[<] Calcul de développements asymptotiques de suites [>] Étude asymptotique de suites de solutions d'une équation
Soit une suite décroissante de réels telle que
Déterminer un équivalent simple de .
(Intégrales de Wallis)
Pour , on pose
Montrer que pour tout ,
Établir que pour tout ,
Déterminer un équivalent de .
On pose
Justifier que
Déterminer la limite de .
On pose . Montrer que converge.
Donner un équivalent simple de .
Solution
donc
puis .
donc est décroissante.
Or donc est aussi minorée. Par suite, converge.
On étudie ici la suite de terme général
Établir que pour tout , et en déduire
Observer que
et en déduire un équivalent simple de .
Montrer que la suite est convergente. Sa limite est appelée constante d’Euler et est usuellement notée .
Solution
On étudie la fonction pour établir la première inégalité. On en déduit
donc
puis l’inégalité voulue.
et
On en déduit
donc est décroissante. De plus, donc est minorée et par suite convergente.
On considère la suite définie par
Étudier la limite de .
Pour , exprimer en fonction de .
Montrer que pour tout puis que .
Donner un équivalent simple de .
Étudier .
Solution
On remarque pour tout . Par minoration, on en déduit que tend vers .
Pour , on remarque ..
Montrons par récurrence sur que .
Pour : c’est immédiat.
Supposons la propriété établie au rang .
La récurrence est établie.
On en déduit
donc
Par ce qui précède,
En multipliant par la quantité conjuguée,
Or
et
donc
Déterminer un équivalent simple de la suite de terme général
Solution
On écrit
et l’on emploie
pour écrire
et
On en déduit
Soit une fonction de classe vérifiant .
Déterminer un équivalent simple quand tend vers de
Même question avec l’hypothèse continue au lieu de classe .
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Édité le 26-01-2024
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