[<] Étude asymptotique de suites de solutions d'une équation [>] Calcul de limites de fonctions numériques

 
Exercice 1  4755  

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand x+:

  • (a)

    (x+1)ex+1

  • (b)

    x2+1-x2-1

  • (c)

    (x+1)ln(x)-xln(x+1).

 
Exercice 2  1821  Correction  

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand x+:

  • (a)

    x3+2x2+33

  • (b)

    x2+1+x2-1

  • (c)

    x2+1-x2-1

Solution

  • (a)

    Quand x+,

    x3+2x2+33x3/2x2/3=x5/6.
  • (b)

    Quand x+,

    x2+1+x2-1=x+o(x)+x+o(x)=2x+o(x)2x.
  • (c)

    Quand x+,

    x2+1-x2-1=(x2+1)-(x2-1)x2+1+x2-1=2x+o(x)+x+o(x)1x.
 
Exercice 3  306  Correction  

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand x+

  • (a)

    ln(x+1)ln(x)-1

  • (b)

    ln(x+1)-ln(x-1)

  • (c)

    xln(x+1)-(x+1)ln(x)

Solution

  • (a)

    Quand x+,

    ln(x+1)ln(x)-1=ln(1+1/x)ln(x)1xln(x).
  • (b)

    Quand x+,

    ln(x+1)-ln(x-1)=ln(x+1x-1)ln(x+1)+ln(x-1).

    Or

    ln(x+1x-1)=ln(1+2x-1)2x-12x

    et

    ln(x+1)+ln(x-1)=2ln(x)+o(ln(x))2ln(x)

    donc

    ln(x+1)-ln(x-1)1xln(x).
  • (c)

    Quand x+,

    xln(x+1)-(x+1)ln(x)=xln(1+1x)-ln(x)=1+o(1)-ln(x)-ln(x).
 
Exercice 4  4756  

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand x0+:

  • (a)

    x-x+2x3/2

  • (b)

    2ln(x)+x1x-2ln(x)

  • (c)

    ln(sin(x)).

 
Exercice 5  1823  Correction  

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand x0

  • (a)

    1+x2-1-x2

  • (b)

    tan(x)-sin(x)

  • (c)

    ex+x-1

Solution

  • (a)

    Quand x0,

    1+x2-1-x2=2x21+x2+1-x22x22=x2.
  • (b)

    Quand x0,

    tan(x)-sin(x)=tan(x)(1-cos(x))=2tan(x)sin2(x2)x32.
  • (c)

    Quand x0,

    ex-1x

    donc

    ex+x-1=x+x+o(x)=2x+o(x)2x.
 
Exercice 6  313  Correction  

Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand x0:

  • (a)

    ln(1+sin(x))

  • (b)

    ln(ln(1+x))

  • (c)

    (ln(1+x))2-(ln(1-x))2

Solution

  • (a)

    Quand x0,

    ln(1+sin(x))sin(x)

    car sin(x)0, or

    sin(x)x

    donc

    ln(1+sin(x))x.
  • (b)

    Quand x0,

    ln(1+x)x01

    donc

    ln(ln(1+x))ln(x).
  • (c)

    Quand x0,

    ln(1+x)2-ln(1-x)2=(ln(1+x)+ln(1-x))(ln(1+x)-ln(1-x))

    or

    ln(1+x)+ln(1-x)=ln(1-x2)-x2

    et

    ln(1+x)-ln(1-x)=x+o(x)-(-x+o(x))=2x+o(x)

    donc

    (ln(1+x))2-(ln(1-x))2-2x3.
 
Exercice 7  305  Correction  

Déterminer un équivalent de ln(cos(x)) quand x(π/2)-

Solution

Quand xπ2-, posons x=π2-h avec h0+

cos(x)=cos(π2-h)=sin(h).

Or

sin(h)h01

donc

ln(sin(h))ln(h)

puis

ln(cos(x))ln(π2-x).
 
Exercice 8  1824  Correction  

Soit f: une fonction décroissante telle que

f(x)+f(x+1)x+1x.
  • (a)

    Étudier la limite de f en +.

  • (b)

    Donner un équivalent de f en +.

Solution

  • (a)

    f est décroissante donc possède une limite en +.
    Quand x+, f(x) et f(x+1) donc

    f(x)+f(x+1)2

    or

    f(x)+f(x+1)1x0

    donc =0.

  • (b)

    Quand x+, on a

    f(x+1)+f(x)2f(x)f(x)+f(x-1)

    donc

    2f(x)x+1x

    puis

    f(x)x+12x.
 
Exercice 9  4765  

Soient f et g deux fonctions définies sur I et à valeurs réelles strictement positives. On suppose que f et g sont équivalentes en a extrémité finie ou infinie de I.

  • (a)

    Montrer que, si f et g tendent en a vers une limite +{+} différente de 1, alors ln(f) et ln(g) sont équivalentes11 1 On voit que, dans une certaine mesure, on peut passer les équivalents au logarithme. En revanche, on ne peut passer pas ceux-ci à l’exponentielle, sauf si la différence des fonctions tend vers 0. en a.

  • (b)

    Cette propriété est-elle encore vraie lorsque =1?

 
Exercice 10  1461   Correction  

Déterminer un équivalent simple des fonctions proposées au voisinage de 0:

  • (a)

    x(2+cos(x))-3sin(x)

  • (b)

    xx-(sin(x))x

  • (c)

    arctan(2x)-2arctan(x)

Solution

Par développements limités,

  • (a)

    x(2+cos(x))-3sin(x)160x5

  • (b)

    xx-(sin(x))x=xx(1-(sin(x)x)x)16x3

  • (c)

    arctan(2x)-2arctan(x)-2x3

 
Exercice 11  237   

On pose f(x)=x+ln(x)-1 pour x>0.

  • (a)

    Justifier que f réalise une bijection de ]0;+[ vers un intervalle à préciser.

  • (b)

    Former le développement limité à l’ordre 2 de f-1 en 0.

  • (c)

    Donner un équivalent simple à f-1(y) quand y tend vers +.

  • (d)

    Donner un équivalent simple à f-1(y) quand y tend vers -.

 
Exercice 12  2812    Correction  

Soit f:]0;+[ telle que

limx0f(x)=0etlimx0f(x)-f(x/2)x=1.

Trouver un équivalent simple en 0 de f.

Solution

Pour tout ε>0, il existe α>0 tel que

x]0;α],(1-ε)xf(x)-f(x/2)(1+ε)x.

Pour x]0;α], x/2n]0;α] pour tout n donc

(1-ε)x/2nf(x/2n)-f(x/2n+1)(1+ε)x/2n+1.

En sommant ces inégalités et en passant à la limite quand n+ on obtient

(1-ε)x11-1/2f(x)(1+ε)x11-1/2.

La phrase quantifiée ainsi obtenue permet d’affirmer

f(x)x1-1/2.

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Édité le 05-09-2019

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