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Exercice 1  4757  

Calculer les développements limités suivants:

  • (a)

    exx à l’ordre 2 en 1

  • (b)

    ln(1+ex) à l’ordre 3 en 0

  • (c)

    11+cos(x) à l’ordre 4 en 0

  • (d)

    3+ch(x) à l’ordre 3 en 0

  • (e)

    sin(x)ex à l’ordre 2 en 0

  • (f)

    sh(x)ln(1+x) à l’ordre 2 en 0.

 
Exercice 2  231   Correction  

Déterminer les développements limités suivants:

  • (a)

    DL3(0) de ln(x2+1x+1)

  • (b)

    DL3(0) de 3+cos(x)

  • (c)

    DL2(0) de (1+x)1/x

  • (d)

    DL3(0) de ln(1+x)ex-1

Solution

  • (a)

    ln(x2+1x+1)=-x+32x2-13x3+o(x3)

  • (b)

    3+cos(x)=2-18x2+o(x3)

  • (c)

    (1+x)1/x=e-e2x+11e24x2+o(x2)

  • (d)

    ln(1+x)ex-1=1-x+23x2-1124x3+o(x3)

 
Exercice 3  226   Correction  

Déterminer les développements limités suivants:

  • (a)

    DL3(0) de ln(x2+1x+1)

  • (b)

    DL3(0) de ln(1+sin(x))

  • (c)

    DL3(1) de cos(ln(x))

Solution

  • (a)

    ln(x2+1x+1)=ln(1+x2)-ln(1+x)=-x+32x2-13x3+o(x3)

  • (b)

    ln(1+sin(x))=x-12x2+16x3+o(x3).

  • (c)

    cos(ln(x))=1-12(x-1)2+12(x-1)3+o((x-1)3).

 
Exercice 4  1447  Correction  

Déterminer les développements limités suivants:

  • (a)

    DL3(π/4) de sin(x)

  • (b)

    DL4(1) de ln(x)x2

  • (c)

    DL5(0) de sh(x)ch(2x)-ch(x).

Solution

  • (a)

    sin(x)=22+22(x-π4)-24(x-π4)2-212(x-π4)3+o((x-π4)3)

  • (b)

    ln(x)x2=(x-1)-52(x-1)2+133(x-1)3-7712(x-1)4+o((x-1))4.

  • (c)

    sh(x)ch(2x)-ch(x)=-1+x-12x2+136x3-124x4+121120x5+o(x5).

 
Exercice 5  745   Correction  

Déterminer les développements limités suivants:

  • (a)

    DL3(0) de ln(1+ex)

  • (b)

    DL3(0) de ln(2+sin(x))

  • (c)

    DL3(0) de 3+cos(x)

Solution

  • (a)

    ln(1+ex)=ln(2)+12x+18x2+o(x3)

  • (b)

    ln(2+sin(x))=ln(2)+12x-18x2-124x3+o(x3)

  • (c)

    3+cos(x)=2-18x2+o(x3)

 
Exercice 6  292   Correction  

Déterminer les développements limités suivants:

  • (a)

    DL3(0) de e1+x

  • (b)

    DL3(0) de ln(1+1+x)

  • (c)

    DL3(0) de ln(3ex+e-x)

Solution

  • (a)

    e1+x=e+e2x+e48x3+o(x3).

  • (b)

    ln(1+1+x)=ln(2)+14x-332x2+596x3+o(x3)

  • (c)

    ln(3ex+e-x)=2ln(2)+12x+38x2-18x3+o(x3)

 
Exercice 7  1448   Correction  

Déterminer les développements limités suivants:

  • (a)

    DL2(0) de (1+x)1/x

  • (b)

    DL4(0) de ln(sin(x)x)

  • (c)

    DL4(0) de ln(sh(x)x)

Solution

  • (a)

    (1+x)1/x=e-e2x+11e24x2+o(x2)

  • (b)

    ln(sin(x)x)=-16x2-1180x4+o(x4)

  • (c)

    ln(sh(x)x)=16x2-1180x4+o(x4)

 
Exercice 8  1451   Correction  

Déterminer les développements limités suivants:

  • (a)

    DL3(0) de ln(1+x)ex-1

  • (b)

    DL2(0) de arctan(x)tan(x)

  • (c)

    DL2(1) de x-1ln(x)

Solution

  • (a)

    ln(1+x)ex-1=1-x+23x2-1124x3+o(x3)

  • (b)

    arctan(x)tan(x)=1-23x2+o(x2)

  • (c)

    x-1ln(x)=1+12(x-1)-112(x-1)2+o((x-1)2)

 
Exercice 9  751   Correction  

Déterminer les développements limités suivants:

  • (a)

    DL3(0) de x-sin(x)1-cos(x)

  • (b)

    DL2(0) de sin(x)exp(x)-1

  • (c)

    DL3(0) de xch(x)-sh(x)ch(x)-1

Solution

  • (a)

    x-sin(x)1-cos(x)=13x+190x3+o(x3)

  • (b)

    sin(x)exp(x)-1=1-12x-112x2+o(x2)

  • (c)

    xch(x)-sh(x)ch(x)-1=23x+190x3+o(x3)

 
Exercice 10  1449   Correction  

Former le DL3(1) de arctan(x)

Solution

On primitive de DL2(1) de 11+x2,

arctan(x)=x1π4+12(x-1)-14(x-1)2+112(x-1)3+o((x-1)3).
 
Exercice 11  238   Correction  

Montrer que xx+ln(1+x) admet au voisinage de 0 une fonction réciproque.
Former le développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de celle-ci.

Solution

f:xx+ln(1+x) est de classe 𝒞 et f(0)=0 et f(0)=2>0.
Sur un intervalle voisinage de 0, la dérivée de f ne s’annule pas et donc f induit une bijection au départ de cet intervalle. De plus, sa bijection réciproque est de classe 𝒞 et admet un développement limité à l’ordre 3 de la forme

f-1(y)=ay+by2+cy3+o(y3).

Puisque f(f-1(y))=y, on obtient

2ay+(2b-a22)y2+(2c-ab+13a3)y3+o(y3)=y.

On en déduit a=1/2, b=1/16 et c=-1/192.

 
Exercice 12  1456   Correction  

Montrer que l’application f: définie par f(x)=xex2 admet une application réciproque définie sur et former le DL5(0) de f-1.

Solution

f est de classe 𝒞 sur et

f(x)=(1+2x2)ex2>0

de plus lim+f=+,lim-f=-.
Donc f réalise une bijection de vers et f-1 est de classe 𝒞 sur .
En particulier f-1 admet une DL5(0), de plus comme f est impaire, f-1 l’est aussi et le DL5(0) de f-1 est de la forme:

f-1(x)=ax+bx3+cx5+o(x5).

En réalisant un DL5(0) de f-1(f(x)), on obtient

f-1(f(x))=ax+(a+b)x3+(12a+3b+c)x5+o(x5).

Or f-1(f(x))=x, donc:

a=1,b=-1 et c=52.
 
Exercice 13  234   
  • (a)

    Former le développement limité à l’ordre 3 en 0 de

    tan(x)=sin(x)cos(x).
  • (b)

    Prolonger ce développement limité à l’ordre 5 en exploitant

    tan(arctan(x))=x.
  • (c)

    Prolonger ce développement limité à l’ordre 7 en exploitant

    (tan)(x)=1+tan2(x).
 
Exercice 14  1452   Correction  

Déterminer les développements limités suivants:

  • (a)

    DL10(0) de xx2dt1+t4

  • (b)

    DL1000(0) de ln(k=0999xkk!)

Solution

  • (a)

    11+t4=1-12t4+38t8+o(t9) dont 0xdt1+t4=t-110t5+124t9+o(t10)
    puis xx2dt1+t4=0x2dt1+t4-0xdt1+t4=-x+x2+110x5-124x9-110x10+o(x10)

  • (b)

    ln(k=0999xkk!)=ln(ex-x10001000!+o(x1000))=ln(ex)+ln(1-x1000e-x1000!+o(x1000))=x-11 000!x1000+o(x1000).

 
Exercice 15  1453   Correction  

Exprimer le développement limité à l’ordre n en 0 de 11-x à l’aide de nombres factoriels.

Solution

11-x=k=0n(-1/)2k(-x)k+o(xn)

avec

(-1/)2k =(-12)(-32)(-2k-12)k!
=(-1)k1.3(2k-1)2kk!=(-1)k(2k)!(2kk!)2.

Au final,

11-x=k=0n(2k)!(2kk!)2xk+o(xn).
 
Exercice 16  1454   Correction  

Pour α=-1/2 et k, exprimer

α(α-1)(α-k+1)k!

à l’aide de nombres factoriels.
En déduire une expression du DL2n+1(0) de 11-x2 puis du DL2n+2(0) de arcsin(x).

Solution

On a

α(α-1)(α-k+1)k!=(-1)k12322k-12k!=(-1)k(2k)!22k(k!)2.

Donc

11-x2=k=0n(2k)!22k(k!)2x2k+o(x2n+1)

puis

arcsin(x)=k=0n(2k)!22k(2k+1)(k!)2x2k+1+o(x2n+2).
 
Exercice 17  1455   Correction  

Pour n, déterminer le développement limité à l’ordre 2n+2 de x12ln(1+x1-x).

On pourra commencer par calculer la dérivée de cette fonction.

Solution

(12ln(1+x1-x))=11-x2

et

11-x2=1+x2+x4++x2n+o(x2n+1).

Donc

12ln(1+x1-x)=x+13x3+15x5++12n+1x2n+1+o(x2n+2).
 
Exercice 18  2519  Correction  

Soient n, n2 et f l’application de dans définie par

f(x)=xnsin(1x) si x0 et f(0)=0.
  • (a)

    Montrer que f est dérivable sur .

  • (b)

    f admet-elle un développement limité en 0? si oui à quel ordre maximal?

Solution

  • (a)

    f est évidemment dérivable en tout a* et aussi dérivable en 0 avec f(0)=0.

  • (b)

    f admet pour développement limité à l’ordre n-1: f(x)=o(xn-1).
    Si f admet un DLn(0) celui-ci serait de la forme

    f(x)=x0axn+o(xn)

    ce qui entraîne que sin(1/x) admet une limite finie en 0 ce qui est notoirement faux.

 
Exercice 19  3025    

En calculant de deux façons le développement limité à l’ordre n en 0 de (ex-1)n, établir que pour tout entier compris entre 0 et n,

k=0n(nk)(-1)n-kk!={0 si <n1 si =n.

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Édité le 05-09-2019

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