Exercice 1 4764

Soit $f$ l’application définie sur $ℝ^{*}$ par

f (x) = 1 + x^{2} \sin (\frac{1}{x}) .

(a)

Montrer à l’aide d’un développement limité à l’ordre $1$ que l’on peut prolonger $f$ en une fonction dérivable sur $ℝ$ .
(b)

La fonction dérivée de $f$ admet-elle un développement limité en $0$ ?

Exercice 2 1464 Correction

Soit $f :] - 1; 0 [\cup] 0; + \infty [\to ℝ$ définie par

f (x) = \frac{\ln (1 + x) - x}{x^{2}} .

(a)

Montrer que $f$ peut être prolongée par continuité en $0$ et que ce prolongement est alors dérivable en $0$ .
(b)

Quelle est alors la position relative de la courbe de $f$ par rapport à sa tangente en ce point?

Solution

(a)

On a

$f (x) \underset{x \to 0}{=} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{4} x^{2} + o (x^{2}) .$

Par suite, $f$ peut être prolongée par continuité en $0$ en posant $f (0) = - \frac{1}{2}$ .

De plus, ce prolongement est dérivable en $0$ et $f^{'} (0) = \frac{1}{3}$ .
(b)

L’équation de la tangente en $0$ est

$y = - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} x$

et la courbe est localement en dessous de celle-ci.

Exercice 3 1465 Correction

Soient $a$ un réel non nul et $f$ la fonction définie au voisinage de 0 par

f (x) = \frac{\ln (1 + a x)}{1 + x} .

Déterminer les éventuelles valeurs de $a$ pour lesquelles $f$ présente un point d’inflexion en 0.

Solution

On a

f (x) \underset{x \to 0}{=} a x - a (1 + \frac{1}{2} a) x^{2} + a (1 + \frac{1}{2} a + \frac{1}{3} a^{2}) x^{3} + o (x^{3}) .

Pour que $f$ présente un point d’inflexion en $0$ , il faut que $a (1 + \frac{1}{2} a) = 0$ c’est-à-dire ; $a = - 2$ .

Inversement, si $a = - 2$ ,

f (x) \underset{x \to 0}{=} - 2 x - \frac{8}{3} x^{3} + o (x^{3})

et par suite $f$ présente un point d’inflexion en $0$ .

Exercice 4 1466 Correction

Montrer que la fonction

f : x \mapsto \frac{x}{e^{x} - 1}

peut être prolongée en une fonction de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ$ .

Solution

$f$ est définie sur $ℝ^{*}$ et se prolonge par continuité en 0 en posant $f (0) = 1$ .
$f$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ^{*}$ et

f^{'} (x) = \frac{e^{x} - 1 - x e^{x}}{{(e^{x} - 1)}^{2}} = \frac{- \frac{1}{2} x^{2} + o (x^{2})}{x^{2} + o (x^{2})} \to_{x \to 0}^{} - \frac{1}{2}

donc $f$ est dérivable en 0 avec $f^{'} (0) = - 1 / 2$ et finalement $f$ est de classe $𝒞^{1}$ sur $ℝ$ .

Exercice 5 232

Former le développement limité à l’ordre $3$ en $0$ de la fonction $x \mapsto \arctan (e^{x})$ .

Quelle est l’allure de cette fonction autour du point d’abscisse $0$ ?

Exercice 6 1470 Correction

Soit $f : ℝ \to ℝ$ définie par

f (x) = {\begin{matrix} e^{- 1 / x^{2}} & si x \neq 0 \\ 0 & sinon. \end{matrix}

Montrer que $f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ et que pour tout $n \in ℕ$ , $f^{(n)} (0) = 0$ .
C’est ici un exemple de fonction non nulle dont tous les $D L_{n} (0)$ sont nuls.

Solution

$f$ est évidemment de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ^{*}$ .
Montrons par récurrence que $f$ est de classe $𝒞^{n}$ et que $f^{(n)}$ est de la forme:

f^{(n)} (x) = P_{n} (1 / x) e^{- 1 / x^{2}}

pour $x \neq 0$ avec $P_{n} \in ℝ [X]$ .
Pour $n = 0$ : ok.
Supposons la propriété établie au rang $n \geq 0$ .
$f^{(n)}$ est continue, dérivable sur $ℝ^{*}$ et pour $x \neq 0$ ,

f^{(n + 1)} (x) = - \frac{1}{x^{2}} P_{n}^{'} (\frac{1}{x}) e^{- 1 / x^{2}} + \frac{2}{x^{3}} P_{n} (\frac{1}{x}) e^{- 1 / x^{2}} = P_{n + 1} (\frac{1}{x}) e^{- 1 / x^{2}}

avec $P_{n + 1} \in ℝ [X]$ .
Récurrence établie.
Pour tout $n \in ℕ$ , $f^{(n)} (x) \underset{y = 1 / x^{2}}{=} P_{n} (\sqrt{y}) e^{- y} \to 0$ quand $x \to 0^{+}$ et de même quand $x \to 0^{-}$ .
Par le théorème du prolongement $𝒞^{1}$ dans une version généralisée, on obtient que $f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ et $f^{(n)} (0) = 0$ pour tout $n \in ℕ$ .
Par suite, $f^{(n)}$ est dérivable en 0 et $f^{(n + 1)} (0) = 0$ .

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Édité le 29-08-2023

Applications à l'étude locale de fonctions