[>] Continuité uniforme

 
Exercice 1  246    CENTRALE (MP)Correction  

La fonction tsin(1t) si t>0 et 0 si t=0 est-elle continue par morceaux sur [0;1]?

Solution

Cette fonction n’a pas de limite en 0, elle n’est donc pas continue par morceaux.

 
Exercice 2  2642   Correction  

Soit f:[a;b] une fonction en escalier.
Montrer qu’il existe une subdivision σ du segment [a;b] adaptée à f telle que toute autre subdivision adaptée à f soit plus fine que σ.

Solution

Soit A l’ensemble des n tel qu’il existe une subdivision σ=(a0,,an) adaptée à f.
A est une partie non vide de , elle possède donc un plus petit élément p.
Il existe une subdivision σ=(a0,,ap) adaptée à f.
Montrons que toute subdivision σ=(b0,b1,,bn) adaptée à f est plus fine que σ.
Par l’absurde: supposons qu’il existe i{1,2,,p-1} tel que ai{b0,b1,,bn}.
On peut alors affirmer qu’il existe j{1,2,,n} tel que ai]bj-1;bj[.
Comme σ et σ sont adaptées à f on peut affirmer que f est constante sur ]ai-1;ai[,]ai;ai+1[ et ]bj-1;bj[ puis que f est constante sur ]ai-1;ai+1[.
Par suite, la subdivision σ=(a0,,ai-1,ai+1,,ap) est adaptée à f or cela contredit la définition de p.

 
Exercice 3  272  Correction  

Soient a,b, 0<c<ba2 et

f:x{1 si |x|c0 sinon.

Représenter

g(t)=abf(tx)dx.

Solution

On remarque

ctxctcxt+c.

Si tac ou tb+c alors g(t)=0.

Si acta+c alors

g(t)=at+c1dx=t+ca.

Si a+ctbc alors

g(t)=tct+c1dt=2c.

Si bctb+c alors

g(t)=tcb1dx=bt+c.

La fonction g est représentée par une fonction continue affine par morceaux.

[Uncaptioned image]
 
Exercice 4  5601   Correction  

Soient a<b deux réels.

On note 𝒞pm([a;b],) l’espace des fonctions continues par morceaux de [a;b] vers , ([a;b],) le sous-espace vectoriel formé des fonctions en escalier et 𝒞0([a;b],) le sous-espace vectoriel formé des fonctions continues et d’intégrale nulle sur [a;b].

Établir

𝒞pm([a;b],)=([a;b],)𝒞0([a;b],).

Solution

Soit f([a;b],)𝒞0([a;b],). La fonction f est en escalier mais c’est aussi une fonction continue, c’est donc une fonction constante. Au surplus, f est d’intégrale nulle, c’est donc la fonction identiquement nulle.

Soit f𝒞pm([a;b],). Il existe une subdivision σ=(a0,,aN) de [a;b] telle que

i1;N,{f|]ai1;ai[ est continuef admet des limites finies en ai1+ et ai.

Pour i1;N1, posons δi=limaiflimai+f et considérons la fonction φ:[a;b] définie par

φ=k=1N1δk1[a;ak].

La fonction φ est une fonction en escalier et la subdivision σ est adaptée à φ avec, pour i1;N1

limaiφ=k=1iδketlimai+φ=k=1i1δk.

Considérons ensuite g:[a;b] définie par g=fφ. La fonction g est continue sur chaque intervalle ]ai1;ai[ et, pour i1;N1,

limaig=limaifk=1iδketlimai+g=limai+fk=1i1δk=limaig.

Enfin, considérons la fonction ψ:[a;b] définie par

ψ(x)={0 si x{a0,,aN}g(ai)limai*g si x=ai

limai*g désigne la limite épointée de g en ai.

Par construction, h=gψ est continue sur chaque intervalle de subdivision ]ai1;ai[ mais aussi en chaque point de subdivision ai. La fonction g est donc continue sur [a;b]. Posons ensuite

λ=1baabh(t)dt

et considérons h~=hλ et θ=φ+ψ+λ, on obtient

f=h~+θ

avec h~ continue et d’intégrale sur [a;b] et θ~ en escalier.

 
Exercice 5  5692   Correction  

La composition de deux fonctions continues par morceaux est-elle assurément continue par morceaux?

Solution

Considérons les fonctions f:[0;1] et g:]0;+[ données par

f(x)={x si x]0;1]1 si x=0etg(x)=1x

La fonction f est continue par morceaux sur [0;1], la fonction g est continue donc continue par morceaux sur ]0;+[. La fonction composée gf est correctement définie sur [0;1] mais n’est pas continue par morceaux sur [0;1] car non bornée.

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Édité le 29-08-2023

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