptée à f.
A est une partie non vide de , elle possède donc un plus petit élément p.
Il existe une subdivision σ=(a0,,ap) adaptée à f.
Montrons que toute subdivision σ=(b0,b1,,bn) adaptée à f est plus fine que σ.
Par l’absurde: supposons qu’il existe i{1,2,,p-1} tel que ai{b0,b1,,bn}.
On peut alors affirmer qu’il existe j{1,2,,n} tel que ai]bj-1;bj[.
Comme σ et σ sont adaptées à f on peut affirmer que f est constante sur ]ai-1;ai[,]ai;ai+1[ et ]bj-1;bj[ puis que f est constante sur ]ai-1;ai+1[.
Par suite, la subdivision σ=(a0,,ai-1,ai+1,,ap) est adaptée à f or cela contredit la définition de p.

 
Exercice 3  272  Correction  

Soient a,b, 0<c<b-a2 et

f:x{1 si |x|c0 sinon.

Représenter

g(t)=abf(t-x)dx.

Solution

-ct-xct-cxt+c.
Si ta-c ou tb+c alors g(t)=0.
Si a-cta+c alors g(t)=at+c1dx=t+c-a.
Si a+ctb-c alors g(t)=t-ct+c1dt=2c.
Si b-ctb+c alors g(t)=t-cb1dx=b-t+c.
La fonction g est représentée par une fonction continue affine par morceaux.

Figure 1: La fonction g

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Édité le 08-11-2019

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