[<] Étude asymptotique de suites de solutions d'une équation [>] Calcul de limites de fonctions numériques
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand :
.
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand :
Solution
Quand ,
Quand ,
Quand ,
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand
Solution
Quand ,
Quand ,
Or
et
donc
Quand ,
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand :
.
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand
Solution
Quand ,
Quand ,
Quand ,
donc
Déterminer un équivalent simple aux expressions suivantes quand :
Solution
Quand ,
car , or
donc
Quand ,
donc
Quand ,
or
et
donc
Déterminer un équivalent de quand
Solution
Quand , posons avec
Or
donc
puis
Soit une fonction décroissante telle que
Étudier la limite de en .
Donner un équivalent de en .
Solution
est décroissante donc possède une limite en .
Quand , et donc
or
donc .
Quand , on a
donc
puis
Soient et deux fonctions définies sur et à valeurs réelles strictement positives. On suppose que et sont équivalentes en extrémité finie ou infinie de .
Montrer que, si et tendent en vers une limite différente de , alors et sont équivalentes11 1 On voit que, dans une certaine mesure, on peut passer les équivalents au logarithme. En revanche, on ne peut passer pas ceux-ci à l’exponentielle, sauf si la différence des fonctions tend vers . en .
Cette propriété est-elle encore vraie lorsque ?
Déterminer un équivalent simple des fonctions proposées au voisinage de :
Solution
Par développements limités,
Établir que pour tout , il existe un unique vérifiant
Avec les notations qui précèdent, on considère la fonction qui à associe .
Déterminer la limite de en .
Donner un équivalent simple de en .
Solution
Considérons l’application définie par . Cette fonction est dérivable sur avec
La fonction est donc continue et strictement croissante sur . Par le théorème de la bijection monotone, détermine une bijection de vers . Cela résout la question posée.
La fonction introduite est la bijection réciproque de . Puisque tend vers en , inversement tend vers en .
Par construction, pour tout ,
En passant au logarithme, pour tout ,
Or
On en déduit
On pose pour .
Justifier que réalise une bijection de vers un intervalle à préciser.
Former le développement limité à l’ordre de en .
Donner un équivalent simple à quand tend vers .
Donner un équivalent simple à quand tend vers .
Soit telle que
Trouver un équivalent simple en de .
Solution
Pour tout , il existe tel que
Pour , pour tout donc
En sommant ces inégalités et en passant à la limite quand on obtient
La phrase quantifiée ainsi obtenue permet d’affirmer
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Édité le 29-08-2023
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