Exercice 1 4859

Les fonctions suivantes sont-elles uniformément continues?

(a)

$x \mapsto \sqrt{x}$ sur $ℝ_{+}$
(b)

$x \mapsto x \ln (x)$ sur $] 0; 1]$
(c)

$x \mapsto \ln (x)$ sur $ℝ_{+}^{*}$ .

Exercice 2 2821

Soit $f : ℝ_{+} \to ℝ$ une fonction uniformément continue. Montrer qu’il existe des réels positifs $a$ et $b$ tels que $| f (x) | \leq a x + b$ pour tout $x \in ℝ_{+}$ .

Exercice 3 3034 X (MP)Correction

Soit $f : [0; 1 [\to ℝ$ uniformément continue. Montrer que $f$ est bornée.

Solution

Pour $ε = 1$ , il existe $α > 0$ tel que

\forall x, y \in [0; 1 [, | y - x | \leq α ⟹ | f (y) - f (x) | \leq 1 .

Par suite, pour tout $x \in [1 - α; 1 [$ , on a $| f (x) - f (1 - α) | \leq 1$ puis $| f (x) | \leq 1 + | f (1 - α) |$ .
De plus, la fonction $f$ est continue donc bornée sur le segment $[0; 1 - α]$ par un certain $M$ .
On a alors $f$ bornée sur $[0; 1 [$ par $\max {M,1 + | f (1 - α) |}$ .

Exercice 4 3035 X (MP)

Soit $f : [0; + \infty [\to ℝ$ continue et possédant une limite finie en l’infini.

Montrer que $f$ est uniformément continue.

Exercice 5 2822 MINES (MP)Correction

Soit $f : ℝ_{+} \to ℝ$ dérivable.

(a)

Si $f^{'}$ est bornée sur $ℝ_{+}$ , montrer que $f$ est uniformément continue sur $ℝ_{+}$ .
(b)

Si $| f^{'} (x) | \to + \infty$ quand $x \to + \infty$ , montrer que $f$ n’est pas uniformément continue sur $ℝ_{+}$ .

Solution

(a)

Si $f^{'}$ est bornée sur $ℝ_{+}$ , l’inégalité des accroissements finis assure que $f$ est lipschitzienne donc uniformément continue.
(b)

Supposons que $f$ soit uniformément continue. Pour $ε = 1 > 0$ , il existe un réel $α > 0$ vérifiant $\forall x, y \in ℝ, | y - x | \leq α ⟹ | f (y) - f (x) | \leq 1$ . En particulier, pour tout $x \in ℝ$ , $| f (x + α) - f (x) | \leq 1$ . Or par le théorème des accroissements finis, il existe $ξ_{x} \in] x; x + α [$ vérifiant $| f (x + α) - f (x) | = α | f^{'} (ξ_{x}) |$ et donc $| f^{'} (ξ_{x}) | \leq 1 / α$ . Cette propriété est incompatible avec $| f^{'} (x) | \to + \infty$ .

Exercice 6 3153 Correction

Soit $f : ℝ_{+}^{*} \to ℝ$ une fonction uniformément continue vérifiant

\forall x > 0, f (n x) \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Montrer que $f$ converge vers 0 en $+ \infty$ .

Solution

Soit $ε > 0$ . Puisque $f$ est uniformément continue, il existe $α > 0$ vérifiant

\forall x, y > 0, | y - x | \leq α ⟹ | f (y) - f (x) | \leq ε .

Considérons alors la suite $(f (n α))$ . Puisque celle-ci converge vers 0, il existe $N \in ℕ$ vérifiant

\forall n \geq N, | f (n α) | \leq ε .

Posons $A = N α$ . Pour $x \geq A$ , il existe $n \geq N$ vérifiant

| n α - x | \leq α

et donc

| f (x) | \leq | f (x) - f (n α) | + | f (n α) | \leq 2 ε .

On peut alors conclure que $f$ converge vers 0 en $+ \infty$ .

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Édité le 29-08-2023

Continuité uniforme