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Exercice 1  4764  

Soit f l’application définie sur * par

f(x)=1+x2sin(1x).
  • (a)

    Montrer à l’aide d’un développement limité à l’ordre 1 que l’on peut prolonger f en une fonction dérivable sur .

  • (b)

    La fonction dérivée de f admet-elle un développement limité en 0?

 
Exercice 2  1464  Correction  

Soit f:]-1;0[]0;+[ définie par

f(x)=ln(1+x)-xx2.

Montrer que f peut être prolongée par continuité en 0 et que ce prolongement est alors dérivable en 0.
Quelle est alors la position relative de la courbe de f par rapport à sa tangente en ce point?

Solution

On a

f(x)=x0-12+13x-14x2+o(x2).

Par suite, f peut être prolongée par continuité en 0 en posant f(0)=-12.

De plus, ce prolongement est dérivable en 0 et f(0)=13.

L’équation de la tangente en 0 est

y=-12+13x

et la courbe est localement en dessous de celle-ci.

 
Exercice 3  1465  Correction  

Soient a un réel non nul et f la fonction définie au voisinage de 0 par

f(x)=ln(1+ax)1+x.

Déterminer les éventuelles valeurs de a pour lesquelles f présente un point d’inflexion en 0.

Solution

On a

f(x)=x0ax-a(1+12a)x2+a(1+12a+13a2)x3+o(x3).

Pour que f présente un point d’inflexion en 0, il faut que a(1+12a)=0 c’est-à-dire ; a=-2.

Inversement, si a=-2,

f(x)=x0-2x-83x3+o(x3)

et par suite f présente un point d’inflexion en 0.

 
Exercice 4  1466  Correction  

Montrer que la fonction

f:xxex-1

peut être prolongée en une fonction de classe 𝒞1 sur .

Solution

f est définie sur * et se prolonge par continuité en 0 en posant f(0)=1.
f est de classe 𝒞1 sur * et

f(x)=ex-1-xex(ex-1)2=-12x2+o(x2)x2+o(x2)x0-12

donc f est dérivable en 0 avec f(0)=-1/2 et finalement f est de classe 𝒞1 sur .

 
Exercice 5  232  

Former le développement limité à l’ordre 3 en 0 de la fonction xarctan(ex).

Quelle est l’allure de cette fonction autour du point d’abscisse 0?

 
Exercice 6  1470   Correction  

Soit f: définie par

f(x)={e-1/x2 si x00 sinon.

Montrer que f est de classe 𝒞 et que pour tout n, f(n)(0)=0.
C’est ici un exemple de fonction non nulle dont tous les DLn(0) sont nuls.

Solution

f est évidemment de classe 𝒞 sur *.
Montrons par récurrence que f est de classe 𝒞n et que f(n) est de la forme:

f(n)(x)=Pn(1/x)e-1/x2

pour x0 avec Pn[X].
Pour n=0: ok.
Supposons la propriété établie au rang n0.
f(n) est continue, dérivable sur * et pour x0,

f(n+1)(x)=-1x2Pn(1x)e-1/x2+2x3Pn(1x)e-1/x2=Pn+1(1x)e-1/x2

avec Pn+1[X].
Récurrence établie.
Pour tout n, f(n)(x)=y=1/x2Pn(y)e-y0 quand x0+ et de même quand x0-.
Par le théorème du prolongement 𝒞1 dans une version généralisée, on obtient que f est de classe 𝒞 et f(n)(0)=0 pour tout n.
Par suite, f(n) est dérivable en 0 et f(n+1)(0)=0.

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Édité le 05-09-2019

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