Exercice 1 4757

Calculer les développements limités suivants:

(a)

$\frac{e^{x}}{x}$ à l’ordre $2$ en $1$
(b)

$\ln (1 + e^{x})$ à l’ordre $3$ en $0$
(c)

$\frac{1}{1 + \cos (x)}$ à l’ordre $4$ en $0$
(d)

$\sqrt{3 + ch (x)}$ à l’ordre $3$ en $0$
(e)

$\sin (x) e^{x}$ à l’ordre $2$ en $0$
(f)

$\frac{sh (x)}{\ln (1 + x)}$ à l’ordre $2$ en $0$ .

Exercice 2 231 Correction

Déterminer les développements limités suivants:

(a)

$D L_{3} (0)$ de $\ln (\frac{x^{2} + 1}{x + 1})$
(b)

$D L_{3} (0)$ de $\sqrt{3 + \cos (x)}$
(c)

$D L_{2} (0)$ de ${(1 + x)}^{1 / x}$
(d)

$D L_{3} (0)$ de $\frac{\ln (1 + x)}{e^{x} - 1}$

Solution

(a)

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{x + 1}) = - x + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})$
(b)

$\sqrt{3 + \cos (x)} = 2 - \frac{1}{8} x^{2} + o (x^{3})$
(c)

${(1 + x)}^{1 / x} = e - \frac{e}{2} x + \frac{11 e}{24} x^{2} + o (x^{2})$
(d)

$\frac{\ln (1 + x)}{e^{x} - 1} = 1 - x + \frac{2}{3} x^{2} - \frac{11}{24} x^{3} + o (x^{3})$

Exercice 3 226 Correction

Déterminer les développements limités suivants:

(a)

$D L_{3} (0)$ de $\ln (\frac{x^{2} + 1}{x + 1})$
(b)

$D L_{3} (0)$ de $\ln (1 + \sin (x))$
(c)

$D L_{3} (1)$ de $\cos (\ln (x))$

Solution

(a)

$\ln (\frac{x^{2} + 1}{x + 1}) = \ln (1 + x^{2}) - \ln (1 + x) = - x + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + o (x^{3})$
(b)

$\ln (1 + \sin (x)) = x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{3})$ .
(c)

$\cos (\ln (x)) = 1 - \frac{1}{2} {(x - 1)}^{2} + \frac{1}{2} {(x - 1)}^{3} + o ({(x - 1)}^{3})$ .

Exercice 4 1447 Correction

Déterminer les développements limités suivants:

(a)

$D L_{3} (π / 4)$ de $\sin (x)$
(b)

$D L_{4} (1)$ de $\frac{\ln (x)}{x^{2}}$
(c)

$D L_{5} (0)$ de $sh (x) ch (2 x) - ch (x)$ .

Solution

(a)

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} (x - \frac{π}{4}) - \frac{\sqrt{2}}{4} {(x - \frac{π}{4})}^{2} - \frac{\sqrt{2}}{12} {(x - \frac{π}{4})}^{3} + o ({(x - \frac{π}{4})}^{3})$
(b)

$\frac{\ln (x)}{x^{2}} = (x - 1) - \frac{5}{2} {(x - 1)}^{2} + \frac{13}{3} {(x - 1)}^{3} - \frac{77}{12} {(x - 1)}^{4} + o {((x - 1))}^{4}$ .
(c)

$sh (x) ch (2 x) - ch (x) = - 1 + x - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{13}{6} x^{3} - \frac{1}{24} x^{4} + \frac{121}{120} x^{5} + o (x^{5})$ .

Exercice 5 745 Correction

Déterminer les développements limités suivants:

(a)

$D L_{3} (0)$ de $\ln (1 + e^{x})$
(b)

$D L_{3} (0)$ de $\ln (2 + \sin (x))$
(c)

$D L_{3} (0)$ de $\sqrt{3 + \cos (x)}$

Solution

(a)

$\ln (1 + e^{x}) = \ln (2) + \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} x^{2} + o (x^{3})$
(b)

$\ln (2 + \sin (x)) = \ln (2) + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} - \frac{1}{24} x^{3} + o (x^{3})$
(c)

$\sqrt{3 + \cos (x)} = 2 - \frac{1}{8} x^{2} + o (x^{3})$

Exercice 6 292 Correction

Déterminer les développements limités suivants:

(a)

$D L_{3} (0)$ de $e^{\sqrt{1 + x}}$
(b)

$D L_{3} (0)$ de $\ln (1 + \sqrt{1 + x})$
(c)

$D L_{3} (0)$ de $\ln (3 e^{x} + e^{- x})$

Solution

(a)

$e^{\sqrt{1 + x}} = e + \frac{e}{2} x + \frac{e}{48} x^{3} + o (x^{3})$ .
(b)

$\ln (1 + \sqrt{1 + x}) = \ln (2) + \frac{1}{4} x - \frac{3}{32} x^{2} + \frac{5}{96} x^{3} + o (x^{3})$
(c)

$\ln (3 e^{x} + e^{- x}) = 2 \ln (2) + \frac{1}{2} x + \frac{3}{8} x^{2} - \frac{1}{8} x^{3} + o (x^{3})$

Exercice 7 1448 Correction

Déterminer les développements limités suivants:

(a)

$D L_{2} (0)$ de ${(1 + x)}^{1 / x}$
(b)

$D L_{4} (0)$ de $\ln (\frac{\sin (x)}{x})$
(c)

$D L_{4} (0)$ de $\ln (\frac{sh (x)}{x})$

Solution

(a)

${(1 + x)}^{1 / x} = e - \frac{e}{2} x + \frac{11 e}{24} x^{2} + o (x^{2})$
(b)

$\ln (\frac{\sin (x)}{x}) = - \frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{180} x^{4} + o (x^{4})$
(c)

$\ln (\frac{sh (x)}{x}) = \frac{1}{6} x^{2} - \frac{1}{180} x^{4} + o (x^{4})$

Exercice 8 1451 Correction

Déterminer les développements limités suivants:

(a)

$D L_{3} (0)$ de $\frac{\ln (1 + x)}{e^{x} - 1}$
(b)

$D L_{2} (0)$ de $\frac{\arctan (x)}{\tan (x)}$
(c)

$D L_{2} (1)$ de $\frac{x - 1}{\ln (x)}$

Solution

(a)

$\frac{\ln (1 + x)}{e^{x} - 1} = 1 - x + \frac{2}{3} x^{2} - \frac{11}{24} x^{3} + o (x^{3})$
(b)

$\frac{\arctan (x)}{\tan (x)} = 1 - \frac{2}{3} x^{2} + o (x^{2})$
(c)

$\frac{x - 1}{\ln (x)} = 1 + \frac{1}{2} (x - 1) - \frac{1}{12} {(x - 1)}^{2} + o ({(x - 1)}^{2})$

Exercice 9 751 Correction

Déterminer les développements limités suivants:

(a)

$D L_{3} (0)$ de $\frac{x - \sin (x)}{1 - \cos (x)}$
(b)

$D L_{2} (0)$ de $\frac{\sin (x)}{\exp (x) - 1}$
(c)

$D L_{3} (0)$ de $\frac{x ch (x) - sh (x)}{ch (x) - 1}$

Solution

(a)

$\frac{x - \sin (x)}{1 - \cos (x)} = \frac{1}{3} x + \frac{1}{90} x^{3} + o (x^{3})$
(b)

$\frac{\sin (x)}{\exp (x) - 1} = 1 - \frac{1}{2} x - \frac{1}{12} x^{2} + o (x^{2})$
(c)

$\frac{x ch (x) - sh (x)}{ch (x) - 1} = \frac{2}{3} x + \frac{1}{90} x^{3} + o (x^{3})$

Exercice 10 1449 Correction

Former le $D L_{3} (1)$ de $\arctan (x)$

Solution

On primitive de $D L_{2} (1)$ de $\frac{1}{1 + x^{2}}$ ,

\arctan (x) \underset{x \to 1}{=} \frac{π}{4} + \frac{1}{2} (x - 1) - \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{1}{12} {(x - 1)}^{3} + o ({(x - 1)}^{3}) .

Exercice 11 238 Correction

On considère l’application $f :] - 1; + \infty [\to ℝ$ définie par

f (x) = x + \ln (1 + x) .

(a)

Vérifier que $f$ réalise une bijection.
(b)

Établir que $f^{- 1}$ est de classe $𝒞^{\infty}$ .
(c)

Former le développement limité à l’ordre $3$ au voisinage de $0$ de $f^{- 1}$ .

Solution

(a)

$f : x \mapsto x + \ln (1 + x)$ est continue et strictement croissante de limite $- \infty$ et $+ \infty$ en $- 1$ et $+ \infty$ . Elle réalise donc une bijection de $] - 1; + \infty [$ vers $ℝ$ .
(b)

$f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ et sa dérivée ne s’annule pas. On en déduit que $f^{- 1}$ est aussi de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ .
(c)

$f^{- 1}$ est de classe et $f^{- 1} (0) = 0$ donc $f$ admet un développement limité à l’ordre $3$ en $0$ de la forme

$f^{- 1} (y) \underset{y \to 0}{=} a y + b y^{2} + c y^{3} + o (y^{3}) .$

Puisque $f (f^{- 1} (y)) = y$ , on obtient

$2 a y + (2 b - \frac{a^{2}}{2}) y^{2} + (2 c - a b + \frac{1}{3} a^{3}) y^{3} + o (y^{3}) = y .$

Par unicité des coefficients d’un développement limité, il vient $a = 1 / 2$ , $b = 1 / 16$ et $c = - 1 / 192$ .

Exercice 12 1456 Correction

Montrer que l’application $f : ℝ \to ℝ$ définie par $f (x) = x e^{x^{2}}$ admet une application réciproque définie sur $ℝ$ et former le $D L_{5} (0)$ de $f^{- 1}$ .

Solution

$f$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ et

f^{'} (x) = (1 + 2 x^{2}) e^{x^{2}} > 0

de plus ${lim}_{+ \infty} f = + \infty, {lim}_{- \infty} f = - \infty$ .
Donc $f$ réalise une bijection de $ℝ$ vers $ℝ$ et $f^{- 1}$ est de classe $𝒞^{\infty}$ sur $ℝ$ .
En particulier $f^{- 1}$ admet une $D L_{5} (0)$ , de plus comme $f$ est impaire, $f^{- 1}$ l’est aussi et le $D L_{5} (0)$ de $f^{- 1}$ est de la forme:

f^{- 1} (x) = a x + b x^{3} + c x^{5} + o (x^{5}) .

En réalisant un $D L_{5} (0)$ de $f^{- 1} (f (x))$ , on obtient

f^{- 1} (f (x)) = a x + (a + b) x^{3} + (\frac{1}{2} a + 3 b + c) x^{5} + o (x^{5}) .

Or $f^{- 1} (f (x)) = x$ , donc:

a = 1, b = - 1 et c = \frac{5}{2} .

Exercice 13 234

(a)

Former le développement limité à l’ordre $3$ en $0$ de

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} .$
(b)

Prolonger ce développement limité à l’ordre $5$ en exploitant

$\tan (\arctan (x)) = x .$
(c)

Prolonger ce développement limité à l’ordre $7$ en exploitant

${(\tan)}^{'} (x) = 1 + \tan^{2} (x) .$

Exercice 14 1452 Correction

Déterminer les développements limités suivants:

(a)

$D L_{10} (0)$ de $\int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{\sqrt{1 + t^{4}}}$
(b)

$D L_{1000} (0)$ de $\ln (\sum_{k = 0}^{999} \frac{x^{k}}{k!})$

Solution

(a)

$\frac{1}{\sqrt{1 + t^{4}}} = 1 - \frac{1}{2} t^{4} + \frac{3}{8} t^{8} + o (t^{9})$ dont $\int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt{1 + t^{4}}} = t - \frac{1}{10} t^{5} + \frac{1}{24} t^{9} + o (t^{10})$
puis $\int_{x}^{x^{2}} \frac{d t}{\sqrt{1 + t^{4}}} = \int_{0}^{x^{2}} \frac{d t}{\sqrt{1 + t^{4}}} - \int_{0}^{x} \frac{d t}{\sqrt{1 + t^{4}}} = - x + x^{2} + \frac{1}{10} x^{5} - \frac{1}{24} x^{9} - \frac{1}{10} x^{10} + o (x^{10})$
(b)

$\ln (\sum_{k = 0}^{999} \frac{x^{k}}{k!}) = \ln (e^{x} - \frac{x^{1000}}{1000!} + o (x^{1000})) = \ln (e^{x}) + \ln (1 - \frac{x^{1000} e^{- x}}{1000!} + o (x^{1000})) = x - \frac{1}{1 000!} x^{1000} + o (x^{1000})$ .

Exercice 15 1453 Correction

Exprimer le développement limité à l’ordre $n$ en 0 de $\frac{1}{\sqrt{1 - x}}$ à l’aide de nombres factoriels.

Solution

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{- 1}{/}) 2 k {(- x)}^{k} + o (x^{n})

avec

	$(\binom{- 1}{/}) 2 k$	$= \frac{(- \frac{1}{2}) (- \frac{3}{2}) \dots (- \frac{2 k - 1}{2})}{k!}$
		$= {(- 1)}^{k} \frac{1.3 \dots (2 k - 1)}{2^{k} k!} = {(- 1)}^{k} \frac{(2 k)!}{{(2^{k} k!)}^{2}} .$

Au final,

\frac{1}{\sqrt{1 - x}} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(2 k)!}{{(2^{k} k!)}^{2}} x^{k} + o (x^{n}) .

Exercice 16 1454 Correction

Pour $α = - 1 / 2$ et $k \in ℕ$ , exprimer

\frac{α (α - 1) \dots (α - k + 1)}{k!}

à l’aide de nombres factoriels.
En déduire une expression du $D L_{2 n + 1} (0)$ de $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ puis du $D L_{2 n + 2} (0)$ de $\arcsin (x)$ .

Solution

On a

\frac{α (α - 1) \dots (α - k + 1)}{k!} = \frac{{(- 1)}^{k} \frac{1}{2} \frac{3}{2} \dots \frac{2 k - 1}{2}}{k!} = \frac{{(- 1)}^{k} (2 k)!}{2^{2 k} {(k!)}^{2}} .

Donc

\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(2 k)!}{2^{2 k} {(k!)}^{2}} x^{2 k} + o (x^{2 n + 1})

puis

\arcsin (x) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(2 k)!}{2^{2 k} (2 k + 1) {(k!)}^{2}} x^{2 k + 1} + o (x^{2 n + 2}) .

Exercice 17 1455 Correction

Pour $n \in ℕ$ , déterminer le développement limité à l’ordre $2 n + 2$ de $x \mapsto \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x})$ .

On pourra commencer par calculer la dérivée de cette fonction.

Solution

{(\frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x}))}^{'} = \frac{1}{1 - x^{2}}

\frac{1}{1 - x^{2}} = 1 + x^{2} + x^{4} + \dots + x^{2 n} + o (x^{2 n + 1}) .

Donc

\frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x}) = x + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{5} x^{5} + \dots + \frac{1}{2 n + 1} x^{2 n + 1} + o (x^{2 n + 2}) .

Exercice 18 5920 Correction

Déterminer le développement limité à l’ordre $4$ en $0$ de la fonction $f$ solution différentielle

2 (1 + x) y^{'} - y = e^{x}

vérifiant $f (0) = 0$ .

Solution

L’équation différentielle étudiée équivaut sur $I =] - 1; + \infty [$ à l’équation

y^{'} - \frac{1}{2 (1 + x)} y = \frac{e^{x}}{2 (1 + x)} .

Par le théorème de Cauchy, la condition initiale $f (0) = 0$ assure l’existence et l’unicité d’une fonction $f$ solution du problème posé et définie sur $I$ . Au surplus, les fonctions coefficients sont de classe $𝒞^{\infty}$ et la fonction $f$ est donc aussi de classe $𝒞^{\infty}$ sur $I$ . Cela assure l’existence d’un développement limité à tout ordre de $f$ en $0$ . Sachant $f (0) = 0$ , ce développement s’écrit

f (x) \underset{x \to 0}{=} a x + b x^{2} + c x^{3} + d x^{4} + o (x^{4}) .

Il n’est pas légitime de dériver un développement limité. Cependant, $f^{'}$ admet aussi un développement limité en $0$ à tout ordre car de classe $𝒞^{\infty}$ . Par intégration de développement limité, on peut identifier les coefficients du développement limité de $f^{'}$ et en déduire¹¹ 1 On peut aussi employer la formule de Taylor-Young pour relier les développements limités de $f$ et $f^{'}$ .

f^{'} (x) \underset{x \to 0}{=} a + 2 b x + 3 c x^{2} + 4 d x^{3} + o (x^{3}) .

Par l’équation différentielle,

2 (1 + x) (a + 2 b x + 3 c x^{2} + 4 d x^{3} + o (x^{3})) - (a x + b x^{2} + c x^{3} + o (x^{3})) = 1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{6} x^{3} + o (x^{3}) .

Après calculs, l’identification des coefficients du développement limité donne le système

{\begin{matrix} 2 a & = 1 \\ a + 4 b & = 1 \\ 3 b + 6 c & = 1 / 2 \\ 5 c + 8 d & = 1 / 6 . \end{matrix}

Après résolution,

f (x) \underset{x \to 0}{=} \frac{1}{2} x + \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{48} x^{3} + \frac{1}{128} x^{4} + o (x^{4}) .

Exercice 19 2519 CCINP (MP)Correction

Soient $n \in ℕ$ , $n \geq 2$ et $f$ l’application de $ℝ$ dans $ℝ$ définie par

f (x) = x^{n} \sin (\frac{1}{x}) si x \neq 0 et f (0) = 0 .

(a)

Montrer que $f$ est dérivable sur $ℝ$ .
(b)

$f$ admet-elle un développement limité en 0? si oui à quel ordre maximal?

Solution

(a)

$f$ est évidemment dérivable en tout $a \in ℝ^{*}$ et aussi dérivable en 0 avec $f^{'} (0) = 0$ .
(b)

$f$ admet pour développement limité à l’ordre $n - 1$ : $f (x) = o (x^{n - 1})$ .
Si $f$ admet un $D L_{n} (0)$ celui-ci serait de la forme

$f (x) \underset{x \to 0}{=} a x^{n} + o (x^{n})$

ce qui entraîne que $\sin (1 / x)$ admet une limite finie en 0 ce qui est notoirement faux.

Exercice 20 3025

En calculant de deux façons le développement limité à l’ordre $n$ en $0$ de ${(e^{x} - 1)}^{n}$ , établir que pour tout entier $ℓ$ compris entre $0$ et $n$ ,

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) \frac{{(- 1)}^{n - k} k^{ℓ}}{ℓ!} = {\begin{matrix} 0 & si ℓ < n \\ 1 & si ℓ = n . \end{matrix}

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Édité le 22-03-2024

Calcul de développements limités