[<] Calcul de développements asymptotiques de suites [>] Étude asymptotique de suites de solutions d'une équation

 
Exercice 1  4760  

Soit (un) une suite décroissante de réels telle que

un+un+1n+1n.

Déterminer un équivalent simple de (un).

 
Exercice 2  4761   

(Intégrales de Wallis)

Pour n, on pose

In=0π/2sinn(t)dt.
  • (a)

    Montrer que pour tout n,

    In+2=n+1n+2In.
  • (b)

    Établir que pour tout n,

    (n+1)InIn+1=π2et0In+1In.
  • (c)

    Déterminer un équivalent de In.

 
Exercice 3  2284  Correction  

Pour n, on pose

un=0!+1!+2!++n!=k=0nk!.

Montrer que

unn+n!.

Solution

On a

un=n!+(n-1)!+k=0n-2k!

Or

(n-1)!n!=1nn+0

et

0k=0n-2k!n!=k=0n-2k!n!k=0n-2(n-2)!n!=k=0n-21n(n-1)1nn+0

donc

un=n!+(n-1)!+k=0n-2k!=n!+o(n!)n+n!
 
Exercice 4  2285   Correction  

On pose

Sn=k=1n1k.
  • (a)

    Justifier que

    1n+12(n+1-n)1n.
  • (b)

    Déterminer la limite de (Sn).

  • (c)

    On pose un=Sn-2n. Montrer que (un) converge.

  • (d)

    Donner un équivalent simple de (Sn).

Solution

  • (a)
    2(n+1-n)=2n+1+n

    donc

    1n+12(n+1-n)1n.
  • (b)
    Snk=1n2(k+1-k)=2n+1-2

    puis Sn+.

  • (c)

    un+1-un=1n+1-2(n+1-n)0 donc (un) est décroissante.
    Or un=Sn-2n2n+1-2-2n-2 donc (un) est aussi minorée. Par suite, (un) converge.

  • (d)
    Sn=2n+un=2n+o(n)2n.
 
Exercice 5  301   Correction  

On étudie ici la suite (Sn) de terme général

Sn=k=1n1k.
  • (a)

    Établir que pour tout t>-1, ln(1+t)t et en déduire

    ln(1+t)tt+1.
  • (b)

    Observer que

    ln(n+1)Snln(n)+1

    et en déduire un équivalent simple de Sn.

  • (c)

    Montrer que la suite un=Sn-ln(n) est convergente. Sa limite est appelée constante d’Euler et est usuellement notée γ.

Solution

  • (a)

    On étudie la fonction tt-ln(1+t) pour établir la première inégalité. On en déduit

    ln(1-t1+t)-t1+t

    donc

    ln(11+t)-t1+t

    puis l’inégalité voulue.

  • (b)
    Sn=k=1n1kln(k=1n(1+1k))=ln(n+1)

    et

    Sn=1+k=1n-11/k1+1/k1+ln(k=1n-1(1+1k))=1+ln(n).

    On en déduit

    Snn+ln(n).
  • (c)
    un+1-un=1/n1+1/n-ln(1+1n)0

    donc (un) est décroissante. De plus, unln(n+1)-ln(n)0 donc (un) est minorée et par suite convergente.

 
Exercice 6  2302   Correction  

On considère la suite (un) définie pour n1 par

un=n+(n-1)++2+1.
  • (a)

    Montrer que (un) diverge vers +.

  • (b)

    Exprimer un+1 en fonction de un.

  • (c)

    Montrer que unn puis que un=o(n).

  • (d)

    Donner un équivalent simple de (un).

  • (e)

    Déterminer limn+un-n.

Solution

  • (a)

    unn+.

  • (b)

    un+1=(n+1)+un.

  • (c)

    Montrons par récurrence sur n1 que unn.
    Pour n=1: ok . Supposons la propriété établie au rang n1.

    un+1=(n+1)+un(n+1)+nn+1.

    La récurrence est établie. On en déduit

    0un=n+un-1n+(n-1)=O(n)

    donc

    un=n+O(n)=o(n).
  • (d)
    un=n+o(n)n+n
  • (e)
    un-n=un-1un+n

    or un-1n-1n et un+n=n+o(n)+n2n donc

    un-nn+12.
 
Exercice 7  290   Correction  

Déterminer un équivalent simple de la suite de terme général

n+1n+1-nn

Solution

On écrit

n+1n+1-nn=eln(n+1)n+1-eln(n)n

et l’on emploie

eu=u01+u+12u2+16u3+o(u3)

pour écrire

eln(n+1)n+1=1+ln(n+1)n+1+12(ln(n+1)(n+1))2+16(ln(n+1)(n+1))3+o((ln(n))3n3)

et

eln(n)n=1+ln(n)n+12(ln(n)n)2+16(ln(n)n)3+o((ln(n))3n3)

On en déduit

n+1n+1-nn=-ln(n)n2+o(ln(n)n2)n+-ln(n)n2.
 
Exercice 8  4766    

Soit f:[0;1] une fonction de classe 𝒞1 vérifiant f(1)0.

  • (a)

    Déterminer un équivalent simple quand n tend vers + de

    In=01tnf(t)dt.
  • (b)

    Même question avec l’hypothèse f continue au lieu de classe 𝒞1.

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Édité le 05-09-2019

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