Exercice 1 2280

En employant la notation $≪$ , classer par négligeabilité les termes généraux qui suivent:

(a)

$n, n^{2}, \ln (n), e^{n}, n \ln (n), \frac{n^{2}}{\ln (n)}$
(b)

$\frac{1}{n}, \frac{1}{n^{2}}, \frac{1}{\ln (n)}, \frac{\ln (n)}{n}, \frac{\ln (n)}{n^{2}}, \frac{1}{n \ln (n)}$ .

Exercice 2 4752

Réduire l’écriture des expressions asymptotiques suivantes:

(a)

$o (2 n) - 2 o ({(- 1)}^{n} n)$
(b)

$n \ln (n) + o (n + 1) + o (n^{2})$
(c)

$2 o (n) O (n) - n O (n)$ .

Exercice 3 4753

Déterminer des équivalents simples quand $n$ tend vers l’infini des termes suivants:

(a)

$\ln (n) + 2 n - 1$
(b)

$\frac{(1 + \ln (n)) (3 n^{2} + 1)}{\sqrt{n^{2} + 2 n}}$
(c)

$\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}$
(d)

$\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}$
(e)

$\ln (2 n^{3} + 1)$
(f)

$\ln (1 + \frac{1}{\sqrt{n}})$
(g)

$n \sin (\frac{1}{n^{2} + 1})$
(h)

$\ln (n + 1) - \ln (n - 1)$
(i)

${(n + 1)}^{n}$ .

Exercice 4 2281 Correction

Trouver un équivalent simple aux suites $(u_{n})$ suivantes et donner leur limite:

(a)

$u_{n} = (n + 3 \ln (n)) e^{- (n + 1)}$
(b)

$u_{n} = \frac{\ln (n^{2} + 1)}{n + 1}$
(c)

$u_{n} = \frac{\sqrt{n^{2} + n + 1}}{\sqrt[3]{n^{2} - n + 1}}$

Solution

(a)

$u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{n e^{- n}}{e} \to 0 .$
(b)

$u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{2 \ln (n)}{n} \to 0 .$
(c)

$u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} n^{1 / 3} \to + \infty .$

Exercice 5 236 Correction

Trouver un équivalent simple aux suites $(u_{n})$ suivantes et donner leur limite:

(a)

$u_{n} = \frac{n^{3} - \sqrt{n^{2} + 1}}{\ln (n) - 2 n^{2}}$
(b)

$u_{n} = \frac{2 n^{3} - \ln (n) + 1}{n^{2} + 1}$
(c)

$u_{n} = \frac{n! + e^{n}}{2^{n} + 3^{n}}$

Solution

(a)

$u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} - \frac{1}{2} n \to - \infty .$
(b)

$u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} 2 n \to + \infty .$
(c)

$u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{n!}{3^{n}} \to + \infty .$

Exercice 6 235 Correction

Trouver un équivalent simple aux suites $(u_{n})$ suivantes:

(a)

$u_{n} = \sin (\frac{1}{\sqrt{n + 1}})$
(b)

$u_{n} = \ln (\sin (\frac{1}{n}))$
(c)

$u_{n} = 1 - \cos (\frac{1}{n})$

Solution

(a)

$u_{n} = \sin (\frac{1}{\sqrt{n + 1}}) \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{n + 1}} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{n}}$

car $\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \to 0$ .
(b)

$\sin (\frac{1}{n}) \sim \frac{1}{n} \to 0 \neq 1$ donc

$u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} \ln (\frac{1}{n}) = - \ln (n) .$
(c)

$u_{n} = 2 \sin^{2} (\frac{1}{2 n}) \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{2 n^{2}} .$

Exercice 7 2282 Correction

Trouver un équivalent simple aux suites $(u_{n})$ suivantes:

(a)

$u_{n} = \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1}$
(b)

$u_{n} = \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1}$
(c)

$u_{n} = \sqrt{\ln (n + 1) - \ln (n)}$

Solution

(a)

$u_{n} = \frac{2}{n^{2} - 1} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{2}{n^{2}} .$
(b)

$u_{n} = \frac{2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}}$ $\underset{n \to + \infty}{=} \frac{2}{\sqrt{n} + o (\sqrt{n}) + \sqrt{n} + o (\sqrt{n})} = \frac{1}{\sqrt{n} + o (\sqrt{n)}}$

$\underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{n}} .$
(c)

$u_{n} = \sqrt{\ln (1 + \frac{1}{n})} \underset{n \to + \infty}{\sim} \sqrt{\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}$

car

$\ln (1 + \frac{1}{n}) \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n}$

puisque $\frac{1}{n} \to 0$ .

Exercice 8 1472 Correction

Déterminer un équivalent simple de la suite dont le terme général est:

(a)

$2 \sqrt{n} - \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1}$
(b)

$\frac{\ln (n + 1) - \ln (n)}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}$

Solution

(a)

$2 \sqrt{n} - \sqrt{n + 1} - \sqrt{n - 1} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{4 n \sqrt{n}} .$
(b)

$\frac{\ln (n + 1) - \ln (n)}{\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}} = \frac{\ln (1 + 1 / n)}{\sqrt{n} (\sqrt{1 + 1 / n} - 1)} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1 / n}{1 / 2 n^{3 / 2}} = \frac{2}{\sqrt{n}} .$

Exercice 9 2286 Correction

Soient $(u_{n})$ , $(v_{n})$ , $(w_{n})$ , $(t_{n})$ des suites de réels strictement positifs telles que

u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} v_{n} et w_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} t_{n} .

Montrer que

u_{n} + w_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} v_{n} + t_{n} .

Solution

Supposons $u_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} v_{n}$ et $w_{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} t_{n}$ . On a

| \frac{u_{n} + w_{n}}{v_{n} + t_{n}} - 1 | = | \frac{(u_{n} - v_{n}) + (w_{n} - t_{n})}{v_{n} + t_{n}} |

donc

| \frac{u_{n} + w_{n}}{v_{n} + t_{n}} - 1 | \leq \frac{| u_{n} - v_{n} |}{v_{n}} + \frac{| w_{n} - t_{n} |}{t_{n}} = | \frac{u_{n}}{v_{n}} - 1 | + | \frac{w_{n}}{t_{n}} - 1 | \to_{n \to + \infty}^{} 0 .

Exercice 10 2459 CCINP (MP)Correction

Montrer que

\int_{n^{2}}^{n^{3}} \frac{d t}{1 + t^{2}} \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n^{2}} .

Solution

On peut calculer l’intégrale

u_{n} = \int_{n^{2}}^{n^{3}} \frac{d t}{1 + t^{2}} = \arctan (n^{3}) - \arctan (n^{2}) .

Or pour $x > 0$ ,

\arctan (x) + \arctan (\frac{1}{x}) = \frac{π}{2}

donc

u_{n} = \arctan (\frac{1}{n^{2}}) - \arctan (\frac{1}{n^{3}}) \underset{n \to + \infty}{=} \frac{1}{n^{2}} + o (\frac{1}{n^{2}}) \underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{n^{2}} .

Exercice 11 5780 Correction

Soit $u_{n}$ une suite de réels positifs vérifiant $u_{n} = o (\sqrt{n})$ . Établir

{(1 + \frac{u_{n}}{n})}^{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} e^{u_{n}} .

Solution

Étudions la limite du quotient,

{(1 + \frac{u_{n}}{n})}^{n} e^{- u_{n}} = \exp (n \ln (1 + \frac{u_{n}}{n}) - u_{n}) .

Par développement limité,

n \ln (1 + \frac{u_{n}}{n}) - u_{n} \underset{n \to + \infty}{=} n (\frac{u_{n}}{n} - \frac{u_{n}^{2}}{2 n^{2}} + o (\frac{u_{n}^{2}}{n^{2}})) - u_{n} = - \frac{u_{n}^{2}}{2 n} + o (\frac{u_{n}^{2}}{n}) .

Puisque $u_{n} = o (\sqrt{n})$ , on obtient

\frac{u_{n}^{2}}{n} \to_{n \to + \infty}^{} 0

et alors, par opérations sur les limites,

{(1 + \frac{u_{n}}{n})}^{n} e^{- u_{n}} \to_{n \to + \infty}^{} 1 .

On en déduit

{(1 + \frac{u_{n}}{n})}^{n} \underset{n \to + \infty}{\sim} e^{u_{n}} .

[>] Calcul de limites de suites numériques

Édité le 29-08-2023

	$u_{n} = \frac{2}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n - 1}}$	$\underset{n \to + \infty}{=} \frac{2}{\sqrt{n} + o (\sqrt{n}) + \sqrt{n} + o (\sqrt{n})} = \frac{1}{\sqrt{n} + o (\sqrt{n)}}$
		$\underset{n \to + \infty}{\sim} \frac{1}{\sqrt{n}} .$

Comparaison de suites numériques