[>] Calcul de limites de suites numériques

 
Exercice 1  2280  

En employant la notation , classer par négligeabilité les termes généraux qui suivent:

  • (a)

    n,n2,ln(n),en,nln(n),n2ln(n)

  • (b)

    1n,1n2,1ln(n),ln(n)n,ln(n)n2,1nln(n).

 
Exercice 2  4752  

Réduire l’écriture des expressions asymptotiques suivantes:

  • (a)

    o(2n)-2o((-1)nn)

  • (b)

    nln(n)+o(n+1)+o(n2)

  • (c)

    2o(n)O(n)-nO(n).

 
Exercice 3  4753   

Déterminer des équivalents simples quand n tend vers l’infini des termes suivants:

  • (a)

    ln(n)+2n-1

  • (b)

    (1+ln(n))(3n2+1)n2+2n

  • (c)

    1n-1-1n+1

  • (d)

    n+1+n-1

  • (e)

    ln(2n3+1)

  • (f)

    ln(1+1n)

  • (g)

    nsin(1n2+1)

  • (h)

    ln(n+1)-ln(n-1)

  • (i)

    (n+1)n.

 
Exercice 4  2281  Correction  

Trouver un équivalent simple aux suites (un) suivantes et donner leur limite:

  • (a)

    un=(n+3ln(n))e-(n+1)

  • (b)

    un=ln(n2+1)n+1

  • (c)

    un=n2+n+1n2-n+13

Solution

  • (a)
    unn+ne-ne0.
  • (b)
    unn+2ln(n)n0.
  • (c)
    unn+n1/3+.
 
Exercice 5  236  Correction  

Trouver un équivalent simple aux suites (un) suivantes et donner leur limite:

  • (a)

    un=n3-n2+1ln(n)-2n2

  • (b)

    un=2n3-ln(n)+1n2+1

  • (c)

    un=n!+en2n+3n

Solution

  • (a)
    unn+-12n-
  • (b)
    unn+2n+
  • (c)
    unn+n!3n+
 
Exercice 6  235  Correction  

Trouver un équivalent simple aux suites (un) suivantes:

  • (a)

    un=sin(1n+1)

  • (b)

    un=ln(sin(1n))

  • (c)

    un=1-cos(1n)

Solution

  • (a)
    un=sin(1n+1)n+1n+1n+1n

    car 1n+10.

  • (b)

    sin(1n)1n01 donc

    unn+ln(1n)=-ln(n).
  • (c)
    un=2sin2(12n)n+12n2.
 
Exercice 7  2282   Correction  

Trouver un équivalent simple aux suites (un) suivantes:

  • (a)

    un=1n-1-1n+1

  • (b)

    un=n+1-n-1

  • (c)

    un=ln(n+1)-ln(n)

Solution

  • (a)
    un=2n2-1n+2n2.
  • (b)
    un=2n+1+n-1 =n+2n+o(n)+n+o(n)=1n+o(n)
    n+1n.
  • (c)
    un=ln(1+1n)n+1n=1n

    car

    ln(1+1n)n+1n

    puisque 1n0.

 
Exercice 8  1472   Correction  

Déterminer un équivalent simple de la suite dont le terme général est:

  • (a)

    2n-n+1-n-1

  • (b)

    ln(n+1)-ln(n)n+1-n

Solution

  • (a)
    2n-n+1-n-1n+14nn.
  • (b)
    ln(n+1)-ln(n)n+1-n=ln(1+1/n)n(1+1/n-1)n+1/n1/2n3/2=2n.
 
Exercice 9  2286   Correction  

Soient (un), (vn), (wn), (tn) des suites de réels strictement positifs telles que

unn+vnetwnn+tn.

Montrer que

un+wnn+vn+tn.

Solution

Supposons unn+vn et wnn+tn. On a

|un+wnvn+tn-1|=|(un-vn)+(wn-tn)vn+tn|

donc

|un+wnvn+tn-1||un-vn|vn+|wn-tn|tn=|unvn-1|+|wntn-1|n+0.
 
Exercice 10  2459   Correction  

Montrer que

n2n3dt1+t2n+1n2.

Solution

On peut calculer l’intégrale

un=n2n3dt1+t2=arctan(n3)-arctan(n2).

Or pour x>0,

arctan(x)+arctan(1x)=π2

donc

un=arctan(1n2)-arctan(1n3)=n+1n2+o(1n2)n+1n2.

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Édité le 05-09-2019

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