Exercice 1 4758

Calculer les trois premiers termes des développements asymptotiques de:

(a)

$\frac{1}{e^{x} - 1}$ quand $x \to 0$
(b)

$\ln (x + 1)$ quand $x \to + \infty$ .

Exercice 2 1457 Correction

Former le développement asymptotique en $0$ de l’expression considérée à la précision demandée:

(a)

$\frac{\ln (1 + x)}{\sqrt{x}}$ à la précision $x^{5 / 2}$
(b)

$x^{x}$ à la précision ${(x \ln (x))}^{2}$

Solution

(a)

$\frac{\ln (1 + x)}{\sqrt{x}} \underset{x \to 0}{=} \sqrt{x} - \frac{1}{2} x^{3 / 2} + \frac{1}{3} x^{5 / 2} + o (x^{5 / 2})$
(b)

$x^{x} \underset{x \to 0}{=} 1 + x \ln (x) + \frac{1}{2} x^{2} \ln^{2} (x) + o (x^{2} \ln^{2} (x))$

Exercice 3 1458 Correction

Former le développement asymptotique en $+ \infty$ de l’expression considérée à la précision demandée:

(a)

$\sqrt{x + 1}$ à la précision $1 / x^{3 / 2}$ .
(b)

$x \ln (x + 1) - (x + 1) \ln (x)$ à la précision $1 / x^{2}$ .
(c)

${(\frac{x + 1}{x})}^{x}$ à la précision $1 / x^{2}$ .

Solution

(a)

$\sqrt{x + 1} = \sqrt{x} \sqrt{1 + 1 / x} \underset{x \to + \infty}{=} \sqrt{x} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{x^{3 / 2}} + o (\frac{1}{x^{3 / 2}}) .$
(b)

$x \ln (x + 1) - (x + 1) \ln (x) \underset{x \to + \infty}{=} - \ln (x) + 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{2}} + o (\frac{1}{x^{2}}) .$
(c)

${(\frac{x + 1}{x})}^{x} \underset{x \to + \infty}{=} e - \frac{e}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{11 e}{24} \cdot \frac{1}{x^{2}} + o (\frac{1}{x^{2}}) .$

Exercice 4 3431

Former le développement asymptotique à trois termes au voisinage de $+ \infty$ de la fonction $x \mapsto x \arctan (x)$ . Quelle est l’allure de cette fonction en $+ \infty$ ?

Exercice 5 239 Correction

Soit $f : [e; + \infty [\to ℝ$ la fonction définie par

f (x) = \frac{x}{\ln (x)} .

(a)

Montrer que $f$ réalise une bijection de $[e; + \infty [$ vers un intervalle à préciser.
(b)

Déterminer un équivalent simple à $f^{- 1}$ en $+ \infty$ .
(c)

Réaliser un développement asymptotique à trois termes de $f^{- 1}$ en $+ \infty$ .

Solution

(a)

$f$ est continue et

$f^{'} (x) = \frac{\ln (x) - 1}{{(\ln (x))}^{2}} > 0$

sauf en $x = e$ donc $f$ est strictement croissante et réalise donc une bijection de $[e; + \infty [$ vers $[e; + \infty [$ .
(b)

Quand $y \to + \infty$ , $f^{- 1} (y) \to + \infty$ .

$\frac{f^{- 1} (y)}{\ln (f^{- 1} (y))} = y$

donc

$\ln (f^{- 1} (y)) - \ln (\ln (f^{- 1} (y))) = \ln (f^{- 1} (y)) + o (\ln (f^{- 1} (y))) = \ln (y)$

d’où

$\ln (f^{- 1} (y)) \sim \ln (y) .$

Par suite,

$f^{- 1} (y) \sim y \ln (y) .$
(c)

$f^{- 1} (y) = y \ln (f^{- 1} (y)) = y \ln (y \ln (y) + o (y \ln (y))) = y \ln (y) + y \ln (\ln (y) + o (\ln (y))) = y \ln (y) + y \ln (\ln (y)) + o (y \ln (\ln (y)))$

puis

$f^{- 1} (y) = y \ln (f^{- 1} (y)) = y \ln (y \ln (y) + y \ln (\ln (y)) + o (y \ln (\ln (y))) = y \ln (y \ln (y)) + y \ln (1 + \frac{\ln (\ln (y))}{\ln (y)} + o (\frac{\ln (\ln (y))}{\ln (y)})) .$

et enfin

$f^{- 1} (y) = y \ln (y) + y \ln (\ln (y)) + y \frac{\ln (\ln (y))}{\ln (y)} + o (y \frac{\ln (\ln (y))}{\ln (y)}) .$

Exercice 6 5030

Soit $φ :] - 1; + \infty [\to ℝ$ la fonction définie par $φ (s) = s - \ln (1 + s)$ pour tout $s > - 1$ .

(a)

Montrer que $φ$ définit par restriction aux intervalles $] - 1; 0]$ et $[0; + \infty [$ une bijection $φ_{-} :] - 1; 0] \to [0; + \infty [$ et une bijection $φ_{+} : [0; + \infty [\to [0; + \infty [$ .
(b)

Donner un équivalent de $φ (s)$ lorsque $s$ tend vers $0$ et en déduire des équivalents des bijections réciproques $φ_{+}^{- 1}$ et $φ_{-}^{- 1}$ en $0$ par valeurs supérieures.
(c)

Former un développement asymptotique à trois termes de $φ_{+}^{- 1}$ et $φ_{-}^{- 1}$ en $0^{+}$ .

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Édité le 29-08-2023

Calcul de développements asymptotiques de fonctions