La fonction si et 0 si est-elle continue par morceaux sur ?
Solution
Cette fonction n’a pas de limite en 0, elle n’est donc pas continue par morceaux.
Soit une fonction en escalier.
Montrer qu’il existe une subdivision du segment adaptée à telle que toute autre subdivision adaptée à soit plus fine que .
Solution
Soit l’ensemble des tel qu’il existe une subdivision adaptée à .
est une partie non vide de , elle possède donc un plus petit élément .
Il existe une subdivision adaptée à .
Montrons que toute subdivision adaptée à est plus fine que .
Par l’absurde: supposons qu’il existe tel que .
On peut alors affirmer qu’il existe tel que .
Comme et sont adaptées à on peut affirmer que est constante sur et puis que est constante sur .
Par suite, la subdivision est adaptée à or cela contredit la définition de .
Soient , et
Représenter
Solution
On remarque
Si ou alors .
Si alors
Si alors
Si alors
La fonction est représentée par une fonction continue affine par morceaux.
Soient deux réels.
On note l’espace des fonctions continues par morceaux de vers , le sous-espace vectoriel formé des fonctions en escalier et le sous-espace vectoriel formé des fonctions continues et d’intégrale nulle sur .
Établir
Solution
Soit . La fonction est en escalier mais c’est aussi une fonction continue, c’est donc une fonction constante. Au surplus, est d’intégrale nulle, c’est donc la fonction identiquement nulle.
Soit . Il existe une subdivision de telle que
Pour , posons et considérons la fonction définie par
La fonction est une fonction en escalier et la subdivision est adaptée à avec, pour
Considérons ensuite définie par . La fonction est continue sur chaque intervalle et, pour ,
Enfin, considérons la fonction définie par
où désigne la limite épointée de en .
Par construction, est continue sur chaque intervalle de subdivision mais aussi en chaque point de subdivision . La fonction est donc continue sur . Posons ensuite
et considérons et , on obtient
avec continue et d’intégrale sur et en escalier.
La composition de deux fonctions continues par morceaux est-elle assurément continue par morceaux?
Solution
Considérons les fonctions et données par
La fonction est continue par morceaux sur , la fonction est continue donc continue par morceaux sur . La fonction composée est correctement définie sur mais n’est pas continue par morceaux sur car non bornée.
Édité le 29-08-2023
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