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Exercice 1  4859  

Les fonctions suivantes sont-elles uniformément continues?

  • (a)

    xx sur +

  • (b)

    xxln(x) sur ]0;1]

  • (c)

    xln(x) sur +*.

 
Exercice 2  2821     MINES (MP)

Soit f:+ une fonction uniformément continue. Montrer qu’il existe des réels positifs a et b tels que |f(x)|ax+b pour tout x+.

 
Exercice 3  3034     X (MP)Correction  

Soit f:[0;1[ uniformément continue. Montrer que f est bornée.

Solution

Pour ε=1, il existe α>0 tel que

x,y[0;1[,|y-x|α|f(y)-f(x)|1.

Par suite, pour tout x[1-α;1[, on a |f(x)-f(1-α)|1 puis |f(x)|1+|f(1-α)|.
De plus, la fonction f est continue donc bornée sur le segment [0;1-α] par un certain M.
On a alors f bornée sur [0;1[ par max{M,1+|f(1-α)|}.

 
Exercice 4  3035     X (MP)

Soit f:[0;+[ continue et possédant une limite finie en l’infini.

Montrer que f est uniformément continue.

 
Exercice 5  2822     MINES (MP)Correction  

Soit f:+ dérivable.

  • (a)

    Si f est bornée sur +, montrer que f est uniformément continue sur +.

  • (b)

    Si |f(x)|+ quand x+, montrer que f n’est pas uniformément continue sur +.

Solution

  • (a)

    Si f est bornée sur +, l’inégalité des accroissements finis assure que f est lipschitzienne donc uniformément continue.

  • (b)

    Supposons que f soit uniformément continue. Pour ε=1>0, il existe un réel α>0 vérifiant x,y,|y-x|α|f(y)-f(x)|1. En particulier, pour tout x, |f(x+α)-f(x)|1. Or par le théorème des accroissements finis, il existe ξx]x;x+α[ vérifiant |f(x+α)-f(x)|=α|f(ξx)| et donc |f(ξx)|1/α. Cette propriété est incompatible avec |f(x)|+.

 
Exercice 6  3153    Correction  

Soit f:+* une fonction uniformément continue vérifiant

x>0,f(nx)n+0.

Montrer que f converge vers 0 en +.

Solution

Soit ε>0. Puisque f est uniformément continue, il existe α>0 vérifiant

x,y>0,|y-x|α|f(y)-f(x)|ε.

Considérons alors la suite (f(nα)). Puisque celle-ci converge vers 0, il existe N vérifiant

nN,|f(nα)|ε.

Posons A=Nα. Pour xA, il existe nN vérifiant

|nα-x|α

et donc

|f(x)||f(x)-f(nα)|+|f(nα)|2ε.

On peut alors conclure que f converge vers 0 en +.

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Édité le 08-11-2019

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