[<] Applications à l'étude locale de fonctions

 
Exercice 1  4758  

Calculer les trois premiers termes des développements asymptotiques de:

  • (a)

    1ex-1 quand x0

  • (b)

    ln(x+1) quand x+.

 
Exercice 2  1457  Correction  

Former le développement asymptotique en 0 de l’expression considérée à la précision demandée:

  • (a)

    ln(1+x)x à la précision x5/2

  • (b)

    xx à la précision (xln(x))2

Solution

  • (a)

    ln(1+x)x=x0x-12x3/2+13x5/2+o(x5/2)

  • (b)

    xx=x01+xln(x)+12x2ln2(x)+o(x2ln2(x))

 
Exercice 3  1458  Correction  

Former le développement asymptotique en + de l’expression considérée à la précision demandée:

  • (a)

    x+1 à la précision 1/x3/2.

  • (b)

    xln(x+1)-(x+1)ln(x) à la précision 1/x2.

  • (c)

    (x+1x)x à la précision 1/x2.

Solution

  • (a)
    x+1=x1+1/x=x+x+121x-181x3/2+o(1x3/2).
  • (b)
    xln(x+1)-(x+1)ln(x)=x+-ln(x)+1-121x+131x2+o(1x2)
  • (c)
    (x+1x)x=x+e-e21x+11e241x2+o(1x2)
 
Exercice 4  3431   

Former le développement asymptotique à trois termes au voisinage de + de la fonction xxarctan(x). Quelle est l’allure de cette fonction en +?

 
Exercice 5  239   Correction  

Soit f:[e;+[ la fonction définie par

f(x)=xln(x).
  • (a)

    Montrer que f réalise une bijection de [e;+[ vers un intervalle à préciser.

  • (b)

    Déterminer un équivalent simple à f-1 en +.

  • (c)

    Réaliser un développement asymptotique à trois termes de f-1 en +.

Solution

  • (a)

    f est continue et

    f(x)=ln(x)-1(ln(x))2>0

    sauf en x=e donc f est strictement croissante et réalise donc une bijection de [e;+[ vers [e;+[.

  • (b)

    Quand y+, f-1(y)+.

    f-1(y)ln(f-1(y))=y

    donc

    ln(f-1(y))-ln(ln(f-1(y)))=ln(f-1(y))+o(ln(f-1(y)))=ln(y)

    d’où

    ln(f-1(y))ln(y).

    Par suite,

    f-1(y)yln(y).
  • (c)
    f-1(y)=yln(f-1(y))=yln(yln(y)+o(yln(y)))=yln(y)+yln(ln(y)+o(ln(y)))=yln(y)+yln(ln(y))+o(yln(ln(y))).

    puis

    f-1(y)=yln(f-1(y))=yln(yln(y)+yln(ln(y))+o(yln(ln(y)))=yln(yln(y))+yln(1+ln(ln(y))ln(y)+o(ln(ln(y))ln(y)))

    et enfin

    f-1(y)=yln(y)+yln(ln(y))+yln(ln(y))ln(y)+o(yln(ln(y))ln(y)).
 
Exercice 6  5030    

Soit φ:]-1;+[ la fonction définie par φ(s)=s-ln(1+s) pour tout s>-1.

  • (a)

    Montrer que φ définit par restriction aux intervalles ]-1;0] et [0;+[ une bijection φ-:]-1;0][0;+[ et une bijection φ+:[0;+[[0;+[.

  • (b)

    Donner un équivalent de φ(s) lorsque s tend vers 0 et en déduire des équivalents des bijections réciproques φ+-1 et φ--1 en 0 par valeurs supérieures.

  • (c)

    Former un développement asymptotique à trois termes de φ+-1 et φ--1 en 0+.

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Édité le 05-09-2019

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